Диссертация (1150880), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

. . , − ,(1.4.25) = 0, . . . , − − 1.(1.4.26)28Действительно, покажем справедливость, например, соотношения (1.4.25) (неравенства(1.4.26) доказываются аналогично). Поскольку -координаты точек −1 () и 1 отличаются не более чем на 4, то из явного вида системы получаем неравенства|( −2 () − −1 (1 )) | = |( −1 () − 1 ) | ≤ 4,|( −2− () − −1− (1 )) | = 3− |( −2 () − −1 (1 )) | ≤ 4, = 0, .

. . , − − 1.Аналогично, мы можем последовательно оценить разницу между − и −координатами соответствующих точек:|(( −1 () − 1 ) , ( −1 () − 1 ) )| ≤ 1001 ,|(( −2 () − −1 (1 )) ,( −2 () − −1 (1 )) )| == |(( −1 () − 1 ) , ( −1 () − 1 ) )| ≤ 1001 ,и поскольку −координаты точек −2− () и −1− (1 ) лежат в промежутке [0,1] для =1, . . . , − − 1, из явного вида системы следуют соотношения|(( −2− () − −1− (1 )) , ( −2− () − −1− (1 )) )| == 3 |(( −2 () − −1 (1 )) , ( −2 () − −1 (1 )) )| ≤ 3 1001 ,(1.4.27)где = 1, . .

. , − − 1.Кроме того, поскольку(( −1− (1 )) ,( −1− (1 )) ) = 3 (( −1 (1 )) ,( −1 (1 )) ),при = 1, . . . , − − 1, то, учитывая (1.4.23) и тот факт, что ∈ 1 , получаем оценку3−−1 1 ≤ |(( − (1 )) ,( − (1 )) )| ≤ 4.Таким образом, принимая во внимание (1.4.27), можем оценить|(( −2− () − −1− (1 )) , ( −2− () − −1− (1 )) )| ≤ 400,где = 1, . . .

, − − 1, что и завершает доказательство оценки (1.4.25).Наконец, учитывая (1.4.23) и (1.4.24), мы получаем что для точки −−1 () выполненынеравенстваdist( ( −−1 ()),+ ) ≤ 402,т.е. точка −−1 () 402-отслеживает псевдотраекторию .29Таким образом, для завершения доказательства теоремы 6 достаточно доказать, что ( (1 ,4,1001 )) ∩ (2 ,4,1002 ) ̸= ∅.(1.4.28)Для этого покажем вначале, чтоdist( (1 ),2 ) ≤ 23 .(1.4.29)Из явного вида следует, что (1 ) = (6,0 ,0 + 1).

Теперь требуемое неравенство (1.4.29)следует из цепочки неравенств:dist( (1 ), 2 ) = |(0 ,0 + 1) − (( ()) ,( ()) )| ≤|(0 ,0 + 1) − (0 + 1 (0 ),0 + 2 (0 ) + 1)|++ |(0 + 1 (0 ),0 + 2 (0 ) + 1) − (( ()) ,( ()) )| ≤≤ |(1 (0 ),2 (0 ))| + dist( (), ()) ≤ |0 − 4|3 + (L′ + L′′ )4 == (1 + (L′ + L′′ ))3 ≤ 23при (L′ + L′′ )0 ≤ 1. Здесь мы также учли, что () = (0 ,0 ,0 ) = (0 + 2,0 + 1 (0 ),0 + 1 + 2 (0 )),где 1 и 2 — функции, определенные в (1.4.22).Теперь соотношение (1.4.28) сводится к доказательству следующей леммы.Лемма 3. Предположим, что число > 0 удовлетворяют неравенству123 ≤1.12Рассмотрим отображение : [3,5] × R2 → R3 ,заданное по формуле: (,,) = ( + 2, + ( − 4)3 sin(), + ( − 4)3 cos() + 1).−4−4Пусть даны две точки 1 = (4,1 ,1 ) и 2 = (6,2 ,2 ); положим1 = |(1 ,1 )|,2 = |(2 ,2 − 1)|.(1.4.30)30Предположим, что выполнено неравенство:dist( (1 ),2 ) ≤ 23 .(1.4.31)Тогда ( (1 ,4,1001 )) ∩ (2 ,4,1002 ) ̸= ∅.Доказательство.

Предположим вначале, что выполнено неравенство2 ≥ 1 .(1.4.32)В этом случае мы покажем, что ( (1 ,4,0)) ∩ (2 ,4,1002 ) ̸= ∅.Поскольку (1 ) = (6,1 ,1 + 1), то из неравенства (1.4.32) следует оценка|(1 ,1 + 1) − (0,1)| = 1 ≤ 2 .(1.4.33)Положим 3 = 2 − (1 ), 3 = |3 |. Из (1.4.33) следуют оценки3 = dist( (1 ),2 ) = |(1 ,1 + 1) − (2 ,2 )| ≤≤ |(1 ,1 + 1) − (0,1)| + |(2 ,2 ) − (0,1)| = 1 + 2 ≤ 22 .(1.4.34)Рассмотрим теперь кривую на плоскости() = (3 sin( ), 3 cos( )) при ̸= 0,(0) = 0.Пусть ′3 = ((3 ) ,(3 ) ) ∈ R2 .

Мы покажем, что найдется такое число 0 ∈ [0,4], чтоимеет место включение(0 ) ∈ (′3 ,1002 ).Заметим для начала, что в силу (1.4.31) выполнено неравенство|′3 | = |3 | = 3 = dist( (1 ),2 ) ≤ 23 .1Положим = (3 ) 3 . Найдем величину ∆ > 0, за которую кривая()̂︀ = (sin( ), cos( ))(1.4.35)31делает полный оборот вокруг начала координат, начиная из точки = .

Величина ∆, очевидно, удовлетворяет соотношению:−= 2. +∆Из простых вычислений следует, что∆=2 2.1 − 2Разумеется, чтобы полученное нами выражение для ∆ было положительным, необходимынекоторые условия малости для значения (а именно, необходимо, чтобы < 21 ). Это условиевыполняется, поскольку в силу (1.4.30) и (1.4.35) мы можем оценить величину :11 = (3 ) 3 ≤ 2 3 ≤1.12(1.4.36)Кроме того, из (1.4.30) и (1.4.36) также следует справедливость неравенства(1.4.37)∆ ≤ 4 2 .Оценим расстояние между ( + ∆) и ( ):|( + ∆) − ( )| = ( + ∆)3 − 3 = ∆(3 2 + 3 ∆ + ∆2 ) ≤≤ ∆(3 2 + (12 ) 2 + (16 2 ) 2 ) ≤ 4 2 · 5 2 ≤ 20 4 .Здесь мы использовали неравенства (1.4.30), (1.4.36) и (1.4.37).Из неравенств (1.4.30), (1.4.34), (1.4.36) следует оценка1120 4 = 203 ≤ 203 2 3 ≤ 20 · 2 · 2 3 2 ≤ 1002 ,откуда|( + ∆) − ( )| = ( + ∆)3 − 3 < 1002 .(1.4.38)Покажем теперь, что найдется такое 0 ∈ [, + ∆], что имеет место включение(0 ) ∈ (3 ,1002 ).(1.4.39)Действительно, при ∈ [, + ∆] точки () лежат внутри кольца{(,) ∈ R2 | 3 ≤ |(,)| ≤ ( + ∆)3 },причем обе граничные окружности 1 = {|(,)| = 3 } и 2 = {|(,)| = ( +∆)3 } пересекаются с (′3 ,1002 ).

Это следует из включения ′3 ∈ 1 и неравенства (1.4.38). А поскольку ()̂︀32при ∈ [, + ∆] делает полный оборот вокруг начала координат, то существование искомого0 становится в свете сказанного геометрически очевидным.Отметим, кроме того, что в силу (1.4.37) выполнено неравенство10 ≤ + ∆ ≤ 2 3 + 2 ≤ 4.(1.4.40)Из оценки (1.4.40) следует, что точка = (4 + 0 ,1 ,1 )принадлежит множеству (1 ,4,0).Кроме того, из (1.4.39) и из явного вида отображения мы получаем, что для точки ()выполнено включение( () , () ) = (1 ,1 + 1) + (0 ) ∈ (1 ,1 + 1) + (′3 ,1002 ),и поскольку (1 ,1 + 1) = ( (1 ), (1 )), то(1 ,1 + 1) + (′3 ,1002 ) = (′2 ,1002 ).Таким образом, вместе с (1.4.40) это дает нам включение () ∈ (2 ,4,1002 ),что и требовалось.В оставшемся случае 2 ≤ 1 достаточно заметить, что −1 задается формулой, аналогичной формуле для .

Таким образом, повторяя приведенные выше рассуждения с заменой на −1 , мы получим: −1 ( (2 ,4,0)) ∩ (1 ,4,1001 ) ̸= ∅,что и требовалось. 1.5Доказательство основного результата.В этом разделе мы докажем теорему 5.Мы построим искомый диффеоморфизм на многообразии 1 × 2 .Нам будет удобно для дальнейшего фиксировать специально выбранные карты на 1 и 2 . Так, пусть точки 1 = (0, − 1), 1 = (0,1),1 ,1 ∈ 1 = { ∈ R2 | || = 1},33точки 2 = (0,0, − 1), 2 = (0,0,1),2 ,2 ∈ 2 = { ∈ R3 | || = 1}.Точки 1 ,1 делят окружность 1 на две замкнутые дуги 1 , 2 .

Ясно, что найдутся такиекарты (1 ,1 ), (2 ,2 ), где ⊂ 1— открытые подмножества 1 , ⊂ , = 1,2, агомеоморфизмы 1 ,2 удовлетворяют дополнительным требованиям: : → (−1,9), = 1,2, ( ) = [0,8], = 1,2,−1 (0) = 1 , = 1,2,−1 (8) = 1 , = 1,2,−11 ((−1,1) ∪ (7,9)) ⊂ 2 ,−12 ((−1,1) ∪ (7,9)) ⊂ 1 ,2 −11 |(−1,1) () = −,2 −11 |(7,9) () = −( − 8) + 8.Рассмотрим карты (1 ,1 ), (2 ,2 ), где 1 = 2 ∖ {2 }, 2 = 2 ∖ {2 }, а гомеоморфизмы1 : 1 → R2 ,2 : 2 → R2 ,удовлетворяют дополнительному соотношению:1 ∘2−1 |R2 ∖{0}(︂(,) =, 222 + + 2)︂.Мы явно зададим отображение на множестве 1 × 1 (при этом будет выполнено равенство ( 1 × 1 ) = 1 × 1 ), а затем по непрерывности доопределим на 1 × {2 }.Нам также понадобятся отображения 1 ,ℎ1 ,, определенные в предыдущем разделе.Положим = [0,8] × R × R ⊂ R3 .Отметим, что выполнены соотношения(1 ,1 )−1 () ⊂ 1 × 1 ,(2 ,1 )−1 () ⊂ 2 × 1 ,34(1 ,1 )−1 () ∪ (2 ,1 )−1 () = 1 × 1 .Определим диффеоморфизм на множестве (1 ,1 )−1 () по формуле () = (1 ,1 )−1 (1 ((1 ,1 )())),где 1 (,,) = (1 (),ℎ1 (,,)).Для задания системы на множестве (2 ,1 )−1 () нам потребуется построить функции,аналогичные 1 и ℎ1 .

Мы обозначим их через 2 ,ℎ2 .Так, пусть 2 : [−1,9] → [−3,8 31 ] ∞ -гладкая функция, удовлетворяющая тем же условиям,что и функция 1 :– 2−1 существует и также принадлежит классу ∞ ;– 2 () = 3 для ∈ [−1,1],– 2 () = + 2 для ∈ [1 + ,5],– 2 () = 31 ( − 8) + 8 для ∈ [5 + 3, 9],– − 2 () < 0 для ∈ (0,8).Здесь то же, что и в предыдущем разделе.Пусть далее ℎ2 (,,), где (,,) ∈ (где множество = (−1,9) × R × R ⊂ R3 былоопределено в предыдущем разделе) задается следующей формулой:1 1ℎ2 (,,) = ( , ) для ∈ [−1,1],3 3(︂(︂)︂)︂ (︂(︂)︂)︂1 2−1+1 2−1+ℎ2 (,,) = (+ + ,)3 33 3для ∈ [1,1 + ] ,ℎ2 (,,) = (,) для ∈ [1 + ,5](︂ℎ2 (,,) = ((1 + 2)︂(︂)︂(︂)︂−5−5−5),(1 + 2) − 2)333для ∈ [5,5 + 3],ℎ2 (,,) = (3,3( − 1) + 1) для ∈ [5 + 3, 9].Положим 2 (,,) = (2 (),ℎ2 (,,)) для точек(,,) ∈ = [−1,9] × R × R ⊂ R3 .35Отметим, что 2 отличается от 1 — на промежутке ∈ [3 + ,5] мы оставили значение ℎ2тем же, что и при ∈ [1,3], тем самым избежав пересечения устойчивого многообразия вточке 1 и неустойчивого многообразия в точке 2 .Зададим диффеоморфизм на множестве (2 ,1 )−1 () по формуле () = (2 ,1 )−1 (2 ((2 ,1 )())).Отметим, что для точек ∈ ((1 ,1 )−1 () ∩ (2 ,1 )−1 ()) × 1 значение задано корректно в силу нашего выбора карт.

Характеристики

Список файлов диссертации