Автореферат (1150879)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

На правах рукописиПетров Алексей АлексеевичТопологические свойства и конструкции,связанные с глобальной динамикойСпециальность 01.01.04 — Геометрия и топологияАвторефератдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукСанкт-Петербург2015Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Пилюгин Сергей Юрьевич.Официальные оппоненты:МАЛЮТИН Андрей Валерьевич, доктор физико-математических наук, ПОМИ РАН, ведущий научный сотрудникОСИПОВ Алексей Валерианович, кандидат физико-математическихнаук, Инвестиционная фирма "ОЛМА", менеджерВедущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций имени проф.

М. А. Бонч-БруевичаЗащита состоится “”2015г. на заседании диссертацион-ного совета Д 212.232.29 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, В.О. 10 линия 33-35, ауд. 74.СдиссертациейМ.ГорькогоможноознакомитьсяСанкт-ПетербургскогоСанкт-Петербург,УниверситетскаявНаучнойуниверситетапонабережная,7/9библиотекеадресу:инаhttp://spbu.ru/science/disser/dissertatsii-dopushchennye-k-zashchite-isvedeniya-o-zashchite.Автореферат разослан “Ученый секретарьдиссертационного совета”2015г.Нежинский В. М.им.199034,сайтеОбщая характеристика работыАктуальность темы.Одной из интенсивно изучаемых в последнее время задач теории диффеоморфизмов гладких многообразий является задача об отслеживании ихприближенных траекторий.Известно, что для диффеоморфизмазамкнутого многообразияследующие три утверждения эквивалентны:(1)удовлетворяет аксиоме А и строгому условию трансверсальности;(2)структурно устойчив;(3)обладает липшицевым свойством отслеживания.Часто диффеоморфизмы, удовлетворяющие одному из условий (1) или(2) (а, следовательно, и всем остальным), называют “системами с гиперболическим поведением”.

Кроме того, далее в тексте слово “система” будет длянас синонимом термина “диффеоморфизм гладкого многообразия”.В связи с эквивалентностью пунктов (1) и (3) представляется естественным исследовать условия наличия свойств отслеживания для систем,удовлетворяющих аксиоме А. Так, выполнение аксиомы А означает, чтонеблуждающее множество исследуемой системы достаточно “хорошо устроено” с точки зрения глобальной качественной теории (оно гиперболично, ив нем плотны периодические точки). Изучая такие системы в теории отслеживания, естественно предположить, что условия наличия свойства отслеживания могут быть выражены в терминах, описывающих взаимное поведение устойчивых и неустойчивых многообразий неблуждающих траекторий.

Например, если эти многообразия трансверсальны в стандартномдифференциально-топологическом смысле (т.е. если выполнено строгое условие трансверсальности), то, как уже было сказано, система структурно устойчива и обладает липшицевым свойством отслеживания. В случае, если фазовое пространство системы(т.е. многообразие)двумерно, то, как бы-ло установлено математиком Казухиро Сакаем (Kazuhiro Sakai), необходимое и достаточное условия наличия свойства отслеживания формулируется в терминах пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий (аименно, устойчивые и неустойчивые многообразия должны пересекаться 0-трансверсально). Поэтому представляют интерес следующие два вопроса:можно ли сформулировать необходимое и достаточное условие свойства отслеживания и, в более частном случае, условия гельдерова свойства отслеживания (соответствующее определение приведено ниже) для систем с аксиомой А в терминах пересечений устойчивых и неустойчивых многообразий3для произвольных размерностей (подчеркнем еще раз, что для двумерныхсистем и для стандартного свойства отслеживания условие состоит в 0-трансверсальности устойчивых и неустойчивых многообразий)? И возможенли какой-нибудь аналог отслеживания при не 0 -трансверсальномпересече-нии устойчивого и неустойчивого многообразий?Отметим также, что, по большей части, стандартные подходы к исследованию динамических систем позволяют доказать наличие свойств отслеживания гладких систем с гиперболическим поведением траекторий.

В связи сэтим представляется актуальным исследовать вопрос наличия свойства отслеживания у негладких систем (гомеомофризмов метрических пространств).Цель работыЦелью работы является изучение некоторых связей между свойствомотслеживания приближенных траекторий гомеоморфизмов метрических пространств (или, в частном случае, диффеоморфизмов гладких многообразий) иразличными объектами, характеризующими динамику этих гомеоморфизмов(диффеоморфизмов), например, типами пересечений устойчивых и неустойчивых многообразий, наличием специальных аналогов функций Ляпунова ипр.Методы исследованийОсновными методами, используемыми в диссертации, являются методы теории гладких диффеоморфизмов. Кроме того, используются методы теории отслеживания псевдотраекторий в окрестности гиперболическогомножества, а также метод вспомогательных функций Ляпунова для доказательства наличия отслеживания, разработанный Х. Левовичем и его учениками и модифицированный в работах С.

Ю. Пилюгина и диссертанта.Основные результаты работыОсновные результаты работы заключаются в следующем.1. Показано,чтоестественноемногомерноеобобщениепонятия 0-трансверсальности, введенного Казухиро Сакаем, не является необходимым для наличия свойства отслеживания у диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме А.2.

Приведены достаточные условия наличия свойства отслеживания у гомеоморфизмов компактного метрического пространства. Полученные4методы могут быть применены и к случаю негиперболических диффеоморфизмов.3. Показано, что значение показателя Гельдера гельдерова свойства отслеживания диффеоморфизма, удовлетворяющего аксиоме А, зависит нетолько от характера пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий, но и от класса гладкости данного диффеоморфизма.4.

Для диффеоморфизмов поверхностей, удовлетворяющих аксиоме А,но не удовлетворяющих условию 0 -трансверсальности,показано, что,несмотря на отсутствие у них свойства отслеживания, диффеоморфизмможет обладать свойством отслеживания с плавающей точностью.Таким образом, в данной работе исследована связь между наличием свойстваотслеживания и различными свойствами гомеоморфизмов и диффеоморфизмов (имеющими геометрическую или топологическую природу).Научная новизнаВсе результаты диссертации являются новыми.Теоретическая и практическая ценностьРабота носит теоретический характер.

Полученные результаты проясняют связь между наличием свойства отслеживания у систем и различнымиобъектами, характеризующими динамику этих систем.Аппробация работыРезультаты диссертационной работы были доложены на следующихсеминарах:1. Семинар по динамическим системам в лаб. им. П. Л. Чебышева—Санкт-Петербург, Россия, 2013, 2014, 2015;2. Петербургский топологический семинар им. В.

А. Рохлина — СанктПетербург, Россия, 2015;а также были включены в доклад автора на конференциии3. International Student Conference “Science and Progress”Петербург, Россия, 2014.Публикации5— Санкт-По материалам диссертации опубликованы работы [1-5]. Из них статьи [1–4] опубликованы в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК,ссылки на которые приведены в конце автореферата.Работы [1–3] написаны в соавторстве с научным руководителем. В этихработах С. Ю. Пилюгину принадлежат постановки задач; доказательства основных результатов этих работ проведены соискателем лично.Структура и объем диссертацииДиссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и спискалитературы.

Список литературы включает 24 названия. Объем диссертации96 страниц.Содержание диссертацииВ главе 0 приведены основные определения и известные результаты.В первой главе исследуется связь между свойством отслеживания итипами пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий дискретныхдинамических систем размерности 3, удовлетворяющих аксиоме А. Доказывается теорема, что условие 0 -трансверсальности не является необходимымдля наличия у системы свойства отслеживания.Пустьгомеоморфизм метрического пространства(,dist),и пусть > 0.Определение 1.

∈ Z}—Будем говорить, что последовательность = { ∈ |-псевдотраектория отображения , если выполнены неравенстваdist( ( ),+1 )Пусть≤ , ∈ Z.(1) > 0.Определение 2.Будем говорить, что точка-псевдотраекторию = { }, ∈ (, )-отслеживаетесли выполнены неравенстваdist((), ) ≤ , ∈ Z.(2)В дальнейшем, при рассмотрении некоторой фиксированной системы,.мы будем просто говорить, что точкаОпределение 3.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации