Главная » Просмотр файлов » Автореферат

Автореферат (1150879), страница 2

Файл №1150879 Автореферат (Топологические свойства и конструкции, связанные с глобальной динамикой) 2 страницаАвтореферат (1150879) страница 22019-06-29СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

-отслеживаетБудем говорить, что системапсевдотраекториюобладает свойством > 0 найдется такое число > 0,что для любой -псевдотраектории = { } найдется точка ∈ , отслеживающая .отслеживания, если для любого6Следующее определение вводит свойство отслеживания, являющимсячастным случаем свойства, введенного в определении 3.Определение 4.,0 > 0, ∈ (0,1),что для любой -псевдотраектории отображения с ∈ (0,0 ) найдется точка ∈ , -отслеживающая псевдотраекторию , то мы будемговорить, что отображение обладает гельдеровым свойством отслеживания с показателем Гельдера равным . Если = 1, то мы будем говорить,что отображение обладает липшицевым свойством отслеживания.Если существуют такие константыТакже, мы будем рассматривать свойства отслеживания отображенияна некоторых подмножествах объемлющего метрического пространстваТак, пусть⊂— непустое подмножество.Определение 5.

Будем говорить, что отображение отслеживания на множестве > 0,что любая.,если для любого-псевдотраектория ⊂ обладает свойством > 0найдется такоеможет быть-отслеженаточной.Аналогично определяются липшицево и гельдерово свойства отслеживания на множестве.Также нам будет удобно сформулировать следующие определения, являющиеся “конечными” аналогами определений 1 и 3.Определение 6.Пусть | = , . .

. , }(где > 0. Конечную последовательность = { ∈, ∈ Z, ≤ ), удовлетворяющую неравенствамdist( ( ),+1 )мы будем называть конечной≤ , = , . . . , − 1,(3)-псевдотраекторией.Определение 7. Будем говорить, что система обладает конечным свой-любой конечной > 0 найдется такое > 0, что для = { ∈ | = , .

. . , }, найдетсятакая точканеравенстваством отслеживания, если для любого-псевдотраектории ∈ , что выполненыdist((),+ ) ≤ ,Отметим, что в определении 7псевдотраектории (т.е. значенийПро точкуговорить, что она = 0, . . . , − .зависит только от(4),а не от длины,)., удовлетворяющую соотношениям (4), мы также-отслеживает конечную псевдотраекторию .будемОтметим, что для компактных метрических пространств определение7 эквивалентно определению 3.7Дадимопределение 0 -трансверсальности.многомерной(, dist) — гладкое замкнутое связное многообразиеdist, а — топологическое пространство.Пустьс римановой метрикой в многообразие (которое мы будем обозначать через (, )), введем 0 -равномернуюметрику, заданную по правилу: для 1 ,2 ∈ (, )На пространстве всех непрерывных отображений из|1 ,2 | 0 = sup(dist(1 (),2 ())).∈Определение 8.

Пусть > 0, A,B, ⊂ — топологические пространства, ⊂— произвольные подмножества, и пусть даны два непрерывныхℎ1 : → , ℎ2 : → .ℎ1 ( ) ∩ ℎ2 ( ) -существенно, если дляотображенияБудем говорить, что пересечениелюбых непрерывных отображенийℎ̃︀1 : → ,ℎ̃︀2 : → ,таких что|ℎ1 ,ℎ̃︀1 | 0 ≤ , |ℎ2 ,ℎ̃︀2 | 0 ≤ ,выполнено соотношениеℎ̃︀1 ( ) ∩ ℎ̃︀2 ( ) ̸= ∅.Определение 9.Пусть вновь,— топологические пространства,ℎ1 : → , ℎ2 : → — непрерывные отображения, и пусть точки ∈ , ∈ таковы, что ℎ1 () = ℎ2 ().

Будем говорить, что в паре точек(,) отображения ℎ1 и ℎ2 0 -трансверсальны, если для любых открытыхмножеств () ⊂ , () ⊂ , таких что ∈ (), ∈ (), найдетсятакое > 0, что пересечение ℎ1 ( ()) ∩ ℎ2 ( ()) -существенно.Наконец, дадим определение 0 -трансверсальностидвух отображе-ний.Определение 10. Пусть ,ℎ1 : →что ℎ1 и— топологические пространства, а, ℎ2 : → — непрерывные отображения.

Будем говорить,ℎ2 0 -трансверсальны, если для любых точек ∈ , ∈ , таких чтоℎ1 () = ℎ2 (), отображения ℎ1 и ℎ2 0 -трансверсальны в паре точек (,). 0 -трансверсальности для диффеоморфизма замкнутого многообразия , удовлетворяющего аксиоме А.Напомним, что диффеоморфизм удовлетворяет аксиоме А, еслиТеперь мы сформулируем условие— множество неблуждающих точек— периодические точки плотны вΩ( )Ω( ).8гиперболично;Для точки ∈ Ω( )обозначим соответственно черезчивое и неустойчивое многообразия точкиОпределение 11.

()и ()устой-. удовлетворяет ∈ () ∩ (), гдеБудем говорить, что диффеоморфизм 0 -трансверсальности, если любая точка, ∈ Ω( ), является 0 -трансверсальной точкой пересечения многообразий () и ().условиюОсновным результатом главы 1 является следующая теорема.Теорема 1.Существует3-многообразиячто, 1 -гладкийдиффеоморфизм: → гладкогоудовлетворяющий следующим условиям:(1) удовлетворяет аксиоме ;(2) найдутся такие две неподвижные гиперболические точки 1 ,2 ,dim( (1 )) = dim( (2 )) = 1, и (1 ) ∩ (2 ) ̸= ∅;(3) обладает гельдеровым свойством отслеживания с показателемГельдера14.Во второй главе даны достаточные условия, при которых гомеоморфизм компактного метрического пространства обладает конечным свойствомотслеживания.

В приведенных условиях используются аналоги функций Ляпунова.Сформулируем основной результат главы 2. Пустьметрического протранства— гомеоморфизм(,dist).Сформулируем основное предположение.Мы предполагаем, что пространствокомпактно и существуют такие и , заданные на замкнутой окрестностидиагонали × , что (,) = (,) = 0 для всех ∈ , и что выполненыдве неотрицательные функцииусловия (C1)-(C9), сформулированные ниже. В дальнейшем мы также предполагаем, что аргументы функцийтак что значения функцийиидостаточно близки друг к другу,определены.Мы формулируем условия (C1)-(C9) в терминах геометрических объектов, порожденных функциямии ).и(а не в терминах самих функцийОсновной причиной для выбора такой формы условий является тотфакт, что в точности таким образом сформулированные условия используются при доказательстве наличия свойства отслеживания, и что в таком видеэти условия можно легко проверить для конкретных функцийФиксируем положительные числа, > 0и точку ∈ .

(,,) = { ∈ | (,) ≤ , (,) ≤ },(,,) = { ∈ (,,) | (,) = },9и.Положим (,,) = { ∈ (,,) | (,) = 0}.Обозначим черезточке,(,)открытый шар радиуса > 0с центром вт.е.(,) = { ∈ | dist(,) < }.Положим0Int (,,) = { ∈ (,,) | (,) < , (,) < }, 0 (,,) = (,,) ∪ { ∈ (,,) | (,) = },0Int(,,) = { ∈ (,,) | (,) = , (,) < }.Сформулируем условия (C1)-(C4), в которых содержатся предположения о геометрии множеств, введенных выше.(C1) Для любого > 0найдется такое числоΔ0 = Δ0 () > 0,чтовключение (Δ0 ,Δ0 ,) ⊂ (,)выполнено для всех ∈ .Δ1 > 0, что для любой точки ∈ и1 ,2 ,Δ < Δ1 и 2 < Δ найдется такое числоНайдется такая константалюбых положительных чисел = (1 ,2 ,Δ) > 0,что(C2) множество(C3)(1 ,2 ,)(1 ,2 ,) (1 ,2 ,); (1 ,2 ,) ∖ (1 ,2 ,);не является ретрактомявляется ретрактом(C4) существует ретракция : (1 ,Δ,) → (1 ,2 ,),обладающая следующим свойством: если (,) ̸= 0, то ((),()) ̸= 0 для ∈ (,Δ,).В следующей группе условий мы сформулируем наши предположенияо поведении введенных выше множеств и их образов под действием гомеоморфизма.Δ < Δ1 найдутся такие положи ∈ выполнены следующие соотно-Мы предполагаем, что для любоготельные числа1 ,2 < Δ,что для всехшения: ( (1 ,2 ,)) ⊂ Int0 (Δ,Δ, ()), −1 ( (1 ,2 , ())) ⊂ Int0 (Δ,Δ,);0(C6) ( (1 ,2 ,)) ⊂ Int (1 ,2 , ());(C7) ( (1 ,Δ,)) ∩ (1 ,2 , ()) = ∅;00(C8) ( (1 ,2 ,)) ∩ (1 ,2 , ()) ⊂ Int (1 ,2 , ());(C9) ((1 ,Δ,)) ∩ (1 ,2 , ()) = ∅, где(С5)10(1 ,Δ,) = { ∈ (Δ,Δ,) | (,) ≥ 1 }.Основным результатом главы 2 является следующая теорема.Теорема 2.Предположим, что гомеоморфизм(C1)-(C9).

Тогдаудовлетворяет условиямобладает конечным свойством отслеживания.Этот результат применяется для получения условий топологическойустойчивости гомеоморфизма компактного метрического пространства и дляполучения условий наличия свойства отслеживания в окрестности негиперболической неподвижной точки.В третьей главе мы показываем, что для модельного примера в случаекубического касания устойчивого и неустойчивого многообразий двумернаясистема класса гладкостис показателем Гельдеравысить до 1 обладает гельдеровым свойством отслеживания14 , причем значение показателя Гельдера можно по213 , если система обладает классом гладкости1пример системы класса гладкости, а также приводимс кубическим касанием устойчивого инеустойчивого многообразий, не обладающей гельдеровым свойством отслеживания с показателем Гельдера ∈ ( 41 ,1]. : R2 → R2 — диффеоморфизм класса гладкости ,1 ,2 — гиперболические неподвижные точки седловогоПустьN.Пустьгде∈типа, ипредположим, что выполнены следующие условия:(d1)(d2) (1 )линеен в окрестностяхи (2 )1и2точек1и2соответственно;обладают точкой кубического касания(d3) найдется такая окрестностьточки,что; −1 () ⊂ 1 , () ⊂ 2 .Одним из основных результатов главы 3 является следующая теорема.Теорема 3.(1) Еслиобладет гельдеровым свойством отслеживания в1 ∪ ∪ 2 с показателем Гельдера , то ≤ 31 .(2) Диффеоморфизм обладает гельдеровым свойством отслежива1ния в 1 ∪ ∪ 2 с показателем Гельдера .42(3) Если принадлежит классу гладкости , то обладает гельдеровым свойством отслеживания в 1 ∪ ∪ 2 с показателем Гельдера13.1(4) Найдется диффеоморфизм класса гладкости , удовлетворяющий условиям (d1)-(d3), но не обладающий гельдеровым свойством отсле1живания с показателем Гельдера > .411В третьей главе изучено отслеживание в окрестности сепаратрисы,ведущей из седла в седло.Рассмотрим диффеоморфизм класса2двумерной плоскости, : R2 → R2 .Пусть1и2— гиперболические неподвижные точки седлового типа.Предположим, что в окрестностяхморфизмлинеен, и что точкиОпределение 12.1и21точки1и22.точкисоединены сепаратрисойдиффео-, > 0, ∈ N.

Будем говорить, что конечная2последовательность = { }=0 точек в R есть -псевдотраектория дляℎ с плавающей точностью степени относительно сепаратрисы , еслиПустьdist( ( ),+1 )Сформулируем≤ (dist( ,)) ,результатглавы3, = 0, . . . , − 1.касающийсяотслеживания(5)вокрестности сепаратрисы.Теорема 4. > 0, что для любого > 0 существуетконечная -псевдотраектория = { }=0 для с плавающей точностьюстепени 1 относительно сепаратрисы , для которой не существует точки ∈ R2 , -отслеживающей псевдотраекторию .Найдется такоеТеорема 5.

Пусть > 0. Найдутся такие положительные числа ,0 , что ∈ (0,0 ) и для любой конечной -псевдотраектории = { }=0 , лежащей в () и удовлетворяющей неравенствамдля любогодля| ( ) − (+1 ) | ≤ |( ) |1+ ,найдется точка = 0, . . . , − 1,(6) ∈ (), -отслеживающая .ЗаключениеИтоги исследования позволяют прояснить связь между наличием свойства отслеживания и такими объектами, характеризующими динамику системы, как 0 -трансверсальностьпересечения устойчивых и неустойчивыхмногообразий (теорема 1), гладкостью системы и характером пересеченияустойчивых и неустойчивых многообразий (теорема 3).

Характеристики

Список файлов диссертации

Топологические свойства и конструкции, связанные с глобальной динамикой
Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6363
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее