Автореферат (1150879), страница 2
Текст из файла (страница 2)
-отслеживаетБудем говорить, что системапсевдотраекториюобладает свойством > 0 найдется такое число > 0,что для любой -псевдотраектории = { } найдется точка ∈ , отслеживающая .отслеживания, если для любого6Следующее определение вводит свойство отслеживания, являющимсячастным случаем свойства, введенного в определении 3.Определение 4.,0 > 0, ∈ (0,1),что для любой -псевдотраектории отображения с ∈ (0,0 ) найдется точка ∈ , -отслеживающая псевдотраекторию , то мы будемговорить, что отображение обладает гельдеровым свойством отслеживания с показателем Гельдера равным . Если = 1, то мы будем говорить,что отображение обладает липшицевым свойством отслеживания.Если существуют такие константыТакже, мы будем рассматривать свойства отслеживания отображенияна некоторых подмножествах объемлющего метрического пространстваТак, пусть⊂— непустое подмножество.Определение 5.
Будем говорить, что отображение отслеживания на множестве > 0,что любая.,если для любого-псевдотраектория ⊂ обладает свойством > 0найдется такоеможет быть-отслеженаточной.Аналогично определяются липшицево и гельдерово свойства отслеживания на множестве.Также нам будет удобно сформулировать следующие определения, являющиеся “конечными” аналогами определений 1 и 3.Определение 6.Пусть | = , . .
. , }(где > 0. Конечную последовательность = { ∈, ∈ Z, ≤ ), удовлетворяющую неравенствамdist( ( ),+1 )мы будем называть конечной≤ , = , . . . , − 1,(3)-псевдотраекторией.Определение 7. Будем говорить, что система обладает конечным свой-любой конечной > 0 найдется такое > 0, что для = { ∈ | = , .
. . , }, найдетсятакая точканеравенстваством отслеживания, если для любого-псевдотраектории ∈ , что выполненыdist((),+ ) ≤ ,Отметим, что в определении 7псевдотраектории (т.е. значенийПро точкуговорить, что она = 0, . . . , − .зависит только от(4),а не от длины,)., удовлетворяющую соотношениям (4), мы также-отслеживает конечную псевдотраекторию .будемОтметим, что для компактных метрических пространств определение7 эквивалентно определению 3.7Дадимопределение 0 -трансверсальности.многомерной(, dist) — гладкое замкнутое связное многообразиеdist, а — топологическое пространство.Пустьс римановой метрикой в многообразие (которое мы будем обозначать через (, )), введем 0 -равномернуюметрику, заданную по правилу: для 1 ,2 ∈ (, )На пространстве всех непрерывных отображений из|1 ,2 | 0 = sup(dist(1 (),2 ())).∈Определение 8.
Пусть > 0, A,B, ⊂ — топологические пространства, ⊂— произвольные подмножества, и пусть даны два непрерывныхℎ1 : → , ℎ2 : → .ℎ1 ( ) ∩ ℎ2 ( ) -существенно, если дляотображенияБудем говорить, что пересечениелюбых непрерывных отображенийℎ̃︀1 : → ,ℎ̃︀2 : → ,таких что|ℎ1 ,ℎ̃︀1 | 0 ≤ , |ℎ2 ,ℎ̃︀2 | 0 ≤ ,выполнено соотношениеℎ̃︀1 ( ) ∩ ℎ̃︀2 ( ) ̸= ∅.Определение 9.Пусть вновь,— топологические пространства,ℎ1 : → , ℎ2 : → — непрерывные отображения, и пусть точки ∈ , ∈ таковы, что ℎ1 () = ℎ2 ().
Будем говорить, что в паре точек(,) отображения ℎ1 и ℎ2 0 -трансверсальны, если для любых открытыхмножеств () ⊂ , () ⊂ , таких что ∈ (), ∈ (), найдетсятакое > 0, что пересечение ℎ1 ( ()) ∩ ℎ2 ( ()) -существенно.Наконец, дадим определение 0 -трансверсальностидвух отображе-ний.Определение 10. Пусть ,ℎ1 : →что ℎ1 и— топологические пространства, а, ℎ2 : → — непрерывные отображения.
Будем говорить,ℎ2 0 -трансверсальны, если для любых точек ∈ , ∈ , таких чтоℎ1 () = ℎ2 (), отображения ℎ1 и ℎ2 0 -трансверсальны в паре точек (,). 0 -трансверсальности для диффеоморфизма замкнутого многообразия , удовлетворяющего аксиоме А.Напомним, что диффеоморфизм удовлетворяет аксиоме А, еслиТеперь мы сформулируем условие— множество неблуждающих точек— периодические точки плотны вΩ( )Ω( ).8гиперболично;Для точки ∈ Ω( )обозначим соответственно черезчивое и неустойчивое многообразия точкиОпределение 11.
()и ()устой-. удовлетворяет ∈ () ∩ (), гдеБудем говорить, что диффеоморфизм 0 -трансверсальности, если любая точка, ∈ Ω( ), является 0 -трансверсальной точкой пересечения многообразий () и ().условиюОсновным результатом главы 1 является следующая теорема.Теорема 1.Существует3-многообразиячто, 1 -гладкийдиффеоморфизм: → гладкогоудовлетворяющий следующим условиям:(1) удовлетворяет аксиоме ;(2) найдутся такие две неподвижные гиперболические точки 1 ,2 ,dim( (1 )) = dim( (2 )) = 1, и (1 ) ∩ (2 ) ̸= ∅;(3) обладает гельдеровым свойством отслеживания с показателемГельдера14.Во второй главе даны достаточные условия, при которых гомеоморфизм компактного метрического пространства обладает конечным свойствомотслеживания.
В приведенных условиях используются аналоги функций Ляпунова.Сформулируем основной результат главы 2. Пустьметрического протранства— гомеоморфизм(,dist).Сформулируем основное предположение.Мы предполагаем, что пространствокомпактно и существуют такие и , заданные на замкнутой окрестностидиагонали × , что (,) = (,) = 0 для всех ∈ , и что выполненыдве неотрицательные функцииусловия (C1)-(C9), сформулированные ниже. В дальнейшем мы также предполагаем, что аргументы функцийтак что значения функцийиидостаточно близки друг к другу,определены.Мы формулируем условия (C1)-(C9) в терминах геометрических объектов, порожденных функциямии ).и(а не в терминах самих функцийОсновной причиной для выбора такой формы условий является тотфакт, что в точности таким образом сформулированные условия используются при доказательстве наличия свойства отслеживания, и что в таком видеэти условия можно легко проверить для конкретных функцийФиксируем положительные числа, > 0и точку ∈ .
(,,) = { ∈ | (,) ≤ , (,) ≤ },(,,) = { ∈ (,,) | (,) = },9и.Положим (,,) = { ∈ (,,) | (,) = 0}.Обозначим черезточке,(,)открытый шар радиуса > 0с центром вт.е.(,) = { ∈ | dist(,) < }.Положим0Int (,,) = { ∈ (,,) | (,) < , (,) < }, 0 (,,) = (,,) ∪ { ∈ (,,) | (,) = },0Int(,,) = { ∈ (,,) | (,) = , (,) < }.Сформулируем условия (C1)-(C4), в которых содержатся предположения о геометрии множеств, введенных выше.(C1) Для любого > 0найдется такое числоΔ0 = Δ0 () > 0,чтовключение (Δ0 ,Δ0 ,) ⊂ (,)выполнено для всех ∈ .Δ1 > 0, что для любой точки ∈ и1 ,2 ,Δ < Δ1 и 2 < Δ найдется такое числоНайдется такая константалюбых положительных чисел = (1 ,2 ,Δ) > 0,что(C2) множество(C3)(1 ,2 ,)(1 ,2 ,) (1 ,2 ,); (1 ,2 ,) ∖ (1 ,2 ,);не является ретрактомявляется ретрактом(C4) существует ретракция : (1 ,Δ,) → (1 ,2 ,),обладающая следующим свойством: если (,) ̸= 0, то ((),()) ̸= 0 для ∈ (,Δ,).В следующей группе условий мы сформулируем наши предположенияо поведении введенных выше множеств и их образов под действием гомеоморфизма.Δ < Δ1 найдутся такие положи ∈ выполнены следующие соотно-Мы предполагаем, что для любоготельные числа1 ,2 < Δ,что для всехшения: ( (1 ,2 ,)) ⊂ Int0 (Δ,Δ, ()), −1 ( (1 ,2 , ())) ⊂ Int0 (Δ,Δ,);0(C6) ( (1 ,2 ,)) ⊂ Int (1 ,2 , ());(C7) ( (1 ,Δ,)) ∩ (1 ,2 , ()) = ∅;00(C8) ( (1 ,2 ,)) ∩ (1 ,2 , ()) ⊂ Int (1 ,2 , ());(C9) ((1 ,Δ,)) ∩ (1 ,2 , ()) = ∅, где(С5)10(1 ,Δ,) = { ∈ (Δ,Δ,) | (,) ≥ 1 }.Основным результатом главы 2 является следующая теорема.Теорема 2.Предположим, что гомеоморфизм(C1)-(C9).
Тогдаудовлетворяет условиямобладает конечным свойством отслеживания.Этот результат применяется для получения условий топологическойустойчивости гомеоморфизма компактного метрического пространства и дляполучения условий наличия свойства отслеживания в окрестности негиперболической неподвижной точки.В третьей главе мы показываем, что для модельного примера в случаекубического касания устойчивого и неустойчивого многообразий двумернаясистема класса гладкостис показателем Гельдеравысить до 1 обладает гельдеровым свойством отслеживания14 , причем значение показателя Гельдера можно по213 , если система обладает классом гладкости1пример системы класса гладкости, а также приводимс кубическим касанием устойчивого инеустойчивого многообразий, не обладающей гельдеровым свойством отслеживания с показателем Гельдера ∈ ( 41 ,1]. : R2 → R2 — диффеоморфизм класса гладкости ,1 ,2 — гиперболические неподвижные точки седловогоПустьN.Пустьгде∈типа, ипредположим, что выполнены следующие условия:(d1)(d2) (1 )линеен в окрестностяхи (2 )1и2точек1и2соответственно;обладают точкой кубического касания(d3) найдется такая окрестностьточки,что; −1 () ⊂ 1 , () ⊂ 2 .Одним из основных результатов главы 3 является следующая теорема.Теорема 3.(1) Еслиобладет гельдеровым свойством отслеживания в1 ∪ ∪ 2 с показателем Гельдера , то ≤ 31 .(2) Диффеоморфизм обладает гельдеровым свойством отслежива1ния в 1 ∪ ∪ 2 с показателем Гельдера .42(3) Если принадлежит классу гладкости , то обладает гельдеровым свойством отслеживания в 1 ∪ ∪ 2 с показателем Гельдера13.1(4) Найдется диффеоморфизм класса гладкости , удовлетворяющий условиям (d1)-(d3), но не обладающий гельдеровым свойством отсле1живания с показателем Гельдера > .411В третьей главе изучено отслеживание в окрестности сепаратрисы,ведущей из седла в седло.Рассмотрим диффеоморфизм класса2двумерной плоскости, : R2 → R2 .Пусть1и2— гиперболические неподвижные точки седлового типа.Предположим, что в окрестностяхморфизмлинеен, и что точкиОпределение 12.1и21точки1и22.точкисоединены сепаратрисойдиффео-, > 0, ∈ N.
Будем говорить, что конечная2последовательность = { }=0 точек в R есть -псевдотраектория дляℎ с плавающей точностью степени относительно сепаратрисы , еслиПустьdist( ( ),+1 )Сформулируем≤ (dist( ,)) ,результатглавы3, = 0, . . . , − 1.касающийсяотслеживания(5)вокрестности сепаратрисы.Теорема 4. > 0, что для любого > 0 существуетконечная -псевдотраектория = { }=0 для с плавающей точностьюстепени 1 относительно сепаратрисы , для которой не существует точки ∈ R2 , -отслеживающей псевдотраекторию .Найдется такоеТеорема 5.
Пусть > 0. Найдутся такие положительные числа ,0 , что ∈ (0,0 ) и для любой конечной -псевдотраектории = { }=0 , лежащей в () и удовлетворяющей неравенствамдля любогодля| ( ) − (+1 ) | ≤ |( ) |1+ ,найдется точка = 0, . . . , − 1,(6) ∈ (), -отслеживающая .ЗаключениеИтоги исследования позволяют прояснить связь между наличием свойства отслеживания и такими объектами, характеризующими динамику системы, как 0 -трансверсальностьпересечения устойчивых и неустойчивыхмногообразий (теорема 1), гладкостью системы и характером пересеченияустойчивых и неустойчивых многообразий (теорема 3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
