Диссертация (1150880), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Будем говорить, что система обладает свойством отслеживания,если для любого > 0 найдется такое число > 0, что для любой -псевдотраектории = { } найдется точка ∈ , -отслеживающая .Также нам будет удобно использовать следующие определения, являющиеся “конечными”аналогами определений 1 и 3.Определение 4. Пусть > 0. Конечную последовательность = { ∈ | = , . .

. , }(где , ∈ Z, ≤ ), удовлетворяющую неравенствамdist( ( ),+1 ) ≤ , = , . . . , − 1,(0.0.3)мы будем называть конечной -псевдотраекторией.Определение 5. Будем говорить, что система обладает конечным свойством отслеживания, если для любого > 0 найдется такое > 0, что для любой конечной псевдотраектории = { ∈ | = , . . . , }, найдется такая точка ∈ , что выполнены неравенстваdist( (),+ ) ≤ , = 0, .

. . , − .(0.0.4)Отметим, что в определении 5 зависит только от , а не от значений ,.Про точку , удовлетворяющую соотношениям (0.0.4), мы также будем говорить, что она-отслеживает конечную псевдотраекторию .Для компактных метрических пространств определение 5 эквивалентно определению 3.А именно, имеет место следующее утверждение (доказательство содержится в [5]).Утверждение 1. Пусть — компактное метрическое пространство, : → —гомеоморфизм.

Тогда обладает свойством отслеживания тогда и только тогда, когда обладает конечным свойством отслеживания.Поскольку далее в работе мы будем иметь дело только с компактными пространствами(гладкими компактными многообразиями, снабженными римановой метрикой, или компактными метрическими пространствами), то мы будем использовать понятия “псевдотраектория” и “свойство отслеживания” как для конечного случая, так и для обычного.Следующее определение является частным случаем определения 3.Определение 6.

Если существуют такие константы ,0 > 0, ∈ (0,1), что для любой -псевдотраектории отображения с ∈ (0,0 ) найдется точка ∈ , отслеживающая псевдотраекторию , то мы будем говорить, что отображение обладает гельдеровым свойством отслеживания с показателем Гельдера равным . Если = 1,то мы будем говорить, что отображение обладает липшицевым свойством отслеживания.8Также, иногда бывает удобно рассматривать свойства отслеживания отображения нанекоторых подмножествах объемлющего метрического пространства .

Так, пусть ⊂ — непустое подмножество.Определение 7. Будем говорить, что отображение обладает свойством отслеживания на множестве , если для любого > 0 найдется такое > 0, что любая псевдотраектория ⊂ может быть -отслежена точной.Аналогично определяются липшицево и гельдерово свойства отслеживания на множестве.Пусть теперь (, ) — гладкое риманово многообразие, где — метрический тензор, dist— соответствующая риманова метрика, индуцированная .

Касательное расслоение многообразия будем обозначать через , а касательное пространство в точке ∈ через .Для ∈ через |||| будем обозначать норму вектора в метрике , т.е.|||| =√︀(,).Пусть : → — диффеоморфизм класса гладкости , ∈ N. Через : → будем обозначать дифференциал отображения , а через : → () сужение дифференциала на пространство .Определение 8.

Будем говорить, что множество ⊂ гиперболическое для , есливыполнены следующие условия(1) Λ компактно и инвариантно под действием , т.е. () = ;(2) найдутся такие константы ∈ (0,1), > 0 и такие семейства линейных подпространств (), () ⊂ , ∈ , что выполнены соотношения:(a) () ⊕ () = , ∈ ;(b) () = ( ()) для ∈ , = , ;(c)|| ()|| ≤ ||||, ∈ (), ∈ , ∈ ;|| − ()|| ≤ ||||, ∈ (), ∈ , ∈ .9Подпространство () мы будем называть устойчивым подпространством в точке , ()— неустойчивым.На многообразии для данного гиперболического множества всегда можно выбратьтакую риманову метрику (называемую ляпуновской метрикой), что константу > 0 изопределения 8 можно выбрать равной единице (см.

[5]). В дальнейшем при рассмотрениификсированного гиперболического множества мы будем предполагать, что метрика намногообразии является ляпуновской.Пусть ⊂ — гиперболическое множество диффеоморфизма . В соответствии сразложением касательного пространства = () ⊕ ()для ∈ мы будем записывать каждый вектор ∈ в виде пары = (,), где ∈ (), ∈ (), + = .

Через (, ) будем обозначать для точки ∈ и числа > 0множество таких векторов ∈ (), что || ≤ . Аналогично определяется (,).Для точки ∈ определим множества () = { ∈ | dist( (), ()) → 0, → ∞}, () = { ∈ | dist( − (), − ()) → 0, → ∞}.Они называются соответственно устойчивыми и неустойчивыми многообразиями точки (отметим, что в общем случае эти множества многообразиями не являются).Для числа > 0 и точки ∈ определим множества () = { ∈ | dist( (), ()) ≤ , ∈ N0 }, () = { ∈ | dist( − (), − ()) ≤ , ∈ N0 },где N0 = N ∪ {0}.Вернемся теперь к рассмотрению множества .Пусть exp : → — экспоненциальное отображение в точке ∈ .

Для точки ∈ и отображения : (,) → (,)положимgraph = {(, ()) | ∈ (,)}.Аналогично, для некоторого отображенияℎ : (,) → (,)10положимgraph ℎ = {(ℎ (),) | ∈ (,)}.Следующая теорема (называемая обычно теоремой об устойчивом многообразии, см. [5])показывает, что в случае ∈ для некоторого > 0 множества () и () являютсягладкими дисками (причем константа зависит от ), а множества () и () являютсяобразами евклидовых пространств соответствующей размерности при гладком погружении.Теорема 1. Найдется такое число > 0, что для каждой точки ∈ множества ()и () являются дисками размера , т.е. выполнено соотношение () = exp (graph ),где отображение : (,) → (,) 1 -гладкое, константа Липшица Lip( ) ≤ 1, (0) = 0, (0) = 0, и аналогичные утверждения верны для (): () = exp (graph ℎ ),где ℎ : (,) → (,) принадлежит классу гладкости 1 , Lip(ℎ ) ≤ 1, ℎ (0) = 0, ℎ (0) =0.Кроме того, выполнены соотношения ( ()) ⊂ ( ()), −1 ( ()) ⊂ ( −1 ()),⋃︁ () = − ( ( ())),∈N0 () =⋃︁ ( ( − ())).∈N0Для того, чтобы сформулировать аксиому А, нам потребуется еще одно определение.Определение 9.

Пусть : → — гомеоморфизм многообразия . Точка ∈ называется неблуждающей для , если для любого открытого множества ⊂ , ∈ найдется такое число ∈ N, что ( ) ∩ ̸= ∅. Множество всех неблуждающих точекмы будем называть неблуждающим множеством и обозначать через Ω( ).Обозначим через ( ) множество периодических точек диффеоморфизма .Определение 10. Диффеоморфизм удовлетворяет аксиоме A, если его неблуждающеемножество Ω( ) гиперболично и множество всех периодических точек диффеоморфизма плотно в нем,Clos( ( )) = Ω( ).11Для систем с аксиомой А С. Смейлом было доказано следующее утверждение (частоназываемое ”теоремой о спектральном разложении“, см. [13], [14]).Теорема 2.

Если диффеоморфизм удовлетворяет аксиоме A, то его неблуждающее множество единственным образом представимо в видеΩ( ) = Ω1 ∪ · · · ∪ Ω ,(0.0.5)где Ω – компактные непересекающиеся инвариантные множества, в каждом из которыхесть плотная положительная полутраектория.Множества Ω в представлении (0.0.5) называются базисными.Для множества ⊂ и точки ∈ положимdist(,) = inf (dist(,)) .∈Определим для базисного множества Ω множества (Ω) = { ∈ | dist( (), Ω ) → 0, → ∞}, (Ω) = { ∈ | dist( (), Ω ) → 0, → −∞}.Данные множества являются аналогами устойчивых и неустойчивых многообразий отдельных траекторий.Пусть Ω , Ω – два различных базисных множества диффеоморфизма , удовлетворяющего аксиоме А. Будем писать Ω → Ω , если (Ω ) ∩ (Ω ) ̸= ∅.В дальнейшем нам потребуется следующее определение.Определение 11.

Пусть диффеоморфизм удовлетворяет аксиоме A. Будем говорить,что у диффеоморфизма есть 1-цикл, если существует такое базисное множество Ω ,что( (Ω ) ∩ (Ω )) ∖ Ω ̸= ∅.Будем говорить, что у диффеоморфизма есть -цикл ( > 1), если существуют такие различных базисных множеств Ω1 , . . . , Ω , чтоΩ1 → · · · → Ω → Ω1 .Наконец, будем говорить, что диффеоморфизм удовлетворяет условию отсутствия циклов, если у него нет -циклов с ≥ 1.12Сформулируем определение Ω-устойчивостого диффеоморфизма. Для этого нам понадобится ввести понятие Ω-сопряженности двух диффеомофризмовОпределение 12. Будем говорить, что диффеоморфизмы , : → Ω-сопряжены, еслинайдется такой гомеоморфизм ℎ : Ω( ) → Ω(), что для всех ∈ Ω( ) выполнено соотношениеℎ( ()) = (ℎ()).Определение 13.

Будем говорить, что диффеоморфизм : → многообразия является Ω-устойчивым, если существует такая окрестность диффеоморфизма в 1 топологии, что любой диффеоморфизм ∈ Ω-сопряжен с .Определение 14. Пусть , — метрические пространства. Будем говорить, что гомеоморфизмы : → и : → топологически сопряжены, если найдется такойгомеоморфизм ℎ : → , что для всех ∈ выполнено соотношениеℎ( ()) = (ℎ()).Определение 15. Будем говорить, что диффеоморфизм : → многообразия является структурно устойчивым, если существует такая окрестность диффеоморфизмав 1 -топологии, что любой диффеоморфизм ∈ топологически сопряжен с .Отметим, что выполнена следующая теорема (см. [13], [15]).Теорема 3. Диффеоморфизм Ω-устойчив тогда и только тогда, когда удовлетворяетаксиоме А и условию отсутствия циклов.Рассмотрим диффеоморфизм : → , удовлетворяющий аксиоме А.

Характеристики

Список файлов диссертации