Диссертация (1150880), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

При каждом фиксированном ∈(−1,9) отображение(,) ↦→ ℎ1 (,,)является обратимым линейным изоморфизмом пространства R2 , причем при , близких кточке 0, оно является сжатием, а при , близких к 8, растяжением. При фиксированных(,) ∈ R2 и при значениях , пробегающих (3,5), образ ℎ1 (,,) является спиралью с центром в точке (,).Зададим отображение ℎ1 следующей формулой:ℎ1 (,,) = ( 13 , 31 ) для ∈ [−1,1],(︂(︂)︂)︂ (︂(︂)︂)︂1 2−1+1 2−1+ℎ1 (,,) = (+ ,+ )3 33 3для ∈ [1,1 + ],ℎ1 (,,) = (,) для ∈ [1 + ,3] ,ℎ1 (,,) = ( (,),(,)) для ∈ [3,5], где3 (,) = + ( − 4) sin(︂−4)︂( − 4),203(︂(, ) = + ( − 4) cos(︂ℎ1 (,,) = ((1 + 2−4)︂( − 4) + ( − 4),)︂(︂)︂(︂)︂−5−5−5),(1 + 2) − 2)333для ∈ [5,5 + 3],ℎ1 (,,) = (3,3( − 1) + 1) для ∈ [5 + 3, 9].Зададим отображение : → R3 по формуле: (,,) = (1 (),ℎ1 (,,)).Поскольку функция 1 () строго монотонна, 1−1 существует и принадлежит классу ∞ ,а ℎ1 (,,) при фиксированном является невырожденным аффинным отображением покоординатам (,), является диффеоморфизмом на свой образ.Отметим также, что имеет ровно две неподвижные точки 1 = (0,0,0) и 2 = (8,0,1),каждая из которых кроме того, является гиперболической (в окрестности этих точек линейно).

Пусть построенное нами отображение реализуется как запись некоторого диффеомофризма в локальных координатах. Тогда имеет смысл говорить об устойчивых и неустойчивых многообразиях точек 1 и 2 . Нетрудно видеть, что (1 ) одномерно, и это многообразие в окрестности точки 1 есть отрезок = {(,0,0) | || < 1}.Пользуясь соотношением (1.2.1), получаем также, что ( ) ∪ 2 ( ) ⊂ (1 ),причем ( ) ⊇ {(,0,0) | ∈ (−3,3)},откуда из явного вида получаем соотношение 2 ( ) ⊇ {(,0,0) | ∈ (3,5)}.Таким образом, множество 3 ( ) содержит точку (6,0,1), и в окрестности этой точки 3 ( )имеет вид спирали, закручивающейся вокруг прямой { = 0, = 1} в точке (6,0,1):3{(,( − 6) sin(︂ −6)︂3, ( − 6) cos(︂ −6)︂+ 1) | | − 6| < 1}.В свою очередь,{(,0,1) | ∈ (5,9)} ⊂ (2 ),21причем многообразие (2 ) также одномерно.

Отсюда, поскольку(6,0,1) ∈ (1 ) ∩ (2 ),из утверждения 2 следует, что если некоторый диффеоморфизм в подходящей системекоординат будет задаваться отображением , то он не будет удовлетворять условию 0 трансверсальности.Мы покажем далее, что найдется трехмерный диффеоморфизм, совпадающий с в некоторой области в соответствующих локальных координатах, обладающий свойством гельдерова отслеживания с показателем Гельдера 41 .Это явление контрастирует с результатами [6], где показано, что для двумерных системс аксиомой А свойство отслеживания эквивалентно 0 -трансверсальности.В этом разделе мы продолжим рассмотрение построенного нами отображения, в частности, в оставшейся части этого раздела, мы докажем следующее утверждение, являющеелокальной версией теоремы 5.Теорема 6. Найдутся такие числа > 0 и 0 > 0, что для любого ∈ (0,0 ) и для любой4 -псевдотраектории = { }= ⊂ = (−1,9) × (−1,1) × (−1,3)найдется такая точка ∈ , что| () − + | ≤ , = 0, .

. . , − .В ходе доказательства сформулированного выше утверждения нам потребуются следующие вспомогательные леммы.Лемма1. Пусть—метрическоепространствои отображение : → липшицево. Пусть = Lip()сметрикойdist(,),— константа Липшицаотображения . Пусть { }=0 — -псевдотраектория отображения , где > 0, ∈ N.Тогда выполнены неравенстваdist( (0 ), ) ≤ (1 + + 2 + · · · + −1 ), = 1, . . . , .Доказательство можно найти, например, в [5].Следующая лемма известна также как “классическая лемма об отслеживании”.Лемма 2.

Пусть : → — 1 -гладкий диффеоморфизм открытого множества ⊂ на образ, и пусть компактное инвариантное множество ⊂ является гиперболическимдля . Тогда найдется такая окрестность ⊃ , ⊂ , что в ней обладает липшицевым свойством отслеживания.22Доказательство этой леммы также можно найти в [5].Итак, пусть = { }= ⊂ — 4 -псевдотраектория с ∈ (0,0 ). В ходе рассуждений мыбудем несколько раз уменьшать число 0 .Для удобства изложения введем следующее обозначение: для 1 ,2 ∈ R, 1 ≤ 2 положим[1 : 2 ] = [1 ,2 ] ∩ Z.Отметим вначале, что если 40 <13и для некоторого ∈ [ : ] выполнено ∈ 1 = (−1,1) × (−1,1) × (−1,3),+1 ∈/ 1 ,и определены точки +2 , +3 , +4 , +5 (то есть + 5 ∈ [ : ]), то+5 ∈ 2 = (7,9) × (−1,1) × (−1,3).(1.4.3)Действительно, поскольку +1 ∈/ 1 , то(+1 ) ≥ 1,(1.4.4)(+2 ) ≥ ( (+1 )) − dist(+2 , (+1 )) ≥ 3 − 4 ,(1.4.5)(+3 ) ≥ ( (+2 )) − dist(+3 , (+2 )) ≥ 5 − 24 ,(1.4.6)(+4 ) ≥ ( (+3 )) − dist(+4 , (+3 )) ≥ 7 − 34 ,(1.4.7)и (1.4.3) следует из цепочки неравенств:(+5 ) ≥)︀11 (︀(7 − 34 ) − 8 + 8 − 4 = 8 − − 24 > 7.33(1.4.8)Аналогично, если ∈ 2 , −1 ∈/ 2 и определены −2 , −3 , −4 , −5 , то(1.4.9)−5 ∈ 1 .Таким же образом доказывается, что если 40 <13и ∈ 2 для некоторого ∈ [ : ], то+1 , .

. . , ∈ 2 ,(1.4.10)и что если ∈ 1 для некоторого ∈ [ : ], то , +1 . . . −1 ∈ 1 .(1.4.11)23Из (1.4.3), (1.4.9), (1.4.10) и (1.4.11) следует, что для 4 -псевдотраектории с 40 <13выпол-нена одна из следующих альтернатив:(1) ∩ 1 = ∅, ∩ 2 = ∅,(2) ∩ 1 = ∅, ∩ 2 ̸= ∅,(3) ∩ 1 ̸= ∅, ∩ 2 = ∅,(4) ∩ 1 ̸= ∅, ∩ 2 ̸= ∅.Случай (1) не представляет интереса, так как тогда, как следует из оценок (1.4.4)-(1.4.8),длина псевдотраектории удовлетворяет неравенству − < 5,и доказательство сводится к лемме 1 (отметим, что Lip( ) < ∞).В случае (2) при предположении − ≥ 5, получаем, что из (1.4.9) следуют включения:+5 ,+6 , .

. . , ∈ 2 .Поскольку на множестве 2 отображение гиперболично (и даже линейно), то, как следуетиз леммы об отслеживании, найдется такое > 0 (зависящее только от ), что при 0 ∈ (0,)(уменьшаем 0 , если нужно) 40 -псевдотраектория { }=+5 L4 -отслеживается точной, гдеконстанта L также зависит только от . Применяя лемму 1, получаем, что вся псевдотраектория L′ 4 -отслеживается точной, где константа L′ > 0 вновь зависит только от , и вэтом случае доказательство закончено.Случай (3) рассматривается аналогично случаю (2).Рассмотрим случай (4).Пусть ′ ,′ ∈ [ : ] заданы соотношением′{ }= ⊂ 1 , ′ +1 ∈/ 1 ,{ }=′ ⊂ 2 , ′ −1 ∈/ 2 .Отметим, что существование таких ′ ,′ следует из (1.4.10), (1.4.11).Тогда (1.4.3) влечет неравенство′ − ′ ≤ 5.Вновь воспользовавшись леммой об отслеживании и леммой 1, получаем, что найдетсятакая точка ∈ , чтоdist( (),+ ) ≤ L′ 4 , = 0, .

. . , ′ − ,(1.4.12)24где L′ > 0 зависит только от . Ясно, что найдется такое ∈ [ : ′ ], что( − ()) ∈ [3,5].Возможны следующие две альтернативы:(1) |((−()) ,(−3()) )| > ,2(1.4.13)3.2(1.4.14)(2) |(( − ()) ,( − ()) )| ≤Рассмотрим случай (1). Пусть 0 ∈ N таково, что130 3 ∈ [ ,1].3(1.4.15)Тогда − ≤ 0 + 5. Действительно, в противном случае для −−0 −5 () выполнено неравенство|(( −−0 −5 ()) , ( −−0 −5 ()) )| ≥ 30 +3 |(( − ()) , ( − ()) )| ≥≥ 303 3 1 33 ≥ 3 > 4,26что при L′ 40 < 1 невозможно, поскольку −0 −5 ∈ и из (1.4.12) следует, что|(( −−0 −5 ()) , ( −−0 −5 ()) )| < 4.Применяя лемму об отслеживании и лемму 1 к псевдотраектории { }= , мы получим,что найдутся такая точка ∈ и такое число L′′ > 0, чтоdist( (),+ ) ≤ L′′ 4 , = 0, .

. . , − .(1.4.16)Мы можем также оценитьdist( − (),) ≤ dist( − (), ) + dist(, ) ≤ (L′ + L′′ ) 4 = C4 ,(1.4.17)где C = L′ + L′′ .Тогда для = 0, . . . , − , учитывая (1.4.15) и явный вид , мы можем написать цепочкунеравенствdist( − (),− ) ≤ dist( − (), −− ()) + dist( −− (),− ) ≤≤ 3 dist(, − ()) + L′ 4 ≤ 3 C4 + L′ 4 ≤ (30 +5 3 C + L′ 3 ) ≤ C′ ,где C′ = 35 C + L′ 30 .Таким образом, точка ′ = −+ () C′ -отслеживает 4 -псевдотраекторию , и доказательство в случае (1) завершено.25Рассмотрим случай (2). Здесь также возможны две альтернативы:(1) |( − ()) − 4| > ,(1.4.18)(2) |( − ()) − 4| ≤ .(1.4.19)Рассмотрим вначале случай (1). Введем обозначение − () = (0 ,0 ,0 ).При принятых обозначениях мы можем переписать (1.4.14) и (1.4.18) в виде|(0 ,0 )| ≤3,2(1.4.20)(1.4.21)1 ≥ |0 − 4| > .Пусть точка — та же, что и в случае (1), т.е. для нее выполнено соотношения (1.4.16).Наша цель в этом случае показать, что для точки () выполнен аналог неравенства (1.4.13),т.е.|(( ()) ,( ()) − 1)| ≥3,3а затем повторить рассуждения из (1).Используя явный вид , мы можем оценить:|(( −+1 ()) , ( −+1 ()) ) − (0,1)| == |(0 + 1 (0 ),0 + 2 (0 ))| ≥ |(1 (0 ),2 (0 )| −где3,2(1.4.22)(︂)︂1 (0 ) = (0 − 4) sin(0 − 4),0 − 4(︂)︂32 (0 ) = (0 − 4) cos(0 − 4) + (0 − 4) − 1.0 − 43Если, кроме того, |0 − 4| ≤ 1 − , то для таких 0 выполнены соотношения3(︂1 (0 ) = (0 − 4) sin32 (0 ) = (0 − 4) cos(︂0 − 4)︂0 − 4)︂,,откуда следует, что |(1 (0 ),2 (0 ))| = |0 − 4|3 .

Принимая во внимание (1.4.21), можемпродолжить оценку (1.4.22):26|(( −+1 ()) , ( −+1 ()) ) − (0,1)| ≥ |0 − 4|3 −33≥ .22Если же |0 − 4| ≥ 1 − , то|(1 (0 ),2 (0 ))| −33≥ |2 (0 )| −=223)| −≥0 − 423))| −>≥ |1 − (0 − 4)(1 + (1 − )3 cos(1−23238 33> 1 − 239 −≥−≥ .223922= |1 − (0 − 4) − (0 − 4)(0 − 4)3 cos(В последних двух неравенствах мы приняли во внимание тот факт, что <и что ≤312392(см. (1.4.2))238.239Таким образом, мы получаем, что в случае выполнения (1.4.14) и (1.4.18) выполненонеравенство|(( −+1 ()) ,( −+1 ()) ) − (0,1)| ≥3.2Учитывая (1.4.12) и (1.4.16), мы можем оценитьdist( −+1 (), ()) ≤≤ dist( −+1 (),++1 ) + dist(++1 , ()) ≤ (L′ + L′′ )4 ,получая неравенство|(( ()) ,( ()) ) − (0,1)| ≥≥ |(( −+1 ()) ,( −+1 ()) ) − (0,1)|−− |(( −+1 () − ()) ,( −+1 () − ()) )| ≥≥при 0 <16(L′ +L′′ )33− (L′ + L′′ )4 ≥23(уменьшаем 0 , если это не так).Таким образом, мы получили для точки аналог неравенства (1.4.13) из (1). Рассуждаятак же, как и в случае выполнения (1) , мы получаем, что величина ( − ) удовлетворяетнеравенству − ≤ 0 + 6,где 0 определено в (1.4.15).Повторяя те же рассуждения, что и в случае (1) и учитывая (1.4.17), получаем оценкиdist( −+ (),+ ) ≤ dist( −+ (), ()) + dist( (),+ ) ≤27≤ 3 dist(, − ()) + L′ 4 ≤ 3 C4 + L′ 4 ≤ (30 +6 3 C + L′ 3 ) ≤ C′′ ,где C′′ = 3C + L′ .Вместе с (1.4.12), мы получаем, чтоdist( (),+ ) ≤ C′′ ,для = 0, .

. . , − ,что и требуется. Таким образом, в рассматриваемом случае доказательство закончено.Рассмотрим оставшийся случай, когда выполнены (2) и (2), т.е.|( − ()) − 4| ≤ ,|(( − ()) ,( − ()) )| ≤3.2Этот случай соответствует ситуации, когда рассматриваемая псевдотраектория подошлаочень близко к точке пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий (1 ) и (2 ).Пусть вновь — точка из рассмотренного нами случая (1), т.е. для нее выполненосоотношения (1.4.16).Положим1 = (4,( − ()) ,( − ()) ) = (4,0 ,0 ),2 = (6, ( ()) ,( ()) ).Поскольку 1 и − () отличаются только −координатами, то, как следует из (1.4.12),(1.4.16) и явного вида системы, справедливы неравенстваdist(− , − (1 )) ≤ dist(− , −− ())++ dist( −− (), − (1 )) ≤ L′ 4 + ≤ 2 для = 0, .

. . , − .(1.4.23)Аналогично, мы можем оценитьdist(++1 , (2 )) ≤ dist(++1 , +1 ())++ dist( +1 (), (2 )) ≤ L′′ 4 + ≤ 2 для = 0, . . . , − − 1.(1.4.24)Пусть 1 = |((1 ) ,(1 ) )|, 2 = |((2 ) ,(2 ) − 1)|.Предположим, что ( (1 ,4,1001 )) ∩ (2 ,4,1002 ) ̸= ∅. Тогда для точки ∈ ( (1 ,4,1001 )) ∩ (2 ,4,1002 ) будут выполнены следующие неравенства:dist( − (1 ), −−1 ()) ≤ 400,dist( (2 ), ()) ≤ 400, = 0, .

Характеристики

Список файлов диссертации