Диссертация (1150880), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Поэтому в данном случае мы вводим новое понятиесвойства отслеживания, в котором мы контролируем размер пошаговой ошибки псевдотраектории.В данном разделе нам будет удобно использовать следующие обозначения (,) = (,,) (,) = (,,)(,) = (,,)53 (,) = (,,)Int0 (,) = Int0 (,,) 0 (,) = 0 (,,)Int0 (,) = Int0 (,,)2.3.1Одномерный случайДля начала рассмотрим вопрос наличия свойства отслеживания в окрестности негиперболической неподвижной точки в одномерном случае.Пусть — гомеоморфизм окрестности точки 0 ∈ R на свой образ, причем точка 0является неподвижной.Мы подробно рассмотрим случай, когда является негиперболическим растягивающимотображением (случай сжимающего отображения рассматривается аналогично).Условия, которые мы наложим на , в некотором смысле являются частным случаемусловий в двумерном случае, который мы рассмотрим позже.Условие 1.

Существуют такие числа , > 0, что если || ≤ и 0 < < , то выполненынеравенства ( + ) − () > , ( − ) − () < −.(2.3.3)Обозначим через (,) замкнутую -окрестность множества ⊂ R.Теорема 9. При выполнении условия 1 отображение обладает конечным свойством отслеживания на множестве ℬ = (,{0}).Доказательство. Пусть > 0. Мы также предполагаем, что < .Из условия 1 следует, что если ∈ ℬ , то выполнено включение(, ()) ⊂ Int ((,)).Из компактности множества ℬ и непрерывности функции следует, что найдется такое > 0, что(,(, ())) ⊂ ((,))(2.3.4)для ∈ ℬ .Пусть { ∈ ℬ | 0 ≤ ≤ } — -псевдотраектория для . Обозначим через = (, ).Мы утверждаем, что выполнены включения+1 ⊂ ( ), = 0, . . .

, − 1.(2.3.5)54Действительно, пусть ( ) = [,], и пусть ∈ +1 . Включение (2.3.4) с = влечет,что ( ) + + ≤ .Из неравенств | − +1 | ≤ и | ( ) − +1 | < следует, что | − ( )| < + . Откудаследует, что выполнена оценка < ( ) + + ≤ .Аналогично показывается, что > , что и доказывает (2.3.5).Из включения (2.3.5) следует, что множество− = ∩( )=0 не пусто. Ясно, что для любой точки ∈ выполнены неравенстваdist( , ) ≤ ,0 ≤ ≤ .Что и завершает доказательство. В данной теореме ничего не говорится о зависимости от .

Мы продемонстрируем еедля конкретного примера диффеоморфизма с негиперболической неподвижной точкой.Пример 1. Пусть () = + 2+1 + (), где ∈ N.Пусть > 0. Положим(,) =( + )2+1 − 2+1.Функция (,) является полиномом от четной степени с положительным старшим коэффициентом.Поскольку частная производная (,) по имеет единственный ноль = −/2, то выполнено неравенство(︂(,) ≥ −,2Таким образом, форма(,) −)︂=2.2221 + 22степени 2 положительна определена, и существует такое положительное число = (),что верна оценка(,) −2≥ (2 + 2 ).1 + 22(2.3.6)Предположим, что|( + ) − ()|= o(2 + 2 ),||, → 0.(2.3.7)55Тогда найдутся такие константы , > 0, что если || ≤ и 0 < < , то|( + ) − ()| ≤Положим= 2( + 2 ).22+1.1 + 22(2.3.8)(2.3.9)Если { } есть -псевдотраектория с | | ≤ , то, принимая во внимание (2.3.6), (2.3.8), мыможем оценить ( + ) − ( ) = + ( ,) + ( + ) − ( ) ≥≥+ 2( + 2 ) + > + .2 Последнее соотношение вместе с аналогичным для ( − ) − ( ) означают, что выполненаналог включения (2.3.4) для всех .Повторяя доказательство теоремы 9, мы получаем, что отображение обладает конечнымсвойством отслеживания на множестве (,0).Отметим, что условие (2.3.7) выполнено, например, для функции () = 2+2 .Наши методы также позволяют показать, что если () ≡ 0, то функция обладаетконечным свойством отслеживания на всей вещественной прямой R и с той же зависимостью от , что и в соотношении (2.3.9).2.3.2Случай размерности два: изолированная неподвижная точкаВ данном подразделе мы рассмотрим двумерный гомеоморфизм (,) = ((,),ℎ(,))с неподвижной точкой в начале координат, сжимающий в направлении переменной и растягивающий в направлении переменной (растяжение и сжатие не предполагаются гиперболическими).Пусть = ( , ) — координатная запись точки ∈ R2 .В рассматриваемом случае, мы введем две функции (,) = | − |, (,) = | − |.Для этих двух функций выполнены условия (C1)-(C4) из раздела 2.1.Сформулируем общее условие для наличия конечного свойства отслеживания гомеоморфизма плоскости на произвольном компактном подмножестве ⊂ R2 .56Условие 2.

Для любых ∆0 > 0 найдутся такие числа ,∆ > 0, что < ∆ < ∆0 , и если ∈ , то выполнено условие (С5) из раздела 2.1 с = (), и выполнены неравенство|( + , + ) − ( , )| < ,(2.3.10)для (,) ∈ (), где() = {|| ≤ , = 0} ∪ {|| = , || ≤ },и соотношения|ℎ( + , ) − ℎ( , )| < ,(2.3.11)|ℎ( + , + ) − ℎ( , )| > ,(2.3.12)для 0 ≤ || ≤ ∆,для 0 ≤ || ≤ , || = .Теорема 10. Если — компактное подмножество плоскости и выполнено условие 2, то обладает конечным свойством отслеживания на множестве .Доказательство. Для начала покажем, что из условия 2 следует выполнение условия(,∆,, ()) из раздела 2.1 для любого ∈ .Поскольку (,) = { | | − | ≤ , = },из соотношения (2.3.10) с = 0 и (2.3.11) следует выполнение (С6).Аналогично, из соотношения (2.3.11) следует выполнение (C7).Принимая во внимание соотношение (2.3.12), получаем, что ((,)) ∩ (, ()) = ∅.(2.3.13)Неравенство (2.3.10) для || = , 0 ≤ || ≤ вместе с (2.3.13) влечет, что образ границымножества (,) под действием гомеоморфизма не пересекает множество (, ()).Положим = {(() + ,ℎ() + ) | || ≥ , || ≤ }.Ясно, что (, ()) ⊂ .

Из соотношений (2.3.10), (2.3.11) и (2.3.12) следует, что ( 0 (,))∩ = ∅. Поскольку множество ( (,)) связно, выполнено соотношение ( (,)) ∩ = ∅,и справедливость (С7) доказана.Наконец, условие (С9) следует из соотношения (2.3.12).57Таким образом, мы показали, что из выполнения соотношений (2.3.10)-(2.3.13), следуетвыполнение условия (,∆,, ()) для любого ∈ .Наконец, поскольку компактно, а отображения , , непрерывны, то из вида условий(С5)-(С9) следует, что найдется такое > 0, зависящее только от и ∆, что если ∈ и| − ()| < , то выполнено условие (,∆,,).Отсюда, принимая во внимание лемму 8, получаем, что обладает конечным свойствомотслеживания на .

Что и требовалось. .Пример 2. Рассмотрим диффеоморфизм (,) = ( − 2+1 + (,), + 2+1 + (,)),где , ∈ N, а ,— гладкие функции, обнуляющиеся в начале координат вместе с ихпроизводными.Фиксируем малую окрестность начала координат (мы предполагаем ее достаточно малой, чтобы требуемые в дальнейшем условия были выполнены).Мы будем предполагать, что для ∈ выполнены соотношения(2 + 1)2 −() − () > 0, ̸= 0, || ≤ 1,(2.3.14)() + () > 0, ̸= 0, || ≤ 1.(2.3.15)(2 + 1)2 +Пусть и те же, что и в предыдущем разделе.Как сдедует из вида , для любого > 0 мы можем найти такую окрестность , чтовыполнены соотношения⃦⃦ ⃦⃦⃦ ⃦ ⃦ −1⃦⃦⃦ ⃦⃦⃦ (,) ()⃦ , ⃦ (,) ()⃦ ≤ 1 + , ∈ .(2.3.16)Отсюда следует, что для данного > 0 найдется только малое > 0, что условие (С5)выполнено с ∆ = (1 + ) .Мы возьмем < 1 (в этом случае, чтобы было выполнено условие (С5), мы можем взять∆ = 2 ), и будем считать окрестность столь малой, чтобы было выполнено неравенство⃒⃒⃒ ⃒ 1⃒⃒()⃒ ⃒ ≤ 4 , ∈ .Если ∈ и || ≤ ∆ = 2 , то мы можем оценить1|ℎ( + , ) − ℎ( , )| = | ( + , ) − ( , )| ≤ || ≤ ;42таким образом, условие (2.3.11) выполнено.58Проверим условие (2.3.12).

Если 0 ≤ || ≤ и || = , то = для некоторого числа|| ≤ 1.Для определенности будем считать, что > 0, и, принимая во внимание соотношение(2.3.15), оценим∫︁ℎ( + , + ) − ℎ( , ) =0∫︁[=0ℎℎ( + , + ) +( + , + )] =∫︁[=0ℎ( + , + ) =( + , + ) +( + , + )++1 + (2 + 1)( + )2 ] > ≥ .Здесь мы также приняли во внимание, что + не равно тождественно нулю. Полученнаяоценка доказывает соотношение (2.3.12) (случай < 0 рассматривается аналогично).При доказательстве условия (2.3.10) мы рассмотрим только случай || = , || ≤ ;случай, когда = 0 и || ≤ , рассматривается аналогично (отметим, что в обоих случаях = , где || ≤ 1).Предполагая для определенности, что = , представим = с || ≤ 1, и используя(2.3.14), оценим:∫︁( + , + ) − ( , ) =0∫︁=[1 − (2 + 1)( + )2 +0+( + , + ) =( + , + )+( + , + )] < .Случай = − рассматривается аналогично.Рассмотрим в качестве “тестового возмущения” (,) = — моном, где ∈ R, ≥ 0и ≥ 1. Пусть (,) — точка в окрестности начала координат с ̸= 0.Положив = 0 в (2.3.15) и поделив результат на 2 , мы получим следующее условие: −2−1 > −(2 + 1).Это условие, очевидно, выполнено в достаточно малой окрестности , если ≥ 2 + 1 (иесли || мало, в случае, когда = 2 + 1 и = 0).Если < 2 + 1, то необходимые условия выглядят следующим образом: > 0, четно,а нечетно.59Перепишем условие (2.3.15) в окрестности в виде(2 + 1) 2 + −1 > |−1 |.(2.3.17)Если ≥ 2 + 1 (и если значение || мало в случае когда = 2 + 1 и = 0), то условие(2.3.15) очевидно выполнено в малой окрестности начала координат.В случае, когда ≤ 2, мы получаем еще одно необходимое условие: + ≥ 2 + 1.Действительно, поскольку > 0, четно, а нечетно, достаточно рассмотреть (2.3.15) для, ≥ 0.Запишем (2.3.15) в виде−1 −1 ( − ) < (2 + 1) 2 .Если + < 2 + 1, положим =и = , где > 0 мало.

Мы получаем неравенство вида20 < const < 2−−+1 ,которое не может быть выполнено для малых .Простые вычисления показывают, что если ≤ 2, > 0, четно, нечетно, и + ≥2 + 1, то условие (2.3.17) выполнено в малой окрестности начала координат.Можно получить аналогичные условие в случае, если (,) также является мономом.Наши методы позволяют нам оценить зависимость от для конечного свойства отслеживания в рассматриваемом случае.Например, если (,) = 1 1 1 и (,) = 2 2 2 с 1 > 2 + 1 и 2 > 2 + 1, то,повторяя рассуждения, приведенные выше, мы получаем, что найдется такая окрестностьначала координат и такое малое число > 0, что если > 0 и { } — конечная последовательность точек в с| ( ) − +1 | ≤ ,где = max(2 + 1,2 + 1), то выполнены условия (,2, ,+1 ). Что означает, что обладает в конечным свойством отслеживания с зависимостью от в виде = .2.3.3Случай размерности два: неизолированная неподвижная точкаВ этом подразделе мы рассмотрим диффеоморфизм (,) =(︁ 2)︁, (1 + ) .2(2.3.18)Для данного диффеоморфизма начало координат является неизолированной неподвижнойточкой (любая точка (0,) является неподвижной).60Ясно, что не обладает свойством отслеживания.Тем не менее, мы покажем, что обладает аналогом свойства отслеживания если рассматривать только псевдотраектории { } с ( ) ̸= 0 и позволять “ошибкам”| ( ) − +1 |зависеть от ( ) .

Пошаговые ошибки должны уменьшаться при приближении точек пседотраектории к оси . Данный подход был предложен Сергеем Тихомировым в случаенетрансверсальной гомоклинической точки.Мы ограничимся рассмотрением диффеоморфизма , заданного формулой (2.3.18), дляпростоты изложения (однако, даже в этом конкретном случае рассуждения нетривиальны).Отметим также, что наши методы применены и к более общей ситуации.Отметим, что−1(︂(,) =2,1 + 42)︂.(2.3.19)Итак, рассмотрим конечную псевдотраекторию 0 , . . .

, и предположим, что ( ) ̸= 0 ичто| ( ) − +1 | ≤ ( )2 , = 0, . . . , − 1,(2.3.20)для некоторого > 0.Пусть0 = {(,) | 0 < || < 1}.Сформулируем теперь основной результат в данном подразделе.Теорема 11. Найдутся такие окрестность начала координат и число > 0, что длялюбого > 0 и любой псевдотраектории = { }=0 ⊂ ∩ 0 , удовлетворяющей соотношению (2.3.20) с = , найдется точка ∈ R2 , -отслеживающая псевдотраекторию.Доказательство.

Характеристики

Список файлов диссертации