Диссертация (1150880), страница 12
Текст из файла (страница 12)
. , ,++ ∈ (2 , 2),Случай,когдалибодлина = 0, . . . .псевдотраекториименьше,чем,либо ∈/ (2 ,2), = 0, . . . , , тривиален, и мы его опускаем.Мы утверждаем, что точка = ( , ) = (−1 , 0 )-отслеживает , где значение константы > 0 мы установим в конце доказательства.74Введем обозначения: () = ( , ), = ( , ), = 0, . . . , , = 0, . . . , .Стандартная оценка для линейного растягивающего отображения дает неравенство|( ()) − | ≤1,1 − 1 = 0, . .
. , .(3.1.28)Уменьшая, если нужно, 0 , можем считать, что выполнено неравенство (3.1.20). Применяялемму 9 к = , = 0, . . . , , = 1 , мы получаем, что| − | = | − 1 0 | ≤ 2|0 |1+ −11 (,1 ), = 0, . . . , .(3.1.29)Кроме того, по построению = .Таким образом, мы можем произвести оценку|+ − ( ( )) | = |( ( , )) − ( ( , )) | ≤⃒ ( ) ⃒⃒| − | ≤ 24 |0 |1+ 1 ,≤⃒(3.1.30)где 4 = (,1 )2 /1 .Оценим теперь величину |( ( )) − + |.Для начала оценим| | ≤ | | + | − | ≤ 1 |0 | + 2 (,1 )|0 |1+ 1 ≤≤ 1 |0 |5 ,где 5 = (1 + 20 (,1 ) ).Отсюда, используя условие (3.1.12), получаем неравенства| ( , ) − +1 | ≤ (1 |0 |5 )1+ ≤ 1 |0 |1+,5(3.1.31)и, как следствие, неравенства| ( )| ≤ | ( , )| + | ( , ) − +1 | ≤≤ 21 1 |0 |,≤ 1 | | + 1 |0 |1+5(3.1.32)при 0 ≤ 1 /1+(снова уменьшаем 0 , если это не так).5Вместе с (3.1.31) оценка (3.2.5) дает неравенства|+1 | ≤ | ( )| + | ( ) − +1 | ≤ 31 1 |0 |.(3.1.33)75Кроме того, из определения -псевдотраектории непосредственно следует, что(3.1.34)| ( ) − +1 | ≤ .Таким образом, из (3.1.8), (3.1.10), (3.1.29), (3.1.33) и (3.1.34) следует, что|( 2 ( )) − +2 | ≤ |( ( ( ))) − ( (+1 )) | + | (+1 ) − +2 | == | ( ( ), ( )) − (+1 ,+1 )| + | (+1 ) − +2 | == | ( ( ), ( )) − (+1 , ( ))|++ | (+1 , ( )) − (+1 ,+1 )| + | (+1 ) − +2 | ≤+ (31 1 |0 |)1+ ≤ 6 1 |0 |,≤ L21 1 |0 | + 2 1 |0 |1+5где константа 6 > 0 зависит только от L,1 ,2 и 5 .Используя (3.1.6) и (3.2.5), мы видим, что|( 2 ( )) | ≤ 1 | ( )| ≤ 221 1 |0 |.Теперь, так же как и раньше, оценим|+2 | ≤ | ( ( ))| + | ( ( )) − +2 | ≤ 7 1 |0 |,где константа 7 > 0 зависит от L,1 ,2 ,5 и 6 .Продолжая эту последовательность оценок, мы, наконец, получим неравенства|( ( )) − + | ≤ 1 |0 |,|+ | ≤ 1 |0 |, = 0, .
. . , , = 0, . . . , ,(3.1.35)(3.1.36)где константы , зависят только от (а именно, от констант 0 ,1 ,2 ,L).Объединяя оценки (3.1.30) и (3.1.35), мы видим, что|+ − + | ≤ 1 |0 |, = 0, . . . , ,(3.1.37)где > 0 зависит только от .Кроме того, из (3.1.9) следует, что|+ | ≥ 0 1 |0 |.Поэтому при0 ≤02(3.1.38)76из (3.1.37) и (3.1.38) следует неравенство|+ | ≥Пусть 0 ∈ N таково, что0 |0 |.2 10 0 |0 | ∈ [2, 22 ].2 1 2(3.1.39)(3.1.40)Мы утверждаем, что при достаточно малом 0 (как обычно, близость 0 к нулю не зависитот псевдотраектории) < 0 .Действительно, предположим противное. Тогда для = 0, . .
. , 0 выполнены неравенства++ ≤ .Из нашего выбора 0 следует, что0|0 | ≤1 2(42 ),0(3.1.41)что, вместе с (3.1.36), дает оценку|+ | 0 (−, 1/2 ) ≤ (42 ).0 (2 − 1)(3.1.42)Применим лемму 10 к последовательности = ++ , = 0, . . . , 0 ,и константам = −12 , = 0 .Из (3.1.42) следует, что найдется такое 0 > 0, не зависящее от , что соотношение (3.1.22)выполнено. Снова уменьшаем 0 , если требуется.Как следствие из леммы 10, получаем, что|++ − 2 + | ≤2|+ |1+ (−,−12 )≤ 1 ,−2где 1 > 0 также не зависит от .Из (3.1.39) вытекает, что |+ | ≥ 0 1 |0 |/2.Откуда из (3.1.40) следует что0|2 + | ≥0 0 |0 |2 ≥ 2.2 1Таким образом, если0 ≤,21(3.1.43)77то00|++0 | ≥ |2 + | − |2 − ++0 | ≥3,2что противоречит тому, что ≥ 0 .
Отсюда мы заключаем, что < 0 .Так как|+ − + | ≤ 1 |0 |в силу (3.1.37), принимая во внимание установленное нами неравенство < 0 , мы получаемиз (3.1.43), что|++ − ++ | ≤ |++ − 2 + | + |++ − 2 + | ≤0≤ 1 |0 |2 + 1 ≤ 2 ,(3.1.44)где 2 > 0 зависит только от .Таким образом, для всех = 0, . . . , + + , из оценок (3.1.29), (3.1.37) и (3.1.44) следует,что| − | ≤ max{2 ,,2(1 ,)}.(3.1.45)Кроме того, из (3.1.28) и из стандартной оценки (см. [5], лемма 1.1.3) для псевдотраекторииограниченной длины (в нашем случае длина ограничена числом , которое не зависит отисходной псевдотраектории ), следует, что| − | ≤ 1 , = 0, . .
. , + ,(3.1.46)где 1 > 0 зависит только от .Поскольку в окрестности (2 ,2) точки 2 отображение является линейным сжимающим отображением, то также из стандартной оценки (см. [5], теорема 1.2.3) вытекает, что|++ − ++ | ≤ 2 , = 0, . . . , ,где 2 > 0 не зависит от .Суммируя (3.1.45), (3.1.46), (3.1.47) мы получаем, что если = max{2 ,2 , , 2(1 ,)},тоdist( (), ) ≤ ,что и требовалось доказать. = 0, . . .
, + + ,(3.1.47)783.2Отслеживание в случае кубического касанияВведениеПусть : → — диффеоморфизм класса 1 замкнутого многообразия . Известно, что липшицево свойство отслеживания (см. определение 6 или определение 26 ниже)диффеоморфизма эквивалентно тому, что удовлетворяет аксиоме и строгому условиютрансверсальности устойчивых и неустойчивых многообразий (доказательства содержатсяв [5], теорема 2.2.7, и в работе [2]). Одним из естественных вопросов, возникающих в связи сэтим результатом, является следующий: обладает ли свойством отслеживания (и если да,то каким) при ослаблении условий трансверсальности и аксиомы ?В данном разделе исследуется вопрос о наличии свойства гельдерова отслеживания усистемы, удовлетворяющий аксиоме , но не удовлетворяющей условию строгой трансверсальности.Отметим работу [24], в которой также рассматривается вопрос гельдерова отслеживания.В ней доказывается, что если для некоторых , > 1/2, любая -псевдотраектория длины∼ 1/ диффеоморфизма класса гладкости 2 может быть -отслежена точной, то диффеоморфизм структурно устойчив.Одной из отправных точек для данного исследования послужила статья [6].
В ней доказано, что в случае, когда есть поверхность (т.е. замкнутое двумерное многообразие) идиффеоморфизм удовлетворяет аксиоме , следующие два утверждения эквивалентны:(1) обладает свойством отслеживания,(2) удовлетворяет условию 0 -трансверсальности.Тем не менее, как было показано в предыдущем разделе (и в работе автора [12]), дажев случае совпадения устойчивых и неустойчивых многообразий двух гиперболических неподвижных точек диффеоморфизма поверхности , обладает так называемым свойствомотслеживания с плавающей точностью степени выше единицы.В данном же разделе мы исследуем вопрос о гельдеровом свойстве отслеживания в случае кубического касания устойчивого и неустойчивого многообразий -диффеоморфизма поверхности (где ∈ N).
Естественной гипотезой в таком случае является следующая: обладает гельдеровым свойством отслеживания с показателем Гельдера 31 . Для модельногопримера диффеоморфизма мы показываем, что это так, если класс гладкости хотя бы 2 . Также мы строим пример диффеоморфизма класса гладкости 1 , обладающего гельдеровым свойством отслеживания с показателем Гельдерасвойством отслеживания с показателем Гельдера > 14 .14и не обладающего гельдеровым793.2.1Основные определенияПусть — метрическое пространство с метрикой dist, : → — непрерывноеотображение.В данном разделе через мы будем обозначать подмножество Z, являющееся одним изследующих интервалов: (−∞, ] ∩ Z, [,∞) ∩ Z или [,] ∩ Z, где , ∈ Z, ≤ .В нашем случае = R2 , : → — диффеоморфизм. В R2 мы фиксируем метрикуdist((,),(′ , ′ )) = max{| − ′ |, | − ′ |}.Нам также будет удобно переформулировать определение гельдерова свойства отслеживания отображения следующим образом.Определение 26.
Отображение обладает гельдеровым свойством отслеживания c показателем Гельдера ∈ (0,1], если найдутся такие константы ,0 > 0, что для лю1бой -псевдотраектории отображения с ∈ (0,0 ) найдется точка ∈ , отслеживающая псевдотраекторию .Через Lip( ) мы будем обозначать константу Липшица отображения .3.2.2Формулировка основного результатаПусть : R2 → R2 — диффеоморфизм класса гладкости , где ∈ N. Мы будем предполагать, что найдутся такие окрестности 1 = (1 ,2 ) × (1 ,2 ) и 2 = (1 ,2 ) × (1 ,2 ) точек1 = (−3,0) и 2 = (3,0) соответственно, такая окрестность начала координат (0,0), и такаяконстанта > 0, что выполнены следующие соотношения(d1) | (1 ) (,) = (1 ( + 3) − 3, 1 ), где 1 > 1, 1 ∈ (0,1);(d2) | (2 ) (,) = (2 ( − 3) + 3,2 ), где 2 ∈ (0,1), 2 > 1;(d3) ({(0,0)}) ⊂ , ( −1 ()) ⊂ 1 , ( ()) ⊂ 2 , где () — -окрестность множества ⊂ R2 ;(d4) | () (,) = ( + ,(,)), где > 0, а отображение удовлетворяет соотношению(,0) = 3 .Соотношение (d4) как раз и означает кубическое касание неустойчивого многообразия (1 ) и устойчивого (2 ), поскольку, как следует из явного вида отображения , выполнены включения{(,3 ) | || ≤ } ⊂ (1 ),{(,0) | || ≤ } ⊂ (2 ).Мы докажем следующее утверждение.801 (2 )0−332 (1 )Рисунок 3.1: Иллюстрация условий (d1)-(d4).Теорема 14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
