Диссертация (1150880), страница 11
Текст из файла (страница 11)
. , + 1.(3.1.6)Также из (3.1.5) следует, что для всех (,) ∈ (), таких что ∈ [0,1], верны соотношения( )(,0) = 0, = 1, . . . , + 1.(3.1.7)Из того, что отображение (а, следовательно, и его конечные итерации) принадлежит классу 2 (R2 → R2 ), и из (3.1.7) следует, что найдется такая константа L > 0, что|( )(,)| ≤ L||, = 1, . . . , + 1,(3.1.8)для всех (,) ∈ ().Кроме того, поскольку — диффеоморфизм, то из (3.1.7) следует, что существует такое0 > 0, что для всех ∈ [0,1] выполнено неравенство|(,0)| ≥ 20 .Уменьшая, если нужно, число , мы можем считать, что для всех (,) ∈ () выполненонеравенство|(,)| ≥ 0 .Уменьшая 0 , мы можем считать, что аналог последнего неравенства верен для 2 , .
. . , +1 , т.е.|( )(,)| ≥ 0 , = 1, . . . , + 1,(3.1.9)для всех (,) ∈ (), таких что (,), . . . , (,) ∈ (). Кроме того, мы можем считать,что 0 < 1.Введем еще несколько обозначений. Положим2 =sup (),=1,...,+13.1.2|( )|,3 = L + L + 2 .(3.1.10)Основной результатДля формулировки основного результата нам потребуется дать еще одно определение.Пусть (,dist) — метрическое пространство, ⊆ , ℎ : → — непрерывное отображение.Определение 25. Пусть , > 0, ∈ N. Будем говорить, что конечная последовательность = { }=0 точек в есть -псевдотраектория для ℎ с плавающей точностью68степени относительно множества , еслиdist( ( ),+1 ) ≤ (dist( ,)) , = 0, .
. . , − 1.(3.1.11)Определение 25 является модификацией определения 1; оно означает, что последовательность точек тем больше похожа на истинную траекторию, чем ближе она к множеству.Отметим также, что в нашем случае = R2 , = , ℎ = , а неравенство (3.1.11), вслучае, если ⊆ (), означает, чтоdist( ( ),+1 ) ≤ | | ,где = ( ) .Теперь перейдем непосредственно к формулировке основного результата данного раздела.Теорема 12.
Найдется такое > 0, что для любого > 0 существует конечная псевдотраектория = { }=0 для с плавающей точностью степени 1 относительномножества , для которой не существует точки ∈ R2 , -отслеживающей псевдотраекторию .Теорема 13. Пусть > 0.
Найдутся такие положительные числа ,0 , что для любого ∈ (0,0 ) и для любой конечной -псевдотраектории = { }=0 для , лежащей в () иудовлетворяющей неравенствам| ( ) − (+1 ) | ≤ |( ) |1+ , = 0, . . . , − 1,(3.1.12)найдется точка ∈ (), -отслеживающая .Отметим, что если последовательность = { }=0 ⊆ () является -псевдотраекториейдля с плавающей точностью степени (1 + ) относительно , то неравенства (0.0.1) выполнены автоматически. Таким образом, теорема 12 показывает, что если точность псевдотраектории при подходе к сепаратрисе недостаточна (а именно, если ошибка сравнима срасстоянием до сепаратрисы), то отслеживаемость такой псевдотраектории не гарантируется. Однако если ошибка по -координате сравнима с расстоянием до сепаратрисы в степени(1 + ) (которая больше единицы при положительном ), а по -координате не превосходит, то такая псевдотраектория -отслеживается, причем > 0 не зависит ни от ни отпсевдотраектории .Доказательство теоремы 12.
Пусть{︂ = min}︂ (1 − 2 ) 1 1,,, .21233 12(3.1.13)69Для каждого > 0 мы построим конечную -псевдотраекторию для с плавающейточностью степени 1 относительно , которая не -отслеживается ни одной точкой из R2 .Итак, пусть > 0.Рассмотрим функцию(︂(,) =1+2)︂− 1,где ∈ N.Ясно, чтоlim (,) = ∞.→∞Пусть ∈ N таково, что(,)210 > 1.1(3.1.14)Положим(3.1.15) = [ log1 2 ] + [− log1 1 ] + 2,где [] обозначает целую часть числа ∈ R.Опишем построение псевдотраектории.Пусть0 = (, ).2+11Для = 1, .
. . , + положим = (0 ) (напомним, что константа была определена впункте 3.1.1).Ясно, что ∈ (1 ,), а +1 ∈/ (1 ,), так как = ( ) =.1Поскольку = () = 2 () = · · · = +1 (), то для точек ∈ (), достаточно близких кмножеству , выполнены включения (), . . . , +1 () ∈ ().Поэтому, увеличивая, если нужно, и переопределяя в соответствии с формулой (3.1.15),можем считать, что + ∈ (2 ,).Положим+++1 = (++ ) + (0,++ ),Очевидно,чтопостроеннаяпсевдотраектория = 0, . . . , − 1.=++{ }=0является-псевдотраекторией для с плавающей точностью степени 1 относительно .Далее, мы покажем, что при нашем выборе , найдется такое натуральное 0 < , что++0 ∈ (2 ,),++0 +1 ∈/ (2 , ),70откуда,го,вчастности,рассуждаяотследует,чтопротивногои++0 +1=предполагая,(++0 +1 )чтонайдется≥ .
Кроме то-точка∈R2 ,-отслеживающая построенную псевдотраекторию , мы покажем, что выполнено неравенство5( ++0 +1 ()) ≤ ,6откуда, учитывая (3.1.13), мы приходим к противоречию, и, таким образом, доказательствотеоремы будет закончено.Введем обозначения = ( , ), = 0, . . . , + + .Из (3.1.6) следует, что( (+ )) = 2 + ≤ 2 1 | | = 2 1 1 ,2(3.1.16)но из (3.1.15) вытекает, что 2 1 1 ≤ 1, откуда следует оценка( (+ )) ≤.2(3.1.17)Из соотношений (3.1.14) и (3.1.9) вытекает, что++ − ( (+ )) = (2 + ) + − 2 + = = ((2 + ) − ) − 1)2 )+ = ((1 +2 + ≥2−2 1 0 ≥ 1.≥ ((1 + ) − 1)2 0 ≥ 120 2 1(3.1.18)Поскольку < 1, то найдется такое натуральное 0 ≤ , что++ ∈ (2 ,), = 0, . . . , 0 ,а ++0 +1 ≥ .Предположим теперь, что найдется точка ∈ R2 , которая-отслеживает последовательность .Введем обозначения: () = ( , ), = 0, .
. . , + + .Так как для 0 ≤ ≤ выполнены неравенства dist( (), ) ≤ , то из (3.1.13) следует,что () ∈ (1 ,), для = 0, . . . , .Таким образом, | − | ≤ 1 . Кроме того, из (3.1.13) и из того, что | − | = | −/1 | ≤ следует, что ≥ 0.71Таким образом, применяя (3.1.8), получим следующие неравенства:|++1 − ++1 | = |( +1 ( , )) − ( +1 ( , )) | =∫︁ 1( +1 )( + ( − ), + ( − ))( − ) +=|0( +1 )+( + ( − ), + ( − ))( − )| ≤≤ | − |L(| | + | − |) + 2 | − | ≤ L( 1 + 1 ) + 2 1 ≤2≤ 1 3 .Кроме того, т.к.
+ ,++1 ∈ (2 ,), то ++1 ∈ [1 − 2 ,1], и поскольку ≤ (1 − 2 )/2,то ++1 () ∈ (2 ,).Покажем, что ++1+ () ∈ (2 ,), для = 0, . . . , − 1. Эти включения следуют изоценки−1++1 ≤ 22 ++1 ≤ 2 (++1 + |++1 − ++1 |) ≤5 ≤ 2 1 (1 /2 + 3 ) ≤ 2 1 (1 /2 + 1 /3) ≤ .6(3.1.19)Здесь мы использовали (3.1.6), (3.1.15), и (3.1.13).Кроме того, как следует из (3.1.19),5++0 +1 ≤ ,6что и требовалось. Таким образом, теорема доказана. .Для доказательства теоремы 13 нам потребуются две вспомогательные леммы.Лемма 9. Пусть ∈ (0,1), > 0, > 0.Положим (,) = 1 + + · · · + (−1) ), для ∈ N, 0 (,) = 0, (,) = lim→∞ (,).Рассмотрим последовательности чисел { }=0 , { }=0 , удовлетворяющие соотношени-ям+1 = + +1 ,+1 ≤ | |1+ , = 0, .
. . , − 1, = 0, . . . , − 1.Предположим, что > 0 такого, что(︀2|0 | (,) )︀1+1+≤ 2.(3.1.20)Тогда для = 0, . . . , справедливы неравенства| − 0 | ≤ 2|0 |1+ −1 (,).(3.1.21)72Лемма 10. Пусть ∈ (0,1), > 0, > 0.Пусть последовательности чисел { }=0 , { }=0 удовлетворяют соотношениям:+ +1 , = 0, . . . , − 1,+1 ≤ | |1+ , = 0, . . . , − 1.+1 =Предположим, что и 0 удовлетворяют соотношениям(1 + 2|0 | (−,))1+ ≤2.(3.1.22)Тогда для = 0, . .
. , выполнены неравенства| − − 0 | ≤2|0 |1+ (−,).(3.1.23)Доказательство леммы 9. Доказательство будем проводить по индукции.Для = 0 утверждение очевидно.Индукционный переход. Нам известно, что| − 0 | ≤ 2|0 |+1 −1 (,).Неравенство (3.1.21) для + 1 следует из последовательности оценок:|+1 − +1 0 | ≤ |+1 − | + | − 0 | = |+1 | + | − 0 |,(3.1.24)|+1 | ≤ | |1+ ≤ | |0 | + 2|0 |+1 −1 (,)|1+ =(︀2|0 | (, ) )︀1+= |0 |1+ 1 +≤≤ 2|0 |1+ .(3.1.25)Подставляя (3.1.25) в (3.1.24), получим неравенства| + 1 − +1 0 | ≤ 2|0 |+1 (,) + 2|0 |1+ =2|0 |1+ +1 (,),что и требовалось.
Таким образом, лемма 9 доказана. .Доказательство леммы 10.Снова рассуждаем по индукции. Для = 0 утверждение очевидно.Индукционный переход от к + 1.Как и при доказательстве леммы 9, оцениваем|+1 −1 02|0 |1+ (−,)0|≤|−|+|−|≤+ |+1 |,+1+1 +1(3.1.26)73(︀ 0 2|0 |1+ (−,) )︀1++=)︀1+ 2|0 |1+|0 |1+ (︀≤ +1 .= 1 + 20 (−,) |+1 | ≤ (3.1.27)Подставляя (3.1.27) в (3.1.26), получаем неравенства|+1 −02|0 |1+ (−,) 2|0 |1+2|0 |1+ +1 (−,)|≤+=,+1+1+1 +1что и требовалось. Доказательство теоремы 13. Фиксируем вначале такое число 0 > 0, что для любой0 -псевдотраектории{ }=0 ⊆ (),из включения0 ∈ () ∖ (1 ,)следует, что ∈/ (1 , ), = 0, .
. . , ,и, в случае, когда ≥ ,+ ∈ (2 ,2), = 0, . . . , − .В ходе доказательства мы будем несколько раз уменьшать число 0 .Пусть { }=0 ⊆ () — -псевдотраектория; предположим, что (3.1.12) имеет место длячисла из формулировки теоремы.Мы будем рассматривать случай, когда 0 ∈ (1 ,), ибо в противном случае, почти вся(за исключением не более чем первых элементов) псевдотраектория лежит в (2 ,2), и,таким образом, задача сводится к отслеживанию псевдотраектории в окрестности гиперболического множества.Пусть , ∈ N, + + = — такие натуральные числа, что ∈ (1 ,), = 0, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
