Диссертация (1150880), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(1) Если обладет гельдеровым свойством отслеживания в 1 ∪ ∪ 2 споказателем Гельдера , то ≤ 31 .(2) Диффеоморфизм обладает гельдеровым свойством отслеживания в 1 ∪ ∪ 2 споказателем Гельдера 41 .(3) Если принадлежит классу гладкости 2 , то обладает гельдеровым свойствомотслеживания в 1 ∪ ∪ 2 с показателем Гельдера 31 .(4) Найдется диффеоморфизм класса гладкости 1 , удовлетворяющий условиям (d1)(d4), но не обладающий гельдеровым свойством отслеживания с показателем Гельдера >1.4Отметим, что в силу (d1) выполнено включение(1 ,2 ) × {0} ⊂ (1 ).Из соотношения (d3) и из того факта, что ( (1 )) ⊂ (1 ), следует также, что(−,) × {0} ⊂ (1 ),и, как следствие,((−,) × {0}) = {( + ,3 ) | || ≤ } ⊂ (1 ).Аналогично, легко видеть, что(1 ,2 ) × {0} ⊂ (2 ).Таким образом, точка (,0) является точкой кубического касания многообразий (1 ) и (2 ).3.2.3Вспомогательные леммыСледующая тривиальная лемма является частным случаем более общей классическойлеммы об отслеживании (см.
[5], теорема 1.2.2).81Лемма 11. Пусть : R2 → R2 — 1 -диффеоморфизм, задающийся в окрестности = (′ ,′′ ) × (′ ,′′ )по формуле | (,) = (( − 0 ) + 0 ,( − 0 ) + 0 ),где ∈ (0,1), > 1, и (0 ,0 ) ∈ . Тогда для любой -псевдотраектории = { }=0 ⊂ , где > 0, найдется такая точка ∈ , что выполнены соотношенияdist( (), ) ≤ , () ∈ , = 0, . . .
,,(3.2.1) = 0, . . . , ,11, −1}.где = max{ 1−В следующей лемме мы опишем множество (,, ) точек, итерации которых остаютсяв достаточно малой -окрестности соответствующей итерации фиксированной точки .Лемма 12. Рассмотрим диффеоморфизм : R2 → R2 , задающийся в -окрестности точки(0 ,0 ), (0 ,0 ), по формуле (,) = (( − 0 ) + 0 ,( − 0 ) + 0 ),где ∈ (0,1), ∈ (1,∞). Пусть = 2 , а точка ∈ R2 удовлетворяет соотношениюdist(, (0 ,0 )) ≤,и пусть ∈ N — наименьшее натуральное число, такое, что выполнено включение(︀)︀| () | ∈ [0 + ,0 + ).(3.2.2)Положим для ∈ (0, 2)(︀)︀(,, ) = { ′ ∈ R2 | dist (), ( ′ ) ≤ , = 0, . .
. , },− (,, ) = {( + ∆ , + ∆ ) | |∆ | ≤ , |∆ | ≤+ (,, ) = {( + ∆ , + ∆ ) | |∆ | ≤ , |∆ | ≤Тогда имеют место включения− (,, ) ⊆ (,, ) ⊆ + (,, ).| − 0 |},| − 0 |}.82Доказательство.Отметим прежде всего, что в условиях леммы выполнены включения () ∈ (0 ,0 ),Действительно, так как dist(,(0 ,0 )) ≤ = 0, . . . , .(3.2.3)≤ , то | − 0 | ≤ , и неравенство (3.2.3) следуетиз сжатия вдоль оси с константой ∈ (0,1) к точке 0 и в силу выбора .Нетрудно показать по индукции, что для любой точки ̃︀ = ( + ∆ , + ∆ ) ∈ − (,, ) ∪(,, ) ∪ + (,, ) выполнено (̃︀) ∈ (0 ,0 )(3.2.4)для = 0, .
. . , . Покажем, например, справедливость (3.2.4) для точки ̃︀ ∈ + (,). Так,пусть для ∈ N, ≤ , выполнены включения,̃︀ (̃︀), . . . , −1 (̃︀) ∈ (0 ,0 ),покажем тогда, что и (̃︀) ∈ (0 ,0 ). Это включение следует из следующей цепочки неравенствdist( (̃︀),(0 ,0 )) ≤≤ dist( (̃︀), ()) + dist( (), (0 ,0 )) ≤(︀)︀(︀)︀ ≤ max |∆ |, |∆ | + ≤ max , |∆ | + ≤2(︂)︂(︂)︂(︀)︀≤ max , | − 0 |+ ≤ max , | () − 0 |+ ≤22≤ max (, ) + ≤ .2(︁)︁Здесь мы учли соотношения ∈ (0,1), > 1, ∈ 0, 2 , (3.2.2) и явный вид отображения в окрестности (0 ,0 ).Покажем справедливость включения − (,, ) ⊆ (,, ). Пусть ̃︀ = ( + ∆ , + ∆ ) ∈− (,, ).
Тогда, принимая во внимание (3.2.2) и (3.2.4), мы можем оценить(︀)︀dist( (̃︀), ()) = max |∆ |, |∆ ≤(︂)︂(︂)︂ | − 0 | | − 0 |≤ max , ≤ max , ·=(︀)︀(︃)︃| () − 0 |= max , ·≤ ,что и требовалось.83Осталось показать включение (,) ⊆ + (,). Предположим противное: нашлась такаяточка ̃︀ = ( + ∆ , + ∆ ) ∈ (,), что ̃︀ ∈/ + (,), т.е. выполнено неравенство|∆ | >| |.Тогда мы можем оценить(︀)︀(︀)︀(︀)︀dist (̃︀), () ≥ | (̃︀) − () | ≥≥ |∆ | > | | | |≥ ≥ ,откуда(︀)︀dist (̃︀), () > ,что противоречит предположению ̃︀ ∈ (,). Полученное противоречие завершает доказательство леммы.
3.2.4Доказательство основного результатаВ этом разделе мы докажем теорему 1.Мы опустим докательство пункта 2, поскольку в нем по существу повторяются рассуждения, приведенные при доказательстве пункта 3. Так же, как и пункт 3, пункт 2 сводится к доказательству соотношения (3.2.16). Необходимо только рассмотреть вместо 3 псевдотраектории 4 -псевдотраекторию; вместо случаев (Y1) и (Y2) рассмотреть следующиедве альтернативы:(Y1)′|̃︀| ≥ 3 ,(Y2)′|̃︀| < 3 ;неравенства (3.2.19) и (3.2.20) заменить соответственно на неравенства(̃︀+(̃︀−,̃︀) − (,) ≥ C4 ,2, )̃︀ − (,) ≤ −C4 ,2а соотношение (3.2.21) заменить на соотношение(,) = 3 + Φ′ (,),где Φ′ — непрерывная функция.84Доказательство пункта 1Покажем, что для любого ∈ ( 13 ,1] не обладает гельдеровым свойством отслеживания споказателем Гельдера .
Действительно, предположим противное, т.е. существуют константы1,0 > 0 из определения 3. Мы построим псевдотраекторию (с ∈ (0,0 )), которая неможет быть -отслежена точной.Положим− = − (,0), > 0,10 = (, ), = (0 ), > 0,где константа > 0 столь мала, что 0 ∈ 2 . В ходе рассуждений мы несколько раз будемуменьшать число .Так, мы можем считать, что выполнено неравенство ≤ min( , 0 ).(3.2.5)Ясно, что поскольку1dist ( (−1 ),0 ) = ,1то последовательность = { }∞=−∞ является -псевдотраекторией.Из соотношений (d4) и (d2) следует, что − ∈ (1 ) при ∈ N.Предположим, что нашлась такая точка ∈ R2 , что выполнены соотношенияdist( (), ) ≤ , ∈ Z,(3.2.6)1т.е., точка -отслеживает -псевдотраекторию .
В силу соотношения (3.2.5), учитывая,что −1 = (0,0), получаем оценкуdist( −1 (),(0,0)) = dist( −1 (),−1 ) ≤ ≤ .(3.2.7)Отсюда, принимая во внимание условие (d3), получаем включение −1 () ∈ .Поскольку, кроме того, < 2 , то для достаточно больших выполнено неравенствоdist( − (),1 ) ≤ ,откуда следует, что ∈ (1 ).85Как следует из условий (d1) и (d3), [−, ] × {0} ⊂ (1 ).
Таким образом, выполненовключение −1 () ∈ [−, ] × {0},т.е., в координатах R2 точка −1 () имеет вид −1 () = (′ ,0).В силу (3.2.6) выполнена оценка(3.2.8)|′ | ≤ ,поэтому из условия (d4) следует, что = ( −1 ()) = (′ + , (′ )3 ).Таким образом, используя (3.2.8), мы можем оценить -координату точки :(3.2.9)|′ |3 ≤ 3 3 .Ясно, что найдутся такие 1 > 0, ∈ N, что для всех ̃︀ ∈ (0,1 ) выполнено включение1dist( (,(̃︀ )),(3,0)) ≤,22где 2 — константа из соотношения (d2).Вновь уменьшая > 0, если нужно, можем считать, что ∈ (0,1 ).Отметим, что в силу соотношения (3.2.6) выполнено включение(3.2.10) () ∈ (, ),где (, , ) — множество, определенное в лемме 12.В силу включения (3.2.10) и леммы 12, примененной к отображению , и точкам(0 ,0 ) = (3,0) и = , выполнено включение () ∈ + (, ) = {(( ) + ∆ ,( ) + ∆ ) | |∆ | ≤ , |∆ | ≤( )},(3.2.11)где — константа, определенная в формулировке леммы 12.Уменьшая , если нужно, мы можем добиться того, чтобы выполнялись включения − (+ (, )) ⊂ 2 , − (+ (, )) ⊂ .
= 0,1, . . . , − 1,86Из явного вида отображения в окрестностях 2 и (где линейно) следует такжесоотношение−+1112 +1 1 2 +1, +]}.(+ (, )) = {(,) ∈ R | | − | ≤ −1 , ∈ [ −221Уменьшая , если нужно, можем считать, что выполнено неравенство11 12 +1≥ . −21Так как1(3.2.12)< 3, мы можем вновь уменьшить число так, чтобы выполнялось соотношение1 1 ≥ 23 3 .2(3.2.13)Из соотношения (3.2.11) следует включение ∈ −+1 (+ (, )),откуда следует оценка для -координаты:12 +1, ≥ −1и, в силу (3.2.12) и (3.2.13), мы можем оценить ≥ 23 3 ,что противоречит оценке (3.2.9). Отсюда мы заключаем, что наше предположение о существовании точки , удовлетворяющей соотношению (3.2.7), неверно.
Таким образом, постро1енная нами -псевдотраектория не может быть -отслежена точной. Доказательство пункта (1) окончено.Доказательство пункта 3Нам нужно показать, что найдутся такие константы 0 ,> 0, что любая 3 -псевдотраектория = { }=0 ⊂ 1 ∪ ∪ 2 может быть -отслежена точной.В ходе доказательства мы будем несколько раз уменьшать число 0 и увеличивать (каждый раз новые константы будут зависеть только от ).Для начала заметим, что, как следует из явного вида системы, найдется такая константа′ > 0, что для любой (′ )3 -псевдотраектории = { }=0 ⊂ 1 ∪ ∪ 2 найдется такое ∈ N,87что выполнены включения ∈ 1 , = 0, .
. . , − 1,(3.2.14) ∈ , ∈ 2 , = + 1, . . . , .Положим 0 = ′ .−1Применяя последовательно лемму 11 к { }=0, а затем к { }=+1 , получаем, что най-дутся точки ∈ 1 и ∈ 2 и константа L > 0, удовлетворяющие соотношениямdist( (), ) ≤ L3 , = 0, . . . , − 1,dist( −−1 (), ) ≤ L3 , = + 1, . . . , .В силу липшицевости отображения и его обратного, −1 , мы можем оценить(︀)︀dist (), −1 () ≤ Lip( −1 )dist( +1 (),) ≤(︀(︀)︀)︀Lip( −1 ) dist +1 (), ( ) + dist ( ( ),+1 ) + dist (+1 , ) ≤(︀)︀≤ Lip( −1 ) Lip( )L3 + 3 + L3 ≤ C3 ,(3.2.15)где C = Lip( −1 ) (1 + L + Lip( )L).Уменьшая 0 и учитывая включение (3.2.14), мы можем добиться выполнения включений () ∈ (),2−1() ∈ ().2Далее мы покажем, что найдется константа > 0, зависящая только от , и такая точка ∈ R2 , что выполнены неравенстваdist( (), ()) ≤ , = 0, .
. . , − 1dist( −−1 (), ()) ≤ , = + 1, . . . , ,откуда легко получается, что точка -отслеживает псевдотраекторию с некоторым >0, зависящим только от .Положим() = {′ ∈ R2 | dist( (′ ), ()) ≤ , = 0, . . . , },() = {′ ∈ R2 | dist( (′ ), ()) ≤ , = 0, . . . , − − 1},где константу > 0 (зависящую только от ) мы выберем позднее. Мы покажем, что +1 (()) ∩ () ̸= ∅.(3.2.16)88Тогда любая точка ∈ −−1 ( +1 (()) ∩ ()) и является искомой.Для удобства введем обозначение () = (̃︀, ).̃︀Уменьшая, если нужно, 0 , из явного вида системы и леммы 2 получаем, что множество() = {(̃︀ + ∆ , ̃︀ + ∆ ) | |∆ | ≤ , |∆ | ≤|̃︀|},b(3.2.17)где b = max (|1 |, |2 |), удовлетворяет соотношению(3.2.18)() ⊆ (()).Рассмотрим два случая:(Y1) |̃︀| ≥ 2 ,(Y2) |̃︀| < 2 .В случае (Y1) из соотношений (3.2.17) и (3.2.18) следует, что (()) ⊇ () ⊇ {(̃︀ + ∆ , ̃︀ + ∆ ) | |∆ | ≤ , |∆ | ≤3},bоткуда при ≥ Cb, учитывая соотношение (3.2.15), получаем включение −1 () ∈ (()),что и требовалось.Рассмотрим случай (Y2).
Здесь также возможны две альтернативы:(X1)|̃︀| ≤ ,(X2)|̃︀| > .Мы покажем, что в каждом из этих случаев выполнены неравенства,̃︀) − (,) ≥ C3 ,2(3.2.19), )̃︀ − (,) ≤ −C3 ,2(3.2.20)(̃︀+(̃︀−где функция из условия (d4).Тогда, из простых геометрических соображений, получается, что() ∩ () ̸= ∅,89где () определено в (3.2.17), а() = {( + ∆ , ) | |∆ | ≤ }.Отсюда, учитывая тот факт, что () ⊂ (), получаем требуемое соотношение (3.2.16).Поскольку принадлежит классу 2 , учитывая соотношение (d4), мы можем написать(,) = 3 + + Ψ(,) + 2 Φ(,),(3.2.21)(0,0).где Ψ, Φ — непрерывные функции, и =Отметим также, что для всех , ∈ R выполнено неравенство2 + 3 + 3 2 ≥2 2+ .88(3.2.22)Рассмотрим подслучай (X1). Мы докажем выполнение неравенства (3.2.19), неравенство(3.2.20) доказывается аналогично.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
