Диссертация (1150880), страница 8
Текст из файла (страница 8)
По данному числу , применяя условие (C1), найдем числа ∆0 и соответствующиечисла 1 ,2 ,∆. Из леммы 7 следует, что найдется такое > 0, зависящее только от 1 ,2 ,∆(т.е. от ), что если 0 , . . . , — конечная -псевдотраектория , то условие (1 ,2 , ,+1 )выполнено для = 0, .
. . , − 1. Наконец, из леммы 8 следует, что обладает конечнымсвойством отслеживания на . 482.2Топологическая устойчивостьВ данном разделе мы будем предполагать для простоты, что — гладкое замкнутоемногообразие.Обозначим через () пространство гомеоморфизмов , снабженное метрикой(,) = max max(dist( (),()),dist( −1 (), −1 ())).∈Хорошо известно, что () вместе с данной метрикой является полным метрическим пространством.Нам потребуются следующие два определения.Определение 23. Гомеоморфизм ∈ () называется топологически устойчивым, еслидля любого > 0 найдется такая окрестность ⊂ (), ∈ , что для любого ∈ найдется такое непрерывное отображение ℎ : → , что ∘ ℎ = ℎ ∘ и для всех ∈ выполнено неравенствоdist(ℎ(),) < .Отметим, что топологически устойчивый гомеоморфизм гладкого замкнутного многообразия обладает свойством отслеживания (см.
[5]).Определение 24. Гомеоморфизм ∈ () называется экспансивным, если найдется такое положительное число , что из неравенствdist( (), ()) ≤ ,∈Zследует, что = . Число называют константой экспансивности.Отметим работу [20], в которой доказана следующая теорема (см. также [5]).Теорема 8.
Пусть гомеоморфизм ∈ () экспансивен и обладает свойством отслеживания. Тогда топологически устойчив.Известно, что структурно устойчивые диффеоморфизмы являются топологически устойчивыми (см. [21]).Мы покажем, что предложенные в предыдущем разделе методы, основанные на аналогефункций Ляпунова, могут быть применены для доказательства топологической устойчивости динамических систем, достаточно сильно отличающихся от структурно устойчивыхсистем (например, допускается наличие негиперболической неподвижной точки).Пример 1.
Рассмотрим ∈ (2, Z) — гиперболическую матрицу с целочисленнымикоэффициентами. Пусть числа и , 0 < < 1 < — ее собственные значения, отвечающие собственным векторам 1 ,2 . Таким образом, в новых координатах (,), отвечающим̃︀2 целочисленную решетку Z2 всобственным векторам, (,) = (, ). Обозначим через 49̃︀2 порождена векторами 1 = (1,0), 2 = (0,1), гденовых координатах (иными словами, — матрица перехода от стандартных координат в R2 к координатам (,)).̃︀2 ) инвариантна относительно действия A и чтоЯсно, что решетка (1/21 + 1/22 + она задает разбиение плоскости на параллелограммы с вершинами в {1/21 + 1/22 + 1 +2 | , ∈ Z}. Обозначим через (,) (где , ∈ Z) параллелограмм с вершинами( 21 · 1 ± 12 · 2 + · 1 + · 2 ), (− 21 · 1 ± 21 · 2 + · 1 + · 2 ).Далее, в окрестности = {(,) : || < 1 , || < 2 } точки (0,0) (где числа 1 ,2 > 0 малынастолько, чтобы окрестность полностью содержалась в параллелограмме (0,0)) мырассмотрим малое возмущение 0 автоморфизма .Положим при (,) ∈ (0,0)0 (,) = (,) = ( + ()(), ),где : R → R — гладкая ∞ функция, () =|| ≥ 1 , ℎ : R → R — также ∞∫︀ 0((1 − ) − ℎ()) при || < 1 , () = 0, пригладкая функция, причем ℎ(0) = 0, и при всех ∈ R ∖ {0}выполнено 0 < ℎ() < 1; : R → R — ∞ функция, () = (−), (0) = 1, () невозрастаетпри ≥ 0 и () = 0 при ≥ 2 .Для оставшихся параллелограммов, т.е.
при (,) ∈ (,), доопределим функциюследующим образом: 0 (,) = 0 ( − · 1 , − · 2 ) + · 1 + · 2 .Нетрудно видеть, что поскольку 0 совпадает с на множестве (0,0) ∖ , то определенная таким образом функция 0 : R2 → R2 корректно задана (т.е. она согласованна награницах параллелограммов), непрерывна, и что при достаточно малых 1 и 2 она переводит различные параллелограммы в различные (более того, также нетрудно видеть, что 0переводит параллелограм (,) в параллелограм ( (,))).Покажем, что 0 является диффеоморфизмом R2 . Для этого, в силу замечаний из предыдущего абзаца, достаточно показать, что 0 инъективна, а ее дифференциал 0 невырожден.Действительно, поскольку ℎ() < 1 при всех , то′ () = (1 − ) − ℎ() > −,откуда из неравенств 1 ≥ () ≥ 0, выполненых при всех , следует, что + ′ ()() = + ((1 − ) − ℎ())() > 0.Отсюда видно, что при (,) ∈ (0,0)(︃0 (,) =)︃ + ′ ()() ()′ ()050̃︀2 ,невырожден.
А поскольку 0 инвариантна относительно сдвигов на элементы решетки мы немедленно получаем, что 0 (,) невырожден при всех (,).Покажем инъективность. Ясно, что как и при доказательстве невырожденности дифференциала достаточно рассмотреть случай (,) ∈ (0,0). Итак, пусть (,),(′ , ′ ) ∈ (0,0)и 0 (,) = 0 (′ , ′ ). Тогда, очевидно, = ′ и выполняется равенство ( − ′ ) = ()((′ ) −()). Последнее равенство можно переписать следующим образом∫︁′′( + (ℎ() − 1)).( − ) = ()Т.к. ℎ() < 1 при всех , а 0 ≤ () ≤ 1 при всех , последнее равенство возможно лишьпри = ′ . Таким образом, отображение 0 инъективно, откуда и следует, что 0 являетсядиффеоморфизмом R2 .Теперь, поскольку диффеоморфизм 0 инвариантен относительно сдвигов на элементы̃︀2 , мы можем определить отображение ̃︀ на торе T2 = R2 /̃︀2 формулой ̃︀((,)) =решетки (0 (,)), где : R2 → T2 каноническая проекция на фактор-пространство.
Ясно также,что ̃︀ является диффеоморфизмом.Как показано в [9], если число достаточно мало, то диффеоморфизм ̃︀ является экспансивным диффеоморфизмом тора 2 . Заметим теперь, что ̃︀ не является диффеоморфизмомАносова. Действительно, нетрудно видеть, что(︃̃︀(0,0) =1 0)︃0 ,и, таким образом, дифференциал ̃︀ в неподвижной точке (0,0) обладает собственным значением равным 1.Зададим функции и на T2 . Если = ( , ) и = ( , ), то положим (,) = | − |, (,) = | − |.Отметим, что если точки и достаточно близки, то данные функции заданы корректно.Ясно, что условия (C1)-(C5) выполнены.
Проверим условие (C6). Фиксируем числа 0 <∆ < ∆0 и точку = ( , ). Пусть ̃︀ = (̃︀ ,̃︀ ). Для малого 2 рассмотрим точки ′ =( + , ), где || ≤ 2 . Если = 0, то|̃︀ () − ̃︀ (′ )| = 0.51Если ̸= 0, то∫︁′ +|̃︀ () − ̃︀ ( )| = |( + ( )(1 − )) − ( )ℎ() << || ≤ 2 .Здесь мы приняли во внимание, что () ≤ 1, и ℎ() > 0 для ̸= 0.Отсюда следует, что условие (С6) выполнено для любых (1 ,2 ), где 2 < ∆ достаточномало. Кроме того, если 2 достаточно мало, то ”прямоугольник“ (1 ,2 ,) близок к ”сегменту“ (1 ,2 ,), откуда следует, что условие (С8) также выполнено.Поскольку ̃︀ ”растягивающее“ вдоль направления , то условия (С7) и (С9) выполненыавтоматически.Таким образом, к диффеоморфизму ̃︀ применима теорема 7, из которой следует, что ̃︀обладает свойством отслеживания.
Отсюда, принимая во внимание теорему 8, получаем, чтодиффеоморфизм ̃︀ является топологически устойчивым.Как уже было отмечено, наш подход применим и к гомеоморфизмам.Пример 2. Рассмотрим, как и выше, гиперболическую матрицу с целыми коэффициентами : R2 → R2 , так же выберем координаты, соответствующие собственным векторам, т.е.(,) = (, ), где 0 < < 1 < . Фиксируем малые константы 1 , 2 > 0 (аналогичнопредыдущему примеру, достаточно, чтобы = {(,) : || < 1 , || < 2 } ⊂ (0,0)).
Пусть1 , 2 : R → R — непрерывные, строго монотонные функции, обладающие следующими свойствами:(1) |1 ( + ) − 1 ()| ≤ , |2 ( + ) − 2 ()| ≥ −1 , для > 0;(2) при || ≥ 1 выполняется 1 () = ;(3) при || ≥ 2 выполняется 2 () = ,где число ∈ (0,1).Рассмотрим новое отображение 0 , определенное в (0,0) следующим образом: 0 (,) =(1 (), 2 ()).Для оставшихся параллелограммов, т.е. при (,) ∈ (,), , ∈ Z, как и выше,доопределим функцию следующим образом:0 (,) = 0 ( − · 1 , − · 2 ) + · 1 + · 2 .Нетрудно видеть, что полученное отображения является гомеоморфизмом R2 и совпадает с при (,) ∈ (0,0) ∖ . Как и выше, мы также можем определить отображение на тореT2 = R2 /̃︀2 формулой ((,)) = (0 (,)).52Определим функции , : положим ((,),(′ , ′ )) = | − ′ |, ((,),(′ , ′ )) = | − ′ |.Экспансивность гомеоморфизма доказывается аналогично экспансивности ̃︀.
Условия (С1)(С9) здесь выполнены тривиальным образом, таким образом мы можем применить теорему8. Таким образом, гомеоморфизм является топологически устойчивым.2.3Отслеживаниевокрестностинегиперболическойнеподвижной точкиВ данном разделе мы применяем метод функций Ляпунова для доказательства свойствотслеживания. В подразделе 2.3.1 мы отдельно рассмотрим случай одномерной системы. Особенное внимание будет уделено зависимости от из определения 5. В подразделе 2.3.2 мынемного уточним метод функций Ляпунова для случая гомеоморфизма двумерной плоскостии сформулируем новые достаточные условия свойства отслеживания.
Также мы рассмотримв деталях модельный пример диффеоморфизма (,) = ( − 2+1 + (,), + 2+1 + (,)),(2.3.1)где , — натуральные числа, а , — гладкие функции, обнуляющиеся в начале координатвместе с их производными.Наконец, подраздел 2.3.3 посвящен исследованию свойства отслеживания в окрестностинеизолированной неподвижной точки. Мы рассмотрим простейший (но не тривиальный) пример диффеоморфизма (,) = ( ,(1 + 2 )).2(2.3.2)Для данного диффеоморфизма начало координат является неизолированной неподвижнойточкой (любая точка (0,) является неподвижной). Конечная, такая система не обладаетклассическим свойством отслеживания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
