Диссертация (1150880), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Ясно также, что построенное нами отображение взаимнооднозначно и 1 -гладкое с невырожденным дифференциалом.Поскольку для каждой точки ∈ [0,8] отображение(,) ↦→ ℎ (,,), = 1,2линейно, то продолжимо на все многообразие 1 × 2 , и ясно, что это продолжение является 1 -гладким диффеоморфизмом многообразия 1 × 2 .Нам также будет удобно ввести на многообразии риманову метрику специального вида. Снабдим многообразие римановой метрикой dist(·, ·), такой что для , ∈(1 ,1 )−1 ((−1,9) × [−10,10] × [−10,10]) выполнено1dist(,) = (( − )2 + ( − )2 + ( − )2 ) 2 ,(1.5.1)где (1 ,1 )() = ( , , ), (1 ,1 )() = ( , , ).

Также мы можем считать, что аналогичноеутверждение имеет место и для точек, ∈ (2 ,1 )−1 ((−1,9) × [−10,10] × [−10,10]).Отметим, что имеет четыре неподвижные точки. Две из них — это точки(1 ,1 )−1 (1 ),(1 ,1 )−1 (2 ),где 1 = (0,0,0), 2 = (8,0,1), как и раньше. Эти точки (принадлежащие ) мы дляпростоты обозначений также будем обозначать через 1 и 2 , соответственно. В карте((1 ,1 ), 1 ×1 ), отображение совпадает с 1 , построенным в предыдущем разделе, так чтовсе сказанное ранее про 1 имеет место. В частности, система не удовлетворяет условию 0 -трансверсальности. Оставшиеся две неподвижные точки — это0 = (1 ,2 ),363 = (1 ,2 ).Действительно, как следует из явного задания в картах ((1 ,1 ),1 × 1 ) и ((2 ,1 ),2 × 1 ), не имеет больше ни одной неподвижной точки, кроме уже упомянутых 1 и 2 . Перейдятеперь к карте ((1 ,2 ), 1 × 2 ), мы видим, что точки 0 и 3 являются неподвижными, вокрестности 0 и задается отображением(,,) ↦→ (3,3,3),а в окрестности точки 3 задается отображением1 11(,,) ↦→ ( ( − 8) + 8, , ).33 3Таким образом, точки 0 и 3 являются гиперболическими неподвижными, причем 0 —отталкивающая, а 3 — притягивающая.Пусть pr1 : 1 × 2 → 1 — каноническая проекция декартового произведения на первыйсомножитель, pr2 : 1 × 2 → 2 — каноническая проекция декартового произведения навторой сомножитель, т.е.pr1 (,) = , pr2 (,) = ,где ∈ 1 , ∈ 2 .Отметим, что для любого ∈ 2 композицияpr1 ∘ ∘ : 1 → 1 ,(1.5.2)где () = (,) для ∈ 1 , является североюжным отображением окружности в себя (здесьпод северным полюсом мы подразумеваем точку 1 , а под южным 1 ).

Отсюда следует, чтомножество неблуждающих точекΩ( ) ⊂ {1 } × 2 ∪ {1 } × 2 .Аналогично, композиция ↦→ pr2 ( (1 ,))является южносеверным отображением сферы 2 , а композиция ↦→ pr2 ( (1 ,))является североюжным отображением сферы 2 (под северным полюсом 2 мы подразумеваем 2 , под южным 2 ).37Таким образом, мы получаем, чтоΩ( ) = {0 , 1 , 2 , 3 }.Поскольку все точки 0 ,1 ,2 ,3 — гиперболические неподвижные, то система удовлетворяет аксиоме А, при этом для = 0, . . .

, 3 множества Ω = { } являются базисными.Из сказанного также легко получается, что система Ω-устойчива (поскольку удовлетворяет аксиоме А и условию отсутствия циклов), и мы можем также написать, что{0 } → {1 } → {2 } → {3 }.Для завершения доказательства теоремы 5 нам осталось показать справедливость следующего утверждения.Утверждение 3. Существует такие числа > 0, 0 > 0, что любая 4 -псевдотраектория = { }= ⊂ диффеоморфизма , где ∈ (0,0 ), может быть -отслежена точной.Доказательство.

В ходе доказательства мы вновь будем несколько раз уменьшать число0 > 0.Прежде всего нам потребуются следующие две леммы из [7].Лемма 4. Пусть — гомеоморфизм компактного метрического пространства и пусть — окрестность множества неблуждающих точек Ω( ). Тогда найдутся такие числа, > 0, что если = { } — -псевдотраектория и ∩ = ∅, то − ≤ .Лемма 5. Пусть — Ω-устойчивый диффеоморфизм. Тогда найдутся такие окрестности базисных множеств и число > 0, что если = { } такая -псевдотраектория, что ∈ и ∈ для некоторых > , то найдется такая последовательность базисныхмножеств Ω1 , .

. . , Ω , чтоΩ → Ω1 → · · · → Ω → Ω .Положим(︂)︂−1 1−1 1−1 10 = (1 ,2 )[ , ]×[ , ]×[ , ] ,3 33 33 3(︂)︂−1 1−1 1−1 1−11 = (1 ,1 )[ , ]×[ , ]×[ , ] ,3 33 33 3)︂(︂−1 12 423 25−12 = (1 ,1 )[ , ]×[ , ]×[ , ] ,3 33 33 3(︂)︂23 25−1 1−1 1−13 = (1 ,2 )[ , ]×[ , ]×[ , ] .3 33 33 3−1Каждое из множеств является окрестностью { }, причем в система в подходящейсистеме координат линейна и гиперболична. Кроме того, в окрестности 3 система сжимающая, а в окрестности 0 отталкивающая (т.е.

−1 сжимающая). Уменьшая, если нужно, ,38мы можем считать, что утверждения лемм 4 и 5 имеют место для , = 0 ∪ 1 ∪ 2 ∪ 3 ,′ > 0 и ∈ N. Положим 40 = ′ .Рассмотрим 4 -псевдотраектории = { } с ∈ (0,0 ). Как следует из лемм 4 и 5,найдутся такие индексы ≤ , ∈ = { ∈ [0 : 3] | ∩ ̸= ∅}, что выполненысоотношения{ }=⊂ ,(1.5.3) ∈ ,и при этом для всех соседних пар , ′ ∈ , ≤ ′ , т.е. таких что [ : ′ ] ∩ = {, ′ }, выполненонеравенство(1.5.4)| − ′ | ≤ .Иными словами, 4 -псевдотраектория посещает множества , ∈ в определенномпорядке (что при наших обозначениях означает монотонность () по ∈ ), и при этомпереход от одной окрестности к следующей происходит не более чем за шагов.Возможны следующие четыре альтернативы:(1) ∩ 1 = ∅, ∩ 2 = ∅,(2) ∩ 1 ̸= ∅, ∩ 2 = ∅,(3) ∩ 1 = ∅, ∩ 2 ̸= ∅,(4) ∩ 1 ̸= ∅, ∩ 2 ̸= ∅.Рассуждения в случаях (1) − (3) аналогичны, поэтому мы ограничимся рассмотрениемтолько второго случая из этих трех.1По лемме 2 псевдотраектория { }=может быть 4 -отслежена точной траекторией (где1 > 0 зависит только от ), т.е.

найдется такая точка ∈ 1 × 2 , что выполнены неравенстваdist( (),1 + ) ≤ 4 ,Применяя1{ }=max(,1 −,)леммуточке и 1−1 = 0, . . . , 1 − 1 .последовательно, а затем к псевдотраекториикmin( +,){ }=1 1,псевдотраекторииточке 1 −1 () и ,получаем неравенства:dist( − (),1 − ) ≤ ( + 1 + · · · + −1 )4 , = 0, . . . , min(,1 − ),dist( 1 + (),1 + ) ≤ ( + 1 + · · · + −1 )4 , = 0, . .

. , min(, − 1 ).(1.5.5)Нам потребуется следующая лемма, являющаяся непосредственным следствием леммы1.Лемма 6. Пусть — метрическое пространство с метрикой dist(,). Пусть отображение : → удовлетворяет условию ( ) ⊂ , где ⊆ — некоторое подмножество,39и пусть, кроме того, существуют такие вещественные числа ∈ (0,1), > 0, что длялюбых , ∈ выполнено неравенствоdist( (), ()) ≤ dist(,), ∈ N.Пусть = { }=0 ⊆ — -псевдотраектрия для , где > 0, ∈ N. Тогда для любойточки ∈ выполнены неравенстваdist( (), ) ≤ dist(,0 ) +,1− = 0, .

. . , .Если 1 − ≥ , то в силу (1.5.4) точки псевдотраектории 1 −− ∈ 0 при = 0, . . . , +1 −. А поскольку в подходящей системе координат −1 является в 0 сжимающим, то по лемме6 найдется такая константа − > 0, зависящая только от , что выполнены неравенстваdist( − (),1 − ) ≤ − 4 ,(1.5.6) = 0, . . .

, 1 − .Аналогично, в случае − 1 > найдется такая константа + > 0, зависящая только от ,что выполнены неравенстваdist( (),1 + ) ≤ + 4 , = 0, . . . , − 1 .Последнее неравенство вместе с (1.5.6) влечет оценкиdist( (),1 + ) ≤ 4 , = −1 , . . . , − 1 ,где = max( − , + ) (отметим, что > 0 зависит только от ).Такимобразом,мыпоказаливслучае(3),чтоточка −1 ()4 -отслеживает 4 -псевдотраекторию . В случаях (1) − (2) рассуждения аналогичны.Рассмотрим теперь случай (4), когда выполнено соотношение ∩ 1 ̸= ∅, ∩ 2 ̸= ∅.Как уже было отмечено, поскольку отображение (1.5.2) является североюжным, то уменьшая, если требуется, 0 , мы можем считать, что либо ⊂ 1 × 2 , либо ⊂ 2 × 2 .Прежде всего мы покажем, что в случае (4) выполнено включение ⊂ 1 × 240при достаточно малом 0 , а именно при40 ≤1.9(1 + + · · · + −1 )Действительно, предположим противное, т.е., что ⊂ 2 × 2 .

Перейдем к координатам((2 × 1 ),2 × 1 ). Для простоты обозначений мы будем отождествлять точки многообразияс их координатами в рассматриваемой нами карте.По определению множества 1 для точки 1 = (1 ,1 ,1 ) (отметим еще раз, что координаты взяты в карте ((2 × 1 ),2 × 1 )) выполнено неравенство11 ≤ .3Тогда, как это следует из явного вида системы, для = ( (1 )) , = 0, . . .

, 2 −1 выполненонеравенство1 ≤ .32Применяя лемму 1 к точке 1 и последовательности { }=и учитывая (1.5.1) и (1.5.4),1получаем оценки|2 −1 − 2 | ≤ | 2 −1 (1 ) − 2 | = dist( 2 −1 (1 ), 2 ) ≤1≤ 4 (1 + + · · · + 2 −1 −1 ) ≤ 4 (1 + + · · · + −1 ) ≤ ,9где 2 = (2 ,2 ,2 ).Таким образом, мы можем оценить2 ≤ 2 −1 + |2 −1 − 2 | ≤41 1+ = .3 99Но, поскольку 2 ∈ 2 , -координата точки 2 удовлетворяет неравенству 2 ≥ 23 . Полученное противоречие показывает, что ⊂ 1 × 2Итак, мы показали, что ⊂ 1 × 2 .

Отметим, что при40 ≤19(1 + + · · · + −1 )выполнено включение2{ }=⊂ = (−1,9) × (−1,1) × (−1,3).1Действительно, если для некоторого ∈ [1 : 2 ] выполнено ∈/ , то ∈ [1 : 2 ], и, применяялемму 1, нетрудно видеть, что тогда 2 ∈/ 2 , что противоречит определению 2 .412теорему 1′ , получаем, что найдется такая точкаПрименяя к последовательности { }=1 ∈ 1 × 2 , что выполнены неравенства| () − 1 + | ≤ , = 0, . . . , 2 − 1 ,где константа > 0 зависит только от .Таким образом, мы, как и в случае (3), отследили “среднюю” часть псевдотраектории .Поскольку −1 и сжимающие соответственно в 0 и 3 , мы можем повторить рассуждения,примененные в случае (3). В итоге, мы найдем константу ′ > 0, зависящую только от и такую, что выполнены неравенстваdist( − (), ) ≤ ′ ,что и требовалось.

Характеристики

Список файлов диссертации