Диссертация (1150880), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Как и выше, в доказательстве мы используем подход, основанный нафункциях ляпуновского типа. Однако теперь одна из функций будет модифицирована. Положим (,) = | − |, (,) =| − |.| |(1 − | |)Ясно, что данные функции неотрицательны и непрерывны на 0 × 0 и обнуляются надиагонали, т.е. (,) = 0, (,) = 0 для ∈ 0 .Условия (С1)-(С4), очевидно, выполнены (мы можем положить ∆0 () = /2 в условии(С1)).Положим=∆∆0==,2(2.3.21)61где константу мы выберем позднее, а в качестве константы из условия (2.3.20) возьмем = .Положим вначале = 1.
В ходе доказательства мы будем несколько раз уменьшать константу и несколько раз выбирать достаточно малую окрестность начала координат .Наша главная цель — проверить выполнение условие (,∆, ,+1 ) для последовательных точек , +1 псевдотраектории с подходящими и ∆. После этого мы применимлемму 8.Введем обозначения = (,), +1 = (′ , ′ ).Мы утверждаем, что найдется такое число > 0, что если достаточно малая окрестность начала координат, ,+1 ∈ , и < 1, то условие (С5) выполнено с ∆ = .Точка ( + , + ) принадлежит (, ) тогда и только тогда, когда || ≤ ||(1 − ||) и|| ≤ .
Аналогичные неравенства задают множество (,+1 ).Поэтому, чтобы показать справедливость (С5), нам достаточно найти такое > 0, чтоесли || ≤ ||(1 − ||) и || ≤ , то выполнены неравенства⃒⃒⃒ + ⃒′⃒⃒ < |′ |(1 − |′ |),−⃒ 2⃒|( + )(1 + ( + )2 ) − ′ | < .Также, мы покажем, что если || ≤ |′ |(1 − |′ |) и || ≤ , то|2(′ + ) − | < ||(1 − ||),⃒⃒′⃒⃒+⃒⃒ < .−⃒ 1 + 4(′ + )2⃒Докажем существование > 0, для которого выполнено третье неравенство из указанныхвыше (оставшиеся неравенства рассматриваются аналогично). Мы можем предполагать, что|| < 1/4 и < 1. Тогда, как следует из (2.3.20), выполнены неравенства|′ − /2| < 2 < ||/4 < ||/4,откуда следует, что |′ | < || и |2′ − | < ||/2. Кроме того, выполнены неравенства|| ≤ |′ |(1 − |′ |) < |′ | < ||,||(1 − ||) > ||/2.В последнем неравенстве мы учли, что если окрестность достаточно мала, то || < 1/2.Объединяя эти неравенства, мы видим, что если = 3, то ||(1 − ||) > 3||/2 > |2′ − | + ||,62что и требуется.В последующем мы положим ∆ = , где число фиксировано выше.Проверим теперь условия (С6) и (С7).
Не умаляя общности, мы будем предполагать, что > 0 (случай < 0 рассматривается аналогично).Отметим, что{︂(︂ ( (, )) =)︂}︂+2, (1 + ( + ) ) | || ≤ (1 − ) .2Отсюда следует, что проекция множества ( (, )) на ось является сегментом [− ,+ ],где− =В то же время, если ′ =2 − (1 − ),22+ = + (1 − ).22+ , то проекция множества (, +1 ) на ось есть сегмент[ (), ()], где+−( + 2) (︁ () = + −1−22( + 2) (︁ + () = + +1−22−)︁− ,2)︁− ,2а || ≤ 2 (отметим, что при достаточно малых и выполнено неравенство /2 + > 0).Из соотношений + (0) = + +2,4 − (0) = − −24следует, что найдется такое > 0 (не зависящее от и ), что если ≤ в (2.3.20), то имеетместо включение[− , + ] ⊂ ( − , + ).(2.3.22)Для завершения доказательства условий (C6) и (С7) отметим, что{︂(︂ ( (∆, )) =)︂}︂+2, (1 + ( + ) ) | || ≤ (1 − ) .2Если ′ = (1 + 2 ) + , то -координата любой точки множества (,+1 ) равна либо ′ − либо ′ + .Отметим, что выполнено тождество ′ + − (1 + ( + )2 ) = − (2 + 2 ) + .Поскольку || ≤ (1 − ), мы можем оценить|| ≤ 2 (1 − ), 2 ≤ 2 2 2 (1 − )2 .63Уменьшая, если нужно, окрестность (так что значения || и || можно считать достаточномалыми), из неравенства || ≤ 2 получаем, что для малых выполнены неравенства ′ + − (1 + ( + )2 ) > 0,|| ≤ (1 − ),т.е.
( (∆, )) не пересекает “верхнюю” компоненту множества (,+1 ). Рассуждая аналогично, получаем, что ( (∆, )) не пересекает “нижнюю” компоненту (,+1 ). Отсюдаследует условие (С7), и, принимая во внимание включение (2.3.22), получаем, что выполненоусловие (С6).Осталось проверить выполнение условий (С8) и (С9). Сначала рассмотрим условие (С9).Пусть точка = ( + , + ) принадлежит “верхней” компоненте (, ).
В этом случае|| ≤ (1 − ). Тогда -компонента точки () равна( + )(1 + ( + )2 ).Если ′ = (1 + 2 ) + , то проекция множества (,+1 ) на ось есть сегмент =[(1 + 2 ) + − ,(1 + 2 ) + + ].Выполнено тождество( + )(1 + ( + )2 ) − (1 + 2 ) − − == ( + )2 + (2 + 2 ) − .Ясно, что для достаточно малых значений || и (причем требуемая степень малости независит от значения ) выполнены неравенства( + )2 ≥ 2 (1 − )2|(2 + 2 )| ≤ ||(22 + 2 2 ) ≤ 2 /2.Отсюда следует, что найдется такая константа (не зависящая от , и ), что если ≤ 2 ,то проекция точки () на ось не принадлежит сегменту .Рассуждая аналогично для точки = ( + , − ), получаем, что выполнено условие(С9).Условие (С8) проверяется аналогично (С9).Принимая во внимание равенство = и соотношение (2.3.21), получаем требуемое.Доказательство теоремы завершено.
64Глава 3Отслеживание в случае кубическогокасания и в окрестности сепаратрисы3.1Отслеживание в окрестности сепаратрисыВведениеОдин из первых результатов о поведении двумерного диффеоморфизма в окрестностисепаратрисы, соединяющей две гиперболические неподвижные точки, получен в [22].
В этойработе рассматриваются диффеоморфизмы двумерной поверхности, имеющие две гиперболические периодические точки, обладающие тем свойством, что устойчивое многообразиеодной из них касается неустойчивого многообразия другой.Также отметим работу [23]. В ней исследуется вопрос о наличии слабого отслеживанияу Ω-устойчивого диффеоморфизма двумерного тора, имеющего две седловые неподвижные точки и , у которых одна из компонент связности () ∖ {} совпадает с однойиз компонент () ∖ {}. Необходимые и достаточные условия наличия свойства слабогоотслеживания выражаются в терминах арифметических соотношений между собственнымичислами () и ().В данном разделе мы исследуем вопрос об отслеживаемости псевдотраекторий в трубчатой окрестности сепаратрисы. Для упрощения изложения мы рассматриваем диффеоморфизм двумерной плоскости : R2 → R2 . Хорошо известно, что найдется такое > 0, что длялюбого > 0 существует конечная -псевдотраектория, которая расположена в трубчатойокрестности сепаратрисы и не может быть -отслежена точной (см., например, [5]).
Однако,если предположить что пошаговая ошибка dist( ( ),+1 ) псевдотраектории тем меньше,чем ближе точка расположена к сепаратрисе, то можно ожидать, что такая псевдотраектория отслеживается истинной. Мы используем подход, предложенный С. Тихомировым дляисследования проблемы отслеживания в окрестности нетрансверсальных гетероклиническихи гомоклинических траекторий. Он заключается в том, чтобы оценка на погрешность имела65вид:dist( ( ),+1 ) ≤ dist( , ) ,(3.1.1)где , > 0, через ⊂ R2 обозначена сепаратриса, а расстояние от точки до множестваопределяется по формулеdist( , ) = inf{dist( , ) | ∈ }.Отметим, что похожий подход был использован при исследовании свойства отслеживания вокрестности неизолированной неподвижной точки диффеоморфизма в работе [11], про которую велась речь в предыдущей главе.Вмодельномпримере(припредположении,чтодиффеоморфизм -линеаризуем в окрестности данных двух гиперболических неподвижных точек) мы1показываем, что:(a) если ≤ 1, то найдется такое > 0, что для каждого > 0 существует псевдотраектория, удовлетворяющая условию 3.1.1, которая не может быть -отслеженаточной;(b) если > 1, то найдутся такие > 0 и 0 > 0, что для любого ∈ (0,0 ) и длякаждой -псевдотраектории, удовлетворяющей 3.1.1, существует точка ∈ R2 , отслеживающая данную псевдотраекторию.Все результаты данного раздела опубликованы в статье [12].3.1.1Предположения о системеРассмотрим диффеоморфизм класса 2 двумерной плоскости, : R2 → R2 .Будем обозначать через и - и -координаты точки ∈ R2 , соответственно, т.е.
= ( , ).Предположим, что точки 1 = (0,0) и 2 = (1,0) — неподвижные гиперболические точкиседлового типа для диффеоморфизма . Предположим также, что найдутся окрестности 1и 2 точек 1 и 2 соответственно, в которых диффеоморфизм линеен, т.е. (,) = (1 ,1 ),(,) ∈ 1 , (,) = (2 ( − 1) + 1,2 ),где 1 ,2 ∈ (0,1), 2 ,1 ∈ (1,∞).(,) ∈ 2 ,(3.1.2)(3.1.3)66Мы предполагаем, кроме того, что = [0,1] × {0} ⊆ (1 ) ∩ (2 ),(3.1.4)т.е. отрезок является сепаратрисой, соединяющей точки 1 и 2 .На плоскости R2 мы введем метркикуdist((,),(′ , ′ )) = max{| − ′ |,| − ′ |}.Пусть ∈ R2 , > 0. Положим(,) = {(,) ∈ R2 | dist((,),) < }.Пусть число ∈ (0,1) таково, что ( , 2) ⊆ , = 1,2.Рассмотрим множество () = (,) ∩ {(,) ∈ R2 | ∈ [0,1]},где (,) — -окрестность сепаратрисы.
Уменьшая, если нужно, константу , можем считать, что если для точки ∈ () ∖ (1 ,),при некотором ∈ N выполнены включения (), . . . , () ∈ (),то () ∈/ (1 ,), = 1, . . . , .Ясно также, что при достаточно малом > 0 найдется такое число ∈ N (не зависящее отвыбранной точки ), что если ≥ , то для ∈ () ∖ (1 ,) выполнено включение () ∈ (2 ,).Запишем в соответствии с координатами в R2 в виде (,) = ( (,), (,)).Из включения (3.1.4) следует, что () = .
Таким образом,( ) (,0) = 0,для любого ∈ [0,1] = 1, . . . , + 1,(3.1.5)67Поскольку отображение дифференцируемо, то из (3.1.5) следует, что найдется такаяконстанта 1 > 0, что для всех (,) ∈ (), таких что ∈ [0,1], верны неравенства|( ) (,)| ≤ 1 ||, = 1, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
