Диссертация (1150880), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

= 0, . . . , ,42Глава 2Функции Ляпунова, свойствоотслеживания и топологическаяустойчивостьПо большей части, стандартные подходы к исследованию динамических систем позволяют доказать наличие свойств отслеживания для диффеоморфизмов с гиперболическимповедением траекторий (например, как уже было отмечено во введении, для диффеоморфизмов свойство липшицева отслеживания эквивалентно структурной устойчивости).Упомянем также работы [9], [18], содержащие методы доказательства наличия свойстваотслеживания у негиперболических систем.Результаты, изложенные в данной главе, содержатся в работах [19], [11].2.1Ляпуновские функции и отслеживаниеПусть — гомеоморфизм метрического протранства (,dist).Наша цель в данном разделе — дать достаточные условия, при которых гомеоморфизмкомпактного метрического пространства обладает конечным свойством отслеживания.

В наших условиях мы используем аналоги функций Ляпунова.Сформулируем основное предположение.Мы предполагаем, что пространство компактно и существуют такие две неотрицательные функции и , заданные на замкнутой окрестности диагонали × , что (,) = (,) = 0 для всех ∈ , и что выполнены условия (C1)-(C9), сформулированныениже. В дальнейшем мы также предполагаем, что аргументы функций и достаточноблизки друг к другу, так что значения функций и определены.Мы формулируем условия (C1)-(C9) в терминах геометрических объектов, порожденныхфункциями и (а не в терминах самих функций и ). Основной причиной для выборатакой формы условий является тот факт, что в точности таким образом сформулированные43условия используются при доказательстве наличия свойства отслеживания, и что в такомвиде эти условия можно легко проверить для конкретных функций и (см.

примеры вконце раздела).Фиксируем положительные числа , > 0 и точку ∈ . Положим (,,) = { ∈ | (,) ≤ , (,) ≤ },(,,) = { ∈ (,,) | (,) = }, (,,) = { ∈ (,,) | (,) = 0}.Обозначим через (,) открытый шар радиуса > 0 с центром в точке , т.е.(,) = { ∈ | dist(,) < }.ПоложимInt0 (,,) = { ∈ (,,) | (,) < , (,) < }, 0 (,,) = (,,) ∪ { ∈ (,,) | (,) = },Int0 (,,) = { ∈ (,,) | (,) = , (,) < }.Сформулируем условия (C1)-(C4), в которых содержатся предположения о геометриимножеств, введенных выше.(C1) Для любого > 0 найдется такое число ∆0 = ∆0 () > 0, что включение (∆0 ,∆0 ,) ⊂ (,)выполнено для всех ∈ .Найдется такая константа ∆1 > 0, что для любой точки ∈ и любых положительныхчисел 1 ,2 ,∆ < ∆1 и 2 < ∆ найдется такое число = (1 ,2 ,∆) > 0, что(C2) множество (1 ,2 ,) не является ретрактом (1 ,2 ,);(C3) (1 ,2 ,) является ретрактом (1 ,2 ,) ∖ (1 ,2 ,);(C4) существует ретракция : (1 ,∆,) → (1 ,2 ,),обладающая следующим свойством: если (,) ̸= 0, то ((),()) ̸= 0 для ∈ (,∆,).В следующей группе условий мы сформулируем наши предположения о поведении введенных выше множеств и их образов под действием гомеоморфизма .Мы предполагаем, что для любого ∆ < ∆1 найдутся такие положительные числа 1 ,2 <∆, что для всех ∈ выполнены следующие соотношения:(С5) ( (1 ,2 ,)) ⊂ Int0 (∆,∆, ()),44 −1 ( (1 ,2 , ())) ⊂ Int0 (∆,∆,);(C6) ( (1 ,2 ,)) ⊂ Int0 (1 ,2 , ());(C7) ( (1 ,∆,)) ∩ (1 ,2 , ()) = ∅;(C8) ( (1 ,2 ,)) ∩ 0 (1 ,2 , ()) ⊂ Int0 (1 ,2 , ());(C9) ((1 ,∆,)) ∩ (1 ,2 , ()) = ∅, где(1 ,∆,) = { ∈ (∆,∆,) | (,) ≥ 1 }.Сформулируем основной результат этого раздела.Теорема 7.

Предположим, что гомеоморфизм удовлетворяет условиям (C1)-(C9). Тогда обладает конечным свойством отслеживания.В доказательстве данного утверждения нам потребуются следующие две леммы.Для их формулировки нам также потребуется ввести еще одно условие (буква в этомусловии используется в том числе и потому, что данное условие по сути является дискретнымвариантом хорошо известного принципа Важевского из теории дифференциальных уравнений).Пусть ,′ ∈ , и 1 ,2 > 0. Будем говорить, что выполнено условие (1 ,2 ,,′ ), еслиимеют место включения ( ) ∩ 0 ′ ⊂ ′ ,(2.1.1) () ∩ ′ = ∅,(2.1.2)и множество является ретрактом множетсва = 1 ∪ −1 (′ ),где = (1 ,2 ,), = (1 ,2 ,), ′ = (1 ,2 ,′ ), ′ = (1 ,2 ,′ ), и 1 = ∖ −1 (Int0 ′ ).Лемма 7.

Пусть положительные числа 1 ,2 < ∆ удовлетворяют условиям (C4)-(C9).Пусть = min(1 ,2 ). Тогда найдется такое положительное число = (), что еслиdist(′ , ()) < , то выполнено условие (1 ,2 ,,′ ).Доказательство. В ходе рассуждений мы будем несколько раз уменьшать константу (каждый раз малость будет определяться исключительно величиной ).Из условия (C6), компактности окрестности диагонали произведения × , на которойзаданы функции и , и непрерывности следует, что существуют такие положительныечисла 1 < 1 и 2 < 2 , что из включения ∈ ( (1 ,2 ,)) следуют неравенства (, ()) ≤ 1 , (, ()) ≤ 2 .45Откуда следует, что найдется такое число = (), что из неравенстваdist(′ , ()) < (2.1.3)следует, что (,′ ) < 1 и (,′ ) < 2 , или, что то же самое, что выполнено включение ( (1 ,2 ,)) ⊂ Int0 ′ .(2.1.4)Рассуждая аналогично, получаем также, что из условия (C5) следует наличие такогоположительного = (), что при выполнении неравенства (2.1.3) имеют место включения ( ) ⊂ (∆,∆,′ ),(2.1.5) −1 ( ′ ) ⊂ (∆,∆,).(2.1.6)В частности, из включения (2.1.6) следует, что −1 (′ ) ⊂ (∆,∆,).(2.1.7)Покажем, что найдется такое = (), что если неравенство (2.1.3) выполнено, то −1 (′ ) ⊂ (1 ,∆,).(2.1.8)Поскольку множество := (1 ,∆,) компактно, то из условия (C9) следует наличиетакого числа 3 > 0, что если ∈ , тоmax( ( (), ()) − 1 , ( (), ()) − 2 ) ≥ 3 .Откуда следует, что найдется такое число = (), что если выполнено неравенство (2.1.3),тоmax( ( (),′ ) − 1 , ( (),′ ) − 2 ) > 0для ∈ .

Последнее неравенство также влечет, что выполнено соотношение (2.1.2) и () ∩′ = ∅. Таким образом, включение (2.1.8) следует из (2.1.7).Очевидно, что из условия (C8) и включения (2.1.5) следует, что найдется такое = (),что из неравенства (2.1.3) следует включение (2.1.1).Аналогично, из условия (C7) следует, что найдется такое число 4 > 0, что для ∈ −1 ()выполнено неравенство (,) ≥ 24 .Следовательно, найдется такое = (), что если неравенство (2.1.3) выполнено, то (,) ≥4 для всех ∈ −1 (′ ).46Из условия (C4) следует, что найдется такая ретракция : (1 ,∆,) → (1 ,2 ,),что выполнены включения(2.1.9) ((),) ≥ 3 , ∈ −1 (′ ).Множество = ( −1 (′ ))компактно, и неравенство (2.1.9) влечет соотношение(2.1.10) ∩ (1 ,∆,) = ∅.По условию (C3) найдется ретракция 0 множества ∖ (1 ,2 ,) на .

Из соотношений(2.1.4) и (2.1.10) следует, что1 ∪ ⊂ ∖ (1 ,2 ,).Следовательно, ограничение = 0 ∘ на является требуемой ректракцией → . Лемма 8. Пусть точки 0 , . . . , ∈ удовлетворяют условию (1 ,2 , ,+1 ) для =0, . . . , − 1. Тогда найдется такая точка ∈ (1 ,2 ,0 ), что () ∈ (1 ,2 , ) для =1, . . . , .Доказательство. Рассмотрим множества = (1 ,2 , ) ∖⋂︁ −(−) (Int0 (1 ,2 , )), = 0, .

. . , − 1.=+1Как следует из неравенства (2.1.2), ((1 ,2 , )) ∩ (1 ,2 ,+1 ) = ∅.Откуда мы получаем, что(1 ,2 , ) ⊂ .Мы утверждаем, что существуют ретракции : → (1 ,2 , ), = 0, . . . , − 1.Этого будет достаточно для доказательства леммы, поскольку существование ретракции 0влечет соотношение⋂︁=0 − (Int0 (1 ,2 , )) ̸= ∅47(в противном случае, найдется ретракция (1 ,2 ,0 ) на (1 ,2 ,0 ), что невозможно в силуусловия (C3)).Существование −1 очевидно, т. к. в силу условия (1 ,2 ,−1 , ) существует ретракция−1 ∪ −1 ((1 ,2 , )) → (1 ,2 ,−1 ).Предположим, что существование ретракций +1 , .

. . , −1 доказано. Докажем, что существует ретракция .Для краткости введем обозначения = (1 ,2 , ), = (1 ,2 , ), +1 = (1 ,2 ,+1 ), +1 = (1 ,2 ,+1 ).Отметим также, что из определения множеств следует, что ∩ −1 (+1 ) ⊂ −1 (+1 ).(2.1.11)Зададим отображение на множестве по формуле() = −1 ∘ +1 ∘ (),() = , ∈ ∩ −1 (+1 ), ∈ ∖ −1 (+1 ).Из включения (2.1.11) следует, что отображение задано корректно.Покажем, что это отображение непрерывно. Очевидно, достаточно показать, что+1 () = для ∈ ( ∩ −1 ( 0 +1 )).

Для этого отметим, что выполнены соотношения+1 () = , ∈ +1 , ( ∩ −1 ( 0 +1 )) = ( ) ∩ 0 +1 ⊂ ( ) ∩ 0 +1 ⊂ +1 .В последнем соотношении мы учли включение (2.1.1).Очевидно, отображает в множество[︀]︀ ∖ −1 (+1 ) ∪ −1 (+1 ).(2.1.12)Из условия (1 ,2 , ,+1 ) следует, что найдется ретракция множества (2.1.12) на .Осталось заметить, что по условию (2.1.2) () = для ∈ .Таким образом, = : → — требуемая ретракция. Лемма доказана. Для завершения доказательства основной теоремы раздела, рассмотрим произвольное > 0.

Характеристики

Список файлов диссертации