Диссертация (1150880), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Из (3.2.21) получаем соотношение(̃︀+,̃︀) − (̃︀,̃︀) =2(︃(︂)︂2 (︂)︂3 )︃+3̃︀2+ 3̃︀+222(3.2.23)+Ψ(̃︀̃︀ + ,̃︀) + ̃︀̃︀∆Ψ(̃︀,̃︀) + ̃︀2 ∆Φ(̃︀,̃︀),2где,̃︀) − Ψ(̃︀,̃︀),2∆Φ(̃︀,̃︀) = Φ(̃︀+,̃︀) − Ψ(̃︀,̃︀).2∆Ψ(̃︀,̃︀) = Ψ(̃︀+Уменьшая 0 , если нужно, можем считать, что|∆Ψ(,)| ≤ 1, |∆Φ(,)| ≤ 1при (,) ∈ (). ПоложимM = ′ max |Ψ(′ )|. ∈ ()Отсюда, учитывая (3.2.22) и (3.2.23), получаем оценку 3 3 3 M(̃︀+,̃︀) − (,) ≥−− 3 − 4 =2642(︂ 3)︂3=− M − − ,64откуда, увеличивая > 0 (где величина зависит только от констант M и C), получаем,наконец, неравенство(̃︀+,̃︀) − (,) ≥ C3 ,290что и требовалось.В подслучае (X2) рассуждения аналогичны.
Покажем, для примера, что выполнено неравенство (3.2.19). Вновь, как и в случае (X1), мы можем оценить,̃︀) − (̃︀,̃︀) =(̃︀+2(︃(︂)︂2 (︂)︂3 )︃3̃︀2+ 3̃︀++222Ψ(̃︀̃︀ + ,̃︀) + ̃︀̃︀∆Ψ(̃︀,̃︀) + ̃︀2 ∆Φ(̃︀,̃︀) ≥2 3 3 ̃︀2 3 M≥+−− |̃︀||̃︀| − 4 =64162)︂(︂)︂(︂ 3M|̃︀|3−− + |̃︀|− |̃︀| .=64216+(3.2.24)Поскольку |̃︀| > , мы можем оценить|̃︀| 2 2− |̃︀| ≥− 2 ≥ 0,1616при 2 ≥ 16 (увеличиваем , если это не так). Подставляя полученное неравенство в (3.2.24),вновь получим неравенства(̃︀+,̃︀) − (̃︀,̃︀) ≥)︂(︂ 2 3M3−− ≥ C3 ,≥642что и требовалось.Доказательство пункта 4Пусть 1 = 2 = 4, 2 = 1 = 41 , = 2 12 , 1 = (−4, − 2) × (−1,1), 2 = (2,4) × (−1,1), = (− 13 , 31 ) × (−1,1), =1.12Положим(,) =||||12(2 + 2 ) · | log ||| · | log |||,, ̸= 0,(,0) = 0,(0,) = 0.Ясно, что функция обладает классом гладкости 1 .В качестве функции (,) возьмем(,) = + 3 +||||12(2 + 2 ) · | log ||| · | log |||.91Несложно построить диффеоморфизм : R2 → R2 , удовлетворяющий условиям (d1)-(d4)с заданными нами параметрами.Мы покажем, что такой диффеоморфизм не обладает гельдеровым свойством отслеживания с показателями Гельдера ∈ ( 41 ,1].Предположим противное.
Тогда найдутся такие константы ,0 > 0 и > 0, что для любого ∈ (0,0 ) любая 4− -псевдотраектория может быть -отслежена точной. Мы построимпсевдотраекторию, для которой это не так.Ясно, что для достаточно большой константы > 0 и достаточно малого ∈ (0,0 )выполнено неравенство4−(︂− 43−+ 4−)︂>44−.Зададим псевдотраекторию по следующему правилу:0 = (0,3−),− = − (0 ),4−1 = (0 ) + (0,1 3−+ 4− ),) = (2 ,2 = −1 (1 ),Ясно,чтопостроеннаянами ∈ N, ∈ N.последовательность={ }∈Zявляется4− -псевдотраекторией, причем эта псевдотраектраектория состоит из двух кусков точнойтраектории с одним скачком в точке 1 .Предположим теперь, что нашлась точка ∈ R2 , -отслеживающая , т.е.
удовлетворяющая неравенствамdist( (), ) ≤ .(3.2.25)Уменьшая, если нужно > 0, мы можем применить лемму 12 к системе −1 и точке 0 ик системе и точке 1 , соответственно. Откуда получаем следующие соотношения (отметим,что в обоих случаях = 4, =+ (,0 ,−11):12{︂[︂ 3−]︂}︂1924− 3− 1924−) = (,) | || ≤ , ∈−,+,11+ (,1 , ) ={(,) ∈ R2 | ∈ [2 − ,2 + ],22[︂ 3−]︂3−4−4−∈+ − 1921 ,+ + 1921 },3−где 1 = (1 ) = ( + 4− ).92Мы покажем, что выполнено соотношение (+ (,0 , −1 )) ∩ + (,1 , ) = ∅,что противоречит включениям ∈ + (,0 , −1 ), () ∈ + (,1 , ),которые также следуют из леммы 12 и соотношений (3.2.25).Так, пусть (,) ∈ + (,0 , −1 ).
Для краткости запишем = ,=1924−3−+,(3.2.26)3−+ 4− − 1921(3.2.27)где ||,|| ≤ 1. Мы покажем, что(,) <для всех таких точек (,), откуда следует, что (,) ∈/ + (,1 , ), что и требуется. Длядоказательства (3.2.27) мы вычтем из правой части неравенства левую и оценим:3−+ 4− − 1921 − (,) =(3.2.28)3−=4−33 3− 1921 − +4−||| + 192|12(2 + 2 ) · | log ||| · | log |||>3−4−>3|| 23 3− 1921 − || +3−1(()2 + ( 2 )2 ) 2 · | log ||| · | log |||.Здесь мы уменьшили числитель последней дроби, и увеличили знаменатель, принимая вовнимание неравенство || ≤ 1 и оценки3− 1924−3−−>,2и1924−3−≤,которые выполнены при достаточно большом и достаточно малом .Уменьшая и увеличивая , мы также можем считать, что выполнено неравенство1−1192≥ .293Продолжим оценку (3.2.28):4−4−3|| 23 3− 1921 − || +3−1(()2 + ( 2 )2 ) 2 · | log ||| · | log |||=(︃)︃)︂192 + ||3 3 −3 +≥= 4− 1 −12−(()2 + ( 2 )2 ) 2 2 · | log ||| · | log |||(︃)︃4−+ ||3 3 −3 +≥.12−2(()2 + ( 2 )2 ) 2 2 · | log ||| · | log |||(︂Мы покажем, что(︃||3 3 −3 +)︃(()2+12−( 2 )2 ) 2 2· | log ||| · | log |||≥ 0,откуда и следует требуемая оценка.Отметим, что при малом выполнено неравенство(()2 + (22− 2 1) ) 2 < 1,откуда мы можем оценить(︃||3 3 −3 +)︃2−1(()2 + ( 2 )2 ) 2 2 · | log ||| · | log |||3 3≥ || (︂− + 2 · | log ||| · | log |||3)︂Ясно, что при достаточно малом > 0 выполнено неравенство 2 | log ||| · | log |Отсюда и следует (3.2.29).
3−1924−1+|| ≤ 2 .≥(3.2.29)94ЗаключениеОсновные результаты работы заключаются в следующем.1. Показано, что никакое разумное определение 0 -трансверсальности не является необходимым для наличия свойства отслеживания у диффеоморфизмов, удовлетворяющихаксиоме А.2.
Приведены достаточные условия наличия свойства отслеживания у гомеоморфизмовкомпактного метрического пространства. Полученные методы могут быть примененыи к случаю негиперболических диффеоморфизмов.3. Показано, что значение показателя Гельдера гельдерова свойства отслеживания диффеоморфизма, удовлетворяющего аксиоме А, зависит не только от вида пересеченияустойчивого и неустойчивого многообразий, но и от класса гладкости данного диффеоморфизма.4.
Для диффеоморфизмов поверхностей, удовлетворяющих аксиоме А, но не удовлетворяющих условию 0 -трансверсальности, показано, что, несмотря на отсутствие у нихсвойства отслеживания ( [6]), диффеоморфизм может обладать свойством отслеживания с плавающей точностью.Таким образом, в данной работе была исследована связь между наличием свойства отслеживания и различными свойствами гомеоморфизмов и диффеоморфизмов (имеющимигеометрическую или топологическую природу).95Список литературы1.
Mañé R. A proof of the 1 stability conjecture // Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. —1988. — № 66. — С. 161–210.2. Pilyugin S. Yu., Tikhomirov S. Lipschitz shadowing implies structural stability //Nonlinearity. — 2010. — Т. 23, № 10. — С. 2509–2515.3. Robinson C. Structural stability of 1 diffeomorphisms // J. Differential Equations. — 1976.— Т. 22, № 1. — С. 28–73.4. Palmer K., Pilyugin S. Yu., Tikhomirov S. Lipschitz shadowing and structural stability offlows // J. Differential Equations. — 2012. — Т. 252, № 2. — С.
1723–1747.5. Pilyugin S. Yu. Shadowing in dynamical systems. — Springer-Verlag, Berlin, 1999. — Т. 1706из Lecture Notes in Mathematics. — С. xviii+271.6. Sakai K. Shadowing property and transversality condition // Dynamical systems and chaos,Vol. 1 (Hachioji, 1994). — World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1995. — С. 233–238.7. Pilyugin S. Yu., Sakai K. 0 transversality and shadowing properties // Tr.
Mat. Inst.Steklova. — 2007. — Т. 256, № Din. Sist. i Optim. — С. 305–319.8. Петров А. Отслеживание в случае нетрансверсального пересечения // Алгебра и Анализ.— 2015. — Т. 27, № 1. — С. 149–177.9. Lewowicz J. Lyapunov functions and topological stability // J. Differential Equations.
— 1980.— Т. 38, № 2. — С. 192–209.10. Petrov A. A., Pilyugin S. Yu. Multidimensional 0 transversality // J. Math. Anal. Appl. —2015. — Т. 424, № 1. — С. 696–703.11. Petrov A. A., Pilyugin S. Yu. Shadowing near nonhyperbolic fixed points // Discrete Contin.Dyn.
Syst. — 2014. — Т. 34, № 9. — С. 3761–3772.12. Петров А. Отслеживание в окрестности сепаратрисы // электронный журнал ”Диффе-ренциальные Уравнения и Процессы Управления“ . — 2013. — № 3.9613. Smale S. Differentiable dynamical systems // Bull. Amer. Math. Soc. — 1967. — Т.
73. —С. 747–817.14. Pilyugin S. Yu. Spaces of dynamical systems. — De Gruyter, Berlin, 2012. — Т. 3 из DeGruyter Studies in Mathematical Physics. — С. xvi+229.15. Palis J. On the 1 Ω-stability conjecture // Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. — 1988. —№ 66. — С. 211–215.16. Katok A., Hasselblatt B. Introduction to the modern theory of dynamical systems.
—Cambridge University Press, Cambridge, 1995. — Т. 54 из Encyclopedia of Mathematics andits Applications. — С. xviii+802. — With a supplementary chapter by Katok and LeonardoMendoza.17. Hirsch M. Differential topology. — Springer-Verlag, New York, 1994. — Т. 33 из GraduateTexts in Mathematics. — С. x+222. — Corrected reprint of the 1976 original.18. Kennedy J., Yorke J. Shadowing in higher dimensions // Differential equations, chaos andvariational problems. — Birkhäuser, Basel, 2008.
— Т. 75 из Progr. Nonlinear DifferentialEquations Appl. — С. 241–246.19. Petrov A. A., Pilyugin S. Yu. Lyapunov functions, shadowing and topological stability //Topol. Methods Nonlinear Anal. — 2014. — Т. 43, № 1. — С. 231–240.20. Walters P. On the pseudo-orbit tracing property and its relationship to stability // Thestructure of attractors in dynamical systems (Proc. Conf., North Dakota State Univ., Fargo,N.D., 1977). — Springer, Berlin, 1978. — Т. 668 из Lecture Notes in Math. — С. 231–244.21.
Hurley M. Combined structural and topological stability are equivalent to Axiom A and thestrong transversality condition // Ergodic Theory Dynam. Systems. — 1984. — Т. 4, № 1. —С. 81–88.22. de Melo W. Moduli of stability of two-dimensional diffeomorphisms // Topology.
— 1980. —Vol. 19, no. 1. — Pp. 9–21.23. Пламеневская О. Слабое отслеживание для двумерных диффеоморфизмов // ВестникС.-Петерб. ун-та. Вып. 1. — 1999. — С. 49–56.24. Tikhomirov S. Hölder shadowing on finite intervals // Ergodic Theory and Dynamical Systems.— 2015. — 3. — Т. FirstView. — С. 1–17..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
