Диссертация (1150840)
Текст из файла
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиУДК 514.822ШЕЙКИН АНТОН АНДРЕЕВИЧСТРУКТУРА РЕШЕНИЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ,ОСНОВАННОЙ НА ИЗОМЕТРИЧЕСКИХВЛОЖЕНИЯХСпециальность 01.04.02 —«Теоретическая физика»Диссертация на соискание учëной степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:к.ф.-м.н., доцентПастон С.
А.Санкт-Петербург — 2015ОглавлениеВведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Явные вложения римановых метрик . . . . . . . . . . . . . .1.1 Мотивация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Симметрийный анализ возможности вложения статическихчерных дыр .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.1 Метод построения вложений симметричных метрик1.2.2 Построение представлений группы (3) × 1 . . .1.3 Возможные вложения метрики Шварцшильда . . . . . . .1.4 Вложения метрики Шварцшильда . . . . . . . . . . . . . .1.4.1 Эллиптическое вложение . . . . . . . . . . . . .
. .1.4.2 Параболическое вложение . . . . . . . . . . . . . . .1.4.3 Гиперболическое вложение . . . . . . . . . . . . . .1.4.4 Экспоненциальное вложение . . . . . . . . . . . . .1.4.5 Спиральное вложение . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4.6 Кубическое вложение . . . .
. . . . . . . . . . . . .1.5 Вложение метрики Коттлера . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6 Вложения метрики Райсснера-Нордстрема . . . . . . . . .1.6.1 Общие соображения . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6.2 Классификация известных вложений метрикиРайсснера-Нордстрема . . . . . .
. . . . . . . . . . .1.6.3 Новые глобальные минимальные вложения метрикиРайсснера-Нордстрема . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6.4 Спиральное вложение . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6.5 Экспоненциальное вложение . . . . . . . . . . . . .1.6.6 Кубическое по времени вложение .
. . . . . . . . .1.7 Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24. 13. 13..............1616182228313233353739404444. 45.....48495253542 Теория гравитации на базе вложений и поле точечной массы2.1 Уравнения Редже-Тейтельбойма . . . .
. . . . . . . . . . . .2.1.1 Канонический формализм . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.2 Степени свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.3 Линеаризация уравнений Редже-Тейтельбойма . . . .2.1.4 Бескоординатная формулировка . . . . . . . . . . . .2.1.5 Неэнштейновская динамика . .
. . . . . . . . . . . . .2.2 «Лишние решения» уравнений Редже-Тейтельбойма . . . . .2.3 Уравнения Редже-Тейтельбойма со статическим сферически симметричным источником . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Уравнения Редже-Тейтельбойма во фридмановском приближении . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1 Мотивация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2 Уравнения Редже-Тейтельбойма во фридмановском приближении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3 Динамика лишних решений в эпоху лямбда-члена . . . . .3.4 Динамика лишних решений после инфляции .
. . . . . . .565659606163656769. 75. 75. 79. 86. 92Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013ВведениеАктуальность темыНа протяжении многих десятилетий задача о квантовании гравитацииостается камнем преткновения для теоретической физики. Общая теорияотносительности Эйнштейна, которая на сегодняшний день, бесспорно,является лучше всего изученной теорией гравитационного взаимодействия, дает очень хорошее согласие с экспериментом и позволяет объяснить огромное множество физических явлений при очень небольшомколичестве исходных предположений.
Однако при попытках ее квантования неизбежно возникновение крайне серьезных технических и методологических трудностей (детальное обсуждение проблем квантования гравитации и различных подходов к их решению можно найти в обзоре [1]).Многие из них возникают в первую очередь потому, что общая теория относительности является динамической теорией пространства-времени, ипо самому ее построению в ней отсутствуют необходимые для квантования объекты, в частности, выделенная ось времени, необходимая для построения гамильтонова формализма. С отсутствием выделенной оси времени связана также проблема энергии гравитационного поля — гамильтониан сводится к связям, а ненулевой вклад дают только поверхностныечлены. Отсутствует также фиксированная фоновая метрика, необходимаядля записи канонических коммутационных соотношений.
С ее отсутствием связана проблемы причинности в квантовой гравитации: мы не можемопределить, связаны ли причинно две области пространства-времени, потому что в определение квадрата интервала входит метрика, которая самаявляется квантовым оператором.По этим причинам представляется интересным изучение альтернативных формулировок теории гравитации, свободных от вышеперечислен4ных трудностей. В качестве основного объекта изучения предполагаетсярассмотреть теорию Редже-Тейтельбойма — теорию гравитации, основанную на изометрических вложениях.Эта теория также достойна внимания в связи с экспериментально обнаруженными отклонениями астрофизических и космологических данных от предсказаний ОТО Эйнштейна.
Напомним, что в современнойкосмологии существуют две главных проблемы: объяснение скрытой массы во вселенной и кривых вращения галактик — т.н. проблема темнойматерии, и объяснение ускоренного расширения вселенной и параметровэтого ускорения — проблема темной энергии [2]. В рамках теории Эйнштейна эти явления не находят удовлетворительного описания, и в силуэтого разумно искать объяснения в расширенных теориях. Структура решений уравнений Редже-Тейтельбойма такова, что допускает расширениеэйнштейновской динамики; это позволяет искать объяснение вышеупомянутым феноменам в рамках соответствующей теории.Разработанность темыСвойства поверхностей, вложенных в некоторое объемлющее пространство, начали изучаться достаточно давно, начиная с пионерских работ Гаусса и Римана.
Вложения быстро нашли себе применение в различных аспектах геометрии. Сразу после опубликования трудов Римана геометр Л. Шлефли, изучавший возможность вложения римановыхпространств, предположил, что локальное изометрическое вложение мерного пространство возможно в риманово пространство размерности( + 1)/2. Доказательство этой теоремы для двумерных аналитическихметрик было получено М. Жане [3] в 1926, а для произвольных -мерныхметрик Э.
Картаном [4] в 1927 году. Фридман [5] обобщил эту теоремуна случай псевдоримановых пространств:Теорема Фридмана. Произвольное n-мерное (псевдо)риманово пространство может быть локально изометрически вложено в произвольное объемлющее (псевдо)риманово пространство размерности≥( + 1)25(1)и подобающей сигнатуры.Существуют также теоремы, обеспечивающие существование глобального изометрического вложения при ≥ (3 + 11)/2 для компактных многообразий и при ≥ ( + 1)(3 + 11)/2 для некомпактных,см. [6], и гипотеза, согласно которой произвольное ∞ риманово многообразие с ∞ метрикой может быть глобально изометрически вложено впсевдоевклидово пространство с = (4 + 5).
Интересно отметить,что это предположение приводит к = 26 для двумерного многообразия— результат, свидетельствующий о выделенности этого числа измеренийдля квантованной бозонной струны, которая, как известно, свободна отаномалий только в 26-мерном пространстве.При вложении риманова многообразия метрика становится индуцированной и выражается формулой () = () ()¯ ,(2)где , = 0 . . . , ¯ — метрика объемлющего пространства размерности , так что , = 0 . .
. − 1. Глядя на эту формулу, можно легко понятьтеорему Фридмана: в самом деле, метрика произвольного многообразия— симметричный тензор × , имеющий ( + 1)/2 независимых компонент, следовательно, в общем случае вектор () должен иметь какминимум ( + 1)/2 компонент.Помимо чисто математических задач, вложение со временем началостановиться рабочим инструментом и для физиков.
Открытие геометрической структуры пространства-времени сделало возможным свестиизучение динамики тел в терминах некоторого мирового многообразия,вложенного в объемлющее пространство-время. Для частицы это одномерная кривая — мировая линия, для одномерного объекта — двумерныйлист и т.д. Формализм Арновитта-Дезера-Мизнера, построенный в началешестидесятых годов [7], позволил трактовать гравитацию как динамикутрехмерной поверхности, вложенной в (3+1)-мерное пространство-время.Дальнейшее развитие идеи АДМ получили в геометродинамике Уилера [8]: расширении ОТО, в основе которого лежало предположение о том,что не кривизна пространства порождается массивными источниками, амасса — кривизной.6Еще один шаг в этом направлении был сделан Редже и Тейтельбоймом в 1975 году.
Их подход изначально строился в рамках каноническогоформализма, с которым они к тому времени уже привыкли иметь дело— можно вспомнить вышедшую несколькими годами ранее статью [9],где исследовалась роль поверхностных интегралов в канонической формулировке ОТО. Стоит также отметить обзор [10], в котором описан канонический формализм для различных систем со связями, в том числе иОТО.В начале своей статьи [11] авторы обращают внимание на трудности,возникающие при каноническом квантовании общей теории относительности, как то: Корректная параметризация пространства-времени координатамизатрудняется калибровочной инвариантностью. Гамильтониан представляет собой сложную нелинейную конструк-цию, что влечет непреодолимые проблемы, связанные с упорядочением операторов. При выборе калибровочного условия «maximal slicing» = 0, обес-печивающего наиболее приемлемое 3+1-расщепление, не удаетсяинтерпретировать скобки Пуассона исходных переменных как коммутаторы, поскольку в их правую часть нетривиальным образомвходят -числа.Авторы также отмечают, что эти трудности не являются некоей частнойпроблемой ОТО, а присутствуют во многих теориях с репараметризационной инвариантностью времени.
Следовательно, разумно было бы изучить формализм аналогичных теорий, чтобы понять, каким образом в нихудается этих трудностей избежать.Незадолго до этого, в конце шестидесятых — начале семидесятых годов была разработана теория бозонной струны: теория двумерной поверхности, вложенной в многомерное объемлющее пространство-время Минковского. В этой теории успешно устраняются некоторые проблемы, аналогичные вышеуказанным, поэтому Редже и Тейтельбойм предположили,что описание гравитации в тех же терминах — терминах поверхности,7вложенной в объемлющее пространство-время — может иметь некоторыепреимущества над стандартным.Достигается это за счет того, что в качестве объемлющегопространства-времени может быть выбрано плоское пространство-времяМинковского, в полном соответствии с теорией бозонной струны.
Стоитотметить, что трактовка этого пространства для двух теорий различна. Втеории струн это физическое пространство-время, на фоне которого происходят наблюдаемые нами события, а в подходе Редже и Тейтельбойма — вспомогательная математическая конструкция, так что известнойпроблемы струнной теории — проблемы выбора бэкграунда — в подходеРедже-Тейтельбойма не возникает.Уравнения Редже-Тейтельбойма, как и обычные уравнения Эйнштейна, легче всего поддаются решению при наличии достаточной группысимметрии (достаточной для того, чтобы ДУЧП превратились в ОДУ).Среди решений с высокой симметрией наибольший физический интереспредставляют, разумеется, статические сферически-симметричные решения и модель Фридмана. Уравнения Редже-Тейтельбойма анализировались прежде всего в рамках симметрии таких типов.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
