Диссертация (1150840), страница 4
Текст из файла (страница 4)
При этом для слагаемого с = 1 должно быть = 0, а и либо оба равны нулю, либо одиниз них равен нулю, а другой единице.В последнем случае возникают два варианта, для которых представление записывается как1 = {1, 0, 0, 1}, 2 = {1, 0, 1, 0},(1.19)где набор чисел {. . .} (см. пункт 1.2.2) здесь и далее обозначает соответствующее этому набору представление . Функция вложения, соответствующая 1 , может быть записана в виде 0 = () sh( + ()) cos , 1 = () sh( + ()) sin cos , 2 = () sh( + ()) sin sin , 3 = () ch( + ()) cos ,(1.20) 4 = () ch( + ()) sin cos , 5 = () ch( + ()) sin sin .а для других в аналогичной форме, но с заменой гиперболических синусаи косинуса друг на друга.
При этом сигнатуру объемлющего простран23ства можно однозначно выбрать в виде (+ + + − −−). Для варианта 2функция вложения аналогична (1.20), но вместо гиперболических функций стоят обычные, а сигнатура соответствует евклидову пространству.Получить вложение метрики (1.18) в виде поверхности, соответствующей 1 или 2 не удается, поскольку имеется слишком мало произвольных функций (например, для 1 по формуле (1.17) из требования22 = −2 находим, что () = , после чего обеспечить соответствующий(1.80) вид 00 оказывается уже невозможно).
Поэтому можно заключить,что для вложений метрики Шварцшильда должно быть = {1, 0, 0, 0} ⊕ ,(1.21)где — прямая сумма представлений ˜ с = 0, суммарная размерностькоторых должна быть равна трем.Таким образом, мы получили следующие ограничения на функциювложения метрики 1.18:1. Представление подгруппы группы Пуанкаре, изоморфной (3) × 1 , должно быть прямой суммой представлений подгрупп группыПуанкаре, изоморфных (3) и 12.
Представление группы (3) должно быть фундаментальным векторным.3. Группа 1 должна быть реализована посредством сдвигов и/или поворотов в объемлющем пространстве, параметризованных .Эти требования фиксируют следующий вид функции вложения метрики(1.18): 0 = 0 (, ), 3 = cos , 1 = 1 (, ), 4 = sin cos , 2 = 2 (, ), 5 = sin sin .(1.22)Используя формулу (1.16), можно заключить, что при = 6 возможныхтипов зависимости от компонент 0,1,2 может быть семь.
Эти типы порождаются следующими представлениями :24 0 = {0, 1, 0, 0} ⊕ {0, 0, 0, 0} ⊕ {0, 0, 0, 0}, что, согласно структурегруппы Пуанкаре, означает реализацию симметрии посредствомтрансляций в объемлющем пространстве, 1 = {0, 0, 1, 0} ⊕ {0, 0, 0, 0} — симметрия реализована вращениямив евклидовой плоскости. В дальнейшем мы будем называть такойтип вложения эллиптическим. 2 = {0, 0, 0, 1} ⊕ {0, 0, 0, 0} — симметрия реализована вращениямив псевдоевклидовой плоскости (гиперболическое вложение), 3 = {0, 2, 0, 0} — симметрия реализована вращениями в галилеевойплоскости (параболическое вложение), 4 = {0, 0, 1, 0} ⊕ {0, 1, 0, 0} — симметрия реализована комбинациейвращений в евклидовой плоскости и трансляций (спиральное вложение) 5 = {0, 0, 0, 1} ⊕ {0, 1, 0, 0} — симметрия реализована комбинациейвращений в псевдоевклидовой плоскости и трансляций (экспоненциальное вложение) 6 = {0, 3, 0, 0} — симметрия реализована комбинацией вращений вгалилеевой плоскости и трансляций (кубическое вложение).Можно сразу заметить, что первый вариант непригоден для нашихцелей по тем же причинам, что и построенные выше представления 1и 2 — он не обеспечивает достаточного количества степеней свободы.В самом деле, функция вложения, определяемая таким представлениемподгруппы группы Пуанкаре, имеет вид 0 = 0 + ℎ0 (), 1 = 1 + ℎ1 (), 2 = 2 + ℎ2 (),(1.23)а компонента 00 индуцированной метрики оказывается постоянной, чтоделает невозможным построение поверхности с метрикой вида (1.18).Таким образом, для детального изучения у нас остается шесть представлений: евклидовы, псевдоевклидовы и галилеевы повороты, и они же,25комбинированные с трансляциями.
Теорема Фридмана также допускаетследующие три варианта сигнатур этих компонент: (+, −, −), (+, +, −) и(+, +, +). Очевидно, что при реализация симметрии посредством гиперболических или галилеевых поворотов требуется наличие в объемлющемпространстве направлений с разной сигнатурой, поэтому случай (+, +, +)возможен только при наличии евклидовых поворотов. Забегая вперед, отметим, что ни одного глобального вложения интересующих нас метрик стакой сигнатурой объемлющего пространства получить невозможно.
Будем поэтому считать, что сигнатуру трех первых измерений объемлющегопространства можно записать как (, −, −), где = ±1.Стоит отметить, что после определения вида зависимости от в функции вложения неизвестных функций от , согласно формуле (1.22), вообще говоря, остается три. Однако независимых компонент метрики в блоке(, ) всего две. Оставшаяся функция отражает наличие калибровочногопроизвола в определении координаты :′ = + ().(1.24)Этот произвол можно использовать для диагонализации метрики.
Выпишем здесь явный вид компонент 0,1,2 для описанных выше типов функции вложения, используя формулы (1.4) и (1.14).1. Эллиптическое вложение: 0 = ℎ()−1 , 1 = −1 () sin( + ()),(1.25) 2 = −1 () cos( + ()).Здесь и далее — константа размерности обратной длины, — безразмерная константа, , ℎ, — безразмерные функции r.262. Параболическое вложение:1 =√ℎ()2 + −1 () + ℎ()−1 ,2 2 1 = ℎ(),(︃)︃1 2−1−12ℎ() + () + ℎ(). =√2 20(︃)︃(1.26)3. Гиперболическое вложение: 0 = −1 () sinh(), 1 = −1 () cosh(),(1.27) 2 = ℎ()−1 ,или то же с перестановкой 0,1 .4. Экспоненциальное вложение: 2 = + ℎ()−1 , 1 = −1 () sinh( + ()),(1.28) 0 = −1 () cosh( + ())или то же с перестановкой 0,1 .5. Спиральное вложение: 0 = + ℎ()−1 , 1 = −1 () sin( + ()),(1.29) 2 = −1 () cos( + ()).6.
Кубическое вложение:1 ⎝ 2 23 3−1⎝⎠⎝+ 1 ℎ() + + ⎠⎠ ,= √ () + () +2622+ ℎ() + ()−1 ,(1.30)=2⎛⎛⎞⎛⎞⎞2 23 31 ⎝= √ ()−1 + () + ⎝− 1⎠ ℎ() + ⎝− ⎠⎠ .262⎛⎛01227⎞⎛⎞⎞Это громоздкое выражение можно упростить, заметив, что пара̃︀ Выражая вездеметр входит в него только в комбинации 2 = .̃︀ получаем общий множитель перед + и 1/ — перед через , − . Поскольку эти координаты являются светоподобными, такая ихзависимость от может быть устранена лоренцевым бустом в плоскости ( + , − ). Переобозначая для краткости ̃︀ = , получим)︁31 ⎝ 2 (︁√= + ℎ()−1 + () + ()−1 − ( + ℎ()−1 )⎠ ,2 6(︁)︁2= + ℎ()−1 + ()−1 ,(1.31)2 ⎛⎞)︁31 ⎝ 2 (︁=√ + ℎ()−1 + () + ()−1 − ( + ℎ()−1 )⎠ .62⎛012⎞Интересно, что задача о реализации трансляционной инвариантностипреобразованиями группы Пуанкаре объемлющего пространства неоднократно возникала при рассмотрении других физических проблем.
В частности, работа [33] посвящена нахождению всех стационарных траекторийчастиц в четырехмерном пространстве Минковского, т.е. таких, которыемогут быть переведены сами в себя преобразованиями Пуанкаре. В результате анализа типы таких траекторий оказываются идентичными найденным выше. Стоит отметить, однако, что при этом анализе теоретикогрупповые соображения не использовались, как не использовались они встатье Коллинсона [29], посвященной нахождению вложений гравитационных волн.1.4Вложения метрики ШварцшильдаМетрика Шварцшильда, как хорошо известно, задается соотношением22 −− 2 (2 + sin2 2 ), = 1 −1−2(︃)︃(1.32)где — радиус горизонта черной дыры, в случае метрики Шварцшильдаравный ее удвоенной массе 2 (мы используем геометрическую системуединиц = = 1).
Координаты, в которых метрика Шварцшильда имеет28такой вид, называются координатами кривизн. Будучи записана в координатах кривизн, метрика Шварцшильда имеет сингулярность при = ,однако эта сингулярность может быть устранена посредством перехода ккоординатам Эддингтона-Финкельштейна, в которых время заменяетсяна запаздывающее время :⃒⃒ + ln ⃒⃒⃒(︃ = −⃒)︃⃒− 1⃒⃒⃒ ,(1.33)а метрика приобретает вид = 1 −2 − 2 − 2 (2 + sin2 2 ).2(︃)︃(1.34)Видно, что в таком виде метрика уже не содержит сингулярности при = , которая, следовательно, является чисто координатной.В координатах Эддингтона-Финкельштейна, однако, перестает бытьявным важное свойство метрики Шварцшильда — стремление к метрикеМинковского при → ∞, т.е.
асимптотическая плоскостность. Существуют координаты, называемые координатами Гуллстранда-Пенлеве, сочетающие в себе оба этих достоинства. Запаздывающее время в них задаетсяформулой⃒)︃⃒⃒ + 1⃒⃒⃒⃒ ,−2 + ln ⃒⃒ − 1⃒(︃ = −(1.35)√︁где = /, а метрика имеет вид = 1 −2 − 2 − 2 − 2 (2 + sin2 2 ).2(︃)︃(1.36)Отметим, что существует целый класс подобных координатных систем —если запаздывающее время Эддингтона-Финкельштейна определить вместо (1.33) формулой⃒⃒ln ⃒⃒⃒(︃ = −⃒)︃⃒− 1⃒⃒⃒ ,(1.37)то метрика, задаваемая такими координатами (в некоторых источникахони тоже называются координатами Эддингтона-Финкельштейна) также29будет асимптотически плоской:2 = 2 − 2 − 2 (2 + sin2 2 ) +( − )2 .(1.38)Как можно видеть, координаты такого типа позволяют гладко покрытьокрестность горизонта черной дыры, чем отличаются от координат кривизн.
Известно, однако, что они покрывают не все многообразие, задаваемое соответствующими уравнениями Эйнштейна, и существует координатная сетка, покрывающая не только черную дыру и соответствующуюей вселенную, но и их дубликат — белую дыру и параллельную вселенную. Такие координаты, найденные Крускалом в 1957 году, могут бытьзаписаны в следующей форме:=⎧√︃⎪⎪⎪− 1 /2 sinh(/2)⎪⎨√︃⎪ /2⎪⎪⎪⎩ 1−cosh(/2)=⎧√︃⎪⎪⎪− 1 /2 cosh(/2)⎪⎨√︃⎪ /2⎪⎪⎪⎩ 1−sinh(/2)><(1.39)><причем выражается через и посредством неявной формулы / − = 1− ,22(︃)︃(1.40)а метрика имеет вид43 −/ − 2 − 2 (2 + sin2 2 ) + ( − )2 . =2(1.41)С помощью этих координат можно построить так называемую диаграммуКрускала — изображение проекции, соответствующей = = const.
Этадиаграмма изображена на рис. 1.1Римскими цифрами на диаграмме обозначены различные областимногообразия Шварцшильда: I — наша вселенная; II — черная дыра; III —белая дыра; IV — параллельная вселенная.30==II0I=IV=III0Рис. 1.1: Диаграмма КрускалаКонформное преобразование может перевести эту диаграмму в знаменитую диаграмму Пенроуза «бриллиант», описывающую глобальнуюструктуру метрики Шварцшильда (рис. 1.2).При построении явных вложений метрики Шварцшильда объектомнашего интереса будут главным образом вложения в объемлющее пространство с одним времениподобным направлением, гладко покрывающие горизонт, т.е. как минимум две области на диаграмме выше.1.4.1Эллиптическое вложениеПодставляя (1.25) в формулу для индуцированной метрики (2), можнополучить следующие выражения для компонент метрики:00 = − 2 ,11 = −1 − ( ′2 − ℎ′2 )/2 ,(1.42)где = ±1 в зависимости от сигнатуры объемлющего пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
