Диссертация (1150840), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Ихможно исключить строго в рамках теории возмущений (если для фонаdet Ω ̸= 0), а также в том случае, когда множество начальных данных,порождающих решения второго типа, является множеством меры ноль намножестве всех начальных данных. Строгое доказательство последнегоутверждения еще не было проделано.Также среди попыток устранения лишних решений следует отметить работы Л.Д. Фаддеева [69], в которых динамической переменнойобъявляется не функция вложения , а величина , в подходе РеджеТейтельбойма равная производной , так что уравнения поля не содержат дополнительного дифференцирования. Лишние решения в уравнениях поля, таким образом, отсутствуют, зато появляется кручение, поведение которого необходимо исследовать.Динамика теории вложения, таким образом, не может быть сведена кэйнштейновской без каких-либо дополнительных предположений, что изначально воспринималось как патология теории.
Действительно, до восьмидесятых годов прошлого века никаких наблюдательных данных, которые не укладывались бы в рамки общей теории относительности, неимелось. Это обстоятельство привело к тому, что в первоначальных исследованиях подхода Редже-Тейтельбойма на теорию накладывались т.н.эйнштейновские связи, фактически являющиеся частью уравнений Эйн-66штейна:⊥ = 0,(2.24)где значок ⊥ обозначает направление, ортогональное к поверхностям постоянного времени. В оригинальной статье [11] эти связи были наложеныad hoc, что, разумеется, не могло считаться удовлетворительным. Позднее было отмечено [61], что в ситуации общего положения достаточноналожить эти связи только на начальные условия, чтобы дальнейшая динамика автоматически была эйнштейновской.
Эта особенность уравненийРедже-Тейтельбойма лежит в основе результатов, которые будут подробно обсуждаться далее.2.2«Лишниерешения»уравненийРедже-ТейтельбоймаЗависимость наличия «лишних решений» уравнений РеджеТейтельбойма от начальных данных, можно легко понять на следующемигрушечном примере. Если в действии для гармонического осциллятора˙2 2 2 ⎠⎝−22⎞⎛=∫︁(2.25)сделать замену переменных () = ()˙ и считать новой () динамическойпеременной, то варьирование по ней приведет к уравнениям движения ⎝ 3 + 2 ⎠ = 0.3 ⎛⎞(2.26)Интегрируя это уравнение и переходя к старой переменной , видим, чтооно экувивалентно уравнению¨ + 2 = ,(2.27)где некоторая константа. Очевидно, что для полной эквивалентности данной теории гармоническому осциллятору достаточно потребовать,67чтобы уравнения движения для осциллятора выполнялись в какой-либомомент времени, тогда = 0 всегда.
В теории поля «лишними решениями» управляет не единственная константа, а некий набор сохраняющихсятоков, но общая ситуация остается той же — если эти токи зануляются вкакой-либо момент времени, законы сохранения обеспечат их равенствонулю во все другие моменты времени.Подобная ситуация имеет место и для уравнений РеджеТейтельбойма. Поскольку эти уравнения являются не обычнымидифференциальными уравнениями, а уравнениями в частных производных, структура «лишних решений» оказывается более сложной.
Какбыло показано в [61], при наложении эйнштейновских связей⊥ = 0,(2.28)на начальные данные (символ ⊥ означает направление, ортогональноеповерхностям начальных данных), эти связи будут выполняться во всепоследующие (или предыдущие) моменты времени. Аналогично, выполнение уравнений Эйнштейна в какой-то точке или области пространстваво все моменты времени означает, что уравнения Эйнштейна выполняются во всех областях пространства.В следующем пункте мы исследуем лишние решения уравненийРедже-Тейтельбойма именно с таких позиций — основной целью здесь является поиск условий, при которых лишние решения естественным образом строго исключаются из теории. Поскольку в общем виде это сделатьдостаточно сложно, ограничимся рассмотрением естественной задачи обуравнениях Редже-Тейтельбойма со статическим сферически симметричным источником.682.3Уравнения Редже-Тейтельбойма со статическим сферически симметричным источникомОчень кратко основную идею этого пункта можно сформулироватьследующим образом.
Если симметрия изучаемого вложения достаточновысока, то уравнения Редже-Тейтельбойма сводятся к ОДУ, и «лишнимирешениями» управляет набор констант (как в игрушечной модели (2.25)(2.27), обсуждавшейся выше). Эти константы можно обратить в ноль, потребовав выполнения уравнений Эйнштейна в начальный момент (еслирешается ОДУ по времени) или граничной точке (если решается ОДУ попространственному направлению), причем можно попрбовать взять граничную точку на бесконечности. В частности, если предположить, чтона пространственной бесконечности метрика стремится к плоской, тотам обращается в ноль, а значит выполняются вакуумные уравнения Эйнштейна, и при наличии достаточной симметрии можно доказатьих выполнение везде, т.е. отсутствие лишних решений.Проделаем такое доказательство для конкретного физически интересного вида симметрии.
Рассмотрим вопрос существования статическихсферически симметричных асимптотически плоских метрик, функциявложения которых решает вакуумные уравнения Редже-Тейтельбойма, ноне Эйнштейна, и описывает обладающую (3) ⊗ 1 симметрией четырехмерную поверхность в шестимерном объемлющем пространстве. Мырассматриваем именно шестимерное объемлющее пр-во, потому что любое четырехмерное риманово пр-во с такой симметрией может быть внего локально изометрически вложено [27]. Обсуждаемые метрики можно представить в виде2 = (1 − ())2 − (1 − ())2 − 2 Ω2 ,(2.29)где (), () — некоторые функции, стремящиеся к нулю при больших:lim () = 0,lim () = 0.→∞→∞69(2.30)Предположим, что в интересующей нас области горизонты событий отсутствуют, а значит в этой области (), () < 1.Обладающие симметрией (3)⊗ 1 и гладкие при всех в интересующей нас области функции вложения метрики (2.29) могут быть построены с помощью метода, описанного в предыдущей части. Для удобствачтения еще раз приведем здесь все шесть типов реализации симметрииметрики.1.
Эллиптический: 0 = ℎ(), 1 = () sin( + ()),(2.31) 2 = () cos( + ()).2. Гиперболический 0 = ℎ(), 1 = () sh( + ()),(2.32) 2 = () ch( + ()).3. Спиральный 0 = + ℎ(), 1 = () sin( + ()),(2.33) 2 = () cos( + ()).4. Экспоненциальный 0 = + ℎ(), 1 = () sh( + ()), 2 = () ch( + ()).70(2.34)5. Параболический2 = ℎ()2 + () + (),2 1 = () + ℎ(),+(2.35) − = ℎ()√(здесь и далее ± = ( 0 ± 2 )/ 2).6. Кубический2 =( + ℎ())3 + () + (),6 1 = ( + ℎ())2 + (),2− = + ℎ().+(2.36)Три оставшиеся компоненты ф. вл. для всех типов общие и имеют вид 3 = cos , 4 = sin cos , 5 = sin sin .(2.37)Здесь функции (), ℎ(), () связаны с функциями () и () уравнением (2.1), а и — константы.
Сигнатура объемлющего пространствадля каждого вложения должна быть выбрана так, чтобы вложение моглоцеликом покрыть область вне возможного горизонта и было симметричным; например, для спирального вложения сигнатура по направлениям 1,2 должна иметь один и тот же знак, а для экспоненциального — разные.Тензор Эйнштейна, построенный по диагональной метрике (2.29), также диагонален. Его независимыми компонентами можно считать 00 и11 , остальные либо равны нулю, либо выражаются через перечисленныепосредством следствий из тождеств Бьянки = 0.
Нам потребуетсяявный вид только компоненты 11 :11 ′ − (1 − ).=(1 − )(1 − )2 271(2.38)Преобразуем (при условии отсутствия материи) левую часть уравнения (2.4) при = 0, 1, 2, учитывая, что 0,1,2 не зависят от , для всехиспользуемых вложений, а также что диагонально и не зависит отвремени:√√√ ( − ) = − 00 02 + 1 ( − 11 1 ) = 0.(2.39)Прежде всего заметим, что для любого из рассматриваемых вложенийв каждой точке существует по крайней мере одна из компонент 0,1,2 ,для которой 02 не равно нулю.
Поэтому, если 11 везде равно нулю, то, вследствие (2.39) (в предположении ̸= 0), будет равно нулю и00 . А следовательно, вследствие тождества Бьянки, будут равны нулю ивсе другие компоненты , т.е. будут выполняться вакуумные уравненияЭйнштейна. Таким образом, для доказательства отсутствия в рассматриваемом случае лишних решений достаточно доказать, что 11 = 0 везде.Теперь воспользуемся тем, что для любого из рассматриваемых вложений существует одна из компонент 0,1,2 (обозначим ее через * ),для которой 02 * = 0.
Согласно используемым обозначениям для нее1 * = ℎ′ . Если положить = *, то из уравнения (2.39) следует, что:√1 ( − 11 ℎ′ ) = 0⇒√˜−11 ℎ′ = ,(2.40)где ˜ не зависит от . Используя выражение для детерминанта метрики = −(1 − )(1 − )4 sin2 (2.41)и формулу (2.38) можно заключить, что ˜ = sin , где = , послечего (2.40) можно переписать в виде′ √ℎ′ − (1 − )1 − (1 − )3/2= .(2.42)Рассмотрим вначале случай ̸= 0. Если это так, то левая часть уравнения (2.42) нигде не обращается в ноль и его в этом случае можно записать72в виде√1 − (1 − )3/2,ℎ =′ − (1 − )′(2.43)где была введена новая координата = ln , и замечено, что ′ () =′ ().
Возможны два варианта поведения функции на бесконечности:либо после некоторого значения (а значит, и ) эта функция монотонна, тогда с учетом (2.30) можно заключить, что lim ′ = 0, либо таких→∞значений не существует и после любого значения величина ′ бесконечное количество раз проходит через ноль. В обоих случаях существуетпоследовательность неограниченно возрастающих значений , значениявеличины ′ в которых стремится к нулю. Используя этот факт в (2.43) иснова учитывая (2.30), можно заключить, что величина ℎ′ должна неограниченно возрастать при → ∞.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
