Диссертация (1150840), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Этот факт, вместе со строгой положительностью выражения в скобках в знаменателе под интегралом в (1.82),означает гладкость функции () при > 0. Отсюда следует, что функциявложения (1.80) описывает поверхность, гладкую при всех > 0, поскольку () является гладкой функцией в этой области. Гладкость поверхности очевидна при использовании в качестве координаты на поверхностипараметра .
При переходе же к координате , в которой метрика соответствует интервалу (1.75), возникает координатная особенность, посколькусвязывающая и (см. (1.81)) функция ℎ() имеет логарифмические особенности на горизонтах = ± (потому что знаменатель под интеграломв (1.83) с точностью до множителя совпадает с 00 ).
Это приводит к тому,что при → + + 0 и → +∞ координата имеет конечный предел, а значит, на поверхности существует траектория, описывающая прохождениечастицы через внешний горизонт при падении на черную дыру. Если же → + + 0 и → −∞, то → −∞, следовательно 2 → −∞. Это означает,50r=0Vrr==r∞rr−II=r+rIVr=r=0VI=r−=rr+=∞I∞r=∞IIIРис. 1.6: Диаграмма Пенроуза метрики Райсснера-Нордстрёмачто при движении в прошлое по траектории, соответствующей вылету частицы из белой дыры, при данном вложении точка поверхности, соответствующая внешнему горизонту, оказывается на бесконечности.
Отметим,что точно такая же ситуация имеет место и для трех из шести вложенийметрики Шварцшильда, описанных выше. Также на бесконечности оказываются точки поверхности, соответствующие → 0, поскольку в этомпределе () → ∞, а эта функция задает радиусы спиралей, соответствующих фиксированным значениям , , .Таким образом, вложение (1.80) является глобальным (гладким привсех > 0), но оно покрывает не все области, соответствующие максимальному расширению метрики Райсснера-Нордстрёма. Покрываемаячасть показана на соответствующей диаграмме Пенроуза на рисунке 1.6.511.6.5Экспоненциальное вложениеТеперь воспользуемся видом функции вложения, даваемым формулой(1.28).
В результате тех же вычислений, что и в предыдущем пункте,получаем 0 = ,2 2 21 ⎝ −− 212 ⎠ + 2 ⎠2⎝− 1−, =+ 2 − 2⎛⎛⎞)︁)︁ ⎞(︁(︁22 2 12−−+⎝22 ⎠ ,2 =+ ⎝1 −+ 2 − 2⎠ 2⎛(︁)︁⎛⎞(︁)︁ ⎞(1.86) 3 = cos , 4 = sin cos , 5 = sin sin при сигнатуре объемлющего пространства (+ + − − −−). Здесь > 1,4 3√= 4 2, −1(︃ = + ℎ22 ,2)︃(1.87)а функции (), ℎ2 () даются интегралами:√︁2 ( − 2) + 2 () ∫︁() = 2 2, (( − 1)2 2 + 4 2 ( − 1))(1.88)√︁ℎ2 () =2 () 2 2 2, ( − 4 2 ( − 1))∫︁(1.89)где2 () = 4 2 2 2 ( − 2)2 ++ 46 2 4 ( − 1)2 + (2 )4 ( − 1)2 (4 + 2 + 3 + 4 + 5 ). (1.90)Легко заметить, что функция 2 (), стоящая под корнем в формулах(1.88),(1.89) строго положительна.
Выражение в скобках в знаменателепод интегралом в (1.88) при > 0 обращается в ноль только в однойточке. Можно показать, что в этой же точке обращается в ноль и соответ52ствующий этому знаменателю числитель, поэтому функция ( ) являетсягладкой при > 0. Отсюда следует, что функция вложения (1.86) описывает поверхность, гладкую при всех > 0. Как и в предыдущем случае,гладкость поверхности очевидна при использовании в качестве координаты на поверхности параметра , а при переходе к координате , возникаеткоординатная особенность, поскольку ℎ2 () имеет такие же логарифмические особенности на горизонтах = ± , как функция ℎ1 () из предыдущего пункта.
Из формул (1.86) видно, что при → 0 точки описываемойэтим вложением поверхности оказываются на бесконечности, как и дляспирального вложения.Таким образом, экспоненциальное вложение (1.86) тоже является глобальным (гладким при всех > 0), и покрывает не все области, соответствующие максимальному расширению метрики Райсснера-Нордстрёма,а только те же, что и спиральное вложение. Отметим, что глобальноевложение вида (1.86) можно построить и при = 1, при этом формулы(1.87)-(1.90) будут иметь уже другой вид, однако в этом случае достаточно сложно определить значения параметров, гарантирующих положительность появляющихся подынтегральных выражений.1.6.6Кубическое по времени вложениеНаконец, кубическое по времени вложение метрики РайсснераНордстрёма задается формулами2 2 ⎠ 2 3 24 ⎝1−+ 2 + 4 , =−8 3⎛⎞(︃)︃22124 6 31⎝⎠ =−1−+ 2 + − ,2438⎛⎞(︃)︃224 6 3122⎝⎠ =−1−+ 2 + + ,2438⎛⎞0 3 = cos , 4 = sin cos , 5 = sin sin 53(1.91)при сигнатуре объемлющего пространства (+ + − − −−).
Здесь(︃ = + ℎ32 ,2)︃(1.92)а функции (), ℎ3 () задаются интегралами:√︁3 () ∫︁,() =d44√︁3 ()3 ∫︁d 2 2 2,ℎ3 () =2 ( − 4 2 ( − 1))(1.93)(1.94)где3 () = 2 2 ( − 2)2 + 4 2 ( − 1)2 4 + 2 + 3 + 4 + 5 .(︁)︁(1.95)Глобальная структура этого вложения идентична двум предыдущим.1.7ЗаключениеВ этой главе была описана процедура построения явных вложенийразличных сферически симметричных черных дыр при помощи метода,основанного на теории представлений. За рамками нашего рассмотрениятаких черных дыр остался только наиболее сложный случай метрикиРайсснера-Нордстрёма-(анти)-де Ситтера, содержащей как заряд, так икосмологическую постоянную.
Причины этого, впрочем, носят не принципиальный, а технический характер — полиномы, неотрицательностькоторых нужно доказывать в этом случае, имеют слишком высокий порядок, и процедура исследования корней таких полиномов достаточносложна. Некоторое время назад был предложен регулярный метод нахождения ограничений на коэффициенты параметрического полинома, называемый CRC — complete root classification, изложение которого можнонайти, например, в [47], однако даже с помощью этого метода получениеточных значений параметров полинома, при которых он не имеет положительных корней, остается нетривиальной задачей.Явные вложения метрик черных дыр применяются в различных задачах.
Они могут быть полезны при изучении структуры решений урав54нений Редже-Тейтельбойма, об этом речь пойдет в следующей главе. Впоследнее время, однако, некоторое распространение получила идея вложения метрик черных дыр для расчета их термодинамических параметров [40], [48].Результаты исследований, которым посвящена эта глава, опубликованы в трех статьях: [19] — вложения черных дыр с Λ = = 0, [21] —черных дыр с < , Λ = 0, [22] — черных дыр с Λ > 0, = 0.55Глава 2Теория гравитации на базевложений и поле точечноймассыЭта глава посвящена исследованию уравнений теории гравитации,основанной на изометрических вложениях, в случае сферически симметричного распределения источников.
В начале главы мы опишем процедуруполучения этих уравнений, затем обсудим их основные свойства и проблемы, связанные с ними, а после этого покажем, как можно решитьодну из этих проблем, используя полученные в предыдущей главе явныевложения.2.1Уравнения Редже-ТейтельбоймаВ оригинальной статье [11] отмечается, что для построения формализма теории гравитации, аналогичной струнному, достаточно подставить вдействие Эйнштейна-Гильберта выражение для индуцированной метрики () = () () ,(2.1)с метрикой Минковского в качестве метрики объемлющего пространства.56Поскольку изначальной целью авторов было точное воспроизведение общей теории относительности, число измерений объемлющего пространства в соответствии с теоремой Фридмана (1) было положено равным десяти, хотя, к примеру, в [49, 50] описан формализм с = 14 (см.ниже) , а тот факт, что многие физически интересные метрики локальномогут быть вложены в шестимерное объемлющее пространство [51], может быть положен в основу эффективной теории с = 6.
По тем же причинам в качестве действия теории берется обычное действие ЭйнштейнаГильберта с материей:=∫︁√+ ℒ ).4 −(−2κ(2.2)Некоторые соображения по поводу включения старших по кривизне членов в действие теории вложения можно найти в [52]. Интегрирование почастям после замены переменных в действии (2.2) дает следующее выражение для вариации действия1 ∫︁ 4 √ = −( − κ ) =2κ1 ∫︁ 4 √ −( − κ ) ==κ√1 ∫︁ ( −( − κ ) ) .
(2.3)=−κПриравнивая нулю эту вариацию, окончательно получаем уравненияРедже-Тейтельбойма [11]√ ( −( − κ ) ) = 0,(2.4)где тензор Эйнштейна и тензор энергии-импульса материи теперь зависят от функции вложения ().Эти уравнения содержат производную от тензора Эйнштейна, тот,в свою очередь, содержит производные второго порядка по метрике, аметрика выражается через производную от функции вложения. Наивныйподсчет числа дифференцирований дает основания предполагать наличие четвертой производной по времени в этих уравнениях, что кажетсяфизически нежелательным. Однако на самом деле в этих уравнениях не57содержится производных по времени выше вторых [53].
Чтобы это увидеть, нужно перейти в (2.4) к ковариантной производной и воспользоваться тождеством Бьянки и уравнением сохранения для . В результатеполучится:( − κ ) = 0,(2.5)где ≡ — вторая основная форма поверхности. Вспоминая, чтопо формуле Гаусса тензор кривизны, а значит, и тензор Эйнштейна алгебраически выражаются через основную форму поверхности, заключаем,что уравнение Редже-Тейтельбойма в форме (2.5) не содержит производных выше вторых.
Также стоит отметить полную аналогию с теориейструн, из действия которой=∫︁√2 −.(2.6)следуют уравнения движения = 0.(2.7)Очевидно, однако, что уравнения Редже-Тейтельбойма являются более общими, чем уравнения Эйнштейна — у них существуют т.н. «лишние решения» [11, 53], при которых ̸= κ . Причина этого лежитв ограничении класса функций, по которым производится варьированиев (2.3) — наличие производной в замене переменных (2.1) приводит к еепоявлению в уравнениях движения.По этой причине подход Редже-Тейтельбойма изначально не внушалособого доверия даже самим авторам.
В то же время в статье Дезера,Пирани и Робинсона был отмечен и еще один недостаток теории, болеесерьезный. Он заключается в том, что уравнения Редже-Тейтельбоймаявляются не просто нелинейными (содержат третью степень вторых производных), но также и нелинеаризуемыми в смысле теории возмущений.Эти и прочие возражения, выдвинутые против теории РеджеТейтельбойма, можно суммировать в следующий список:1. Трудность построения канонического формализма.582. Наличие нефизических степеней свободы.3.
Неэквивалентность динамических уравнений теории и уравненийОТО.4. Нелинеаризуемость динамических уравнений теории.5. Отсутствие бескоординатной формулировки.Далее мы последовательно обсудим каждую проблему и те успехи, которые были достигнуты на пути ее решения.2.1.1Канонический формализмВ начале изучения подхода Редже-Тейтельбойма предполагалось, чтолагранжиан теории, содержащий вторую квадратичную форму = , квадратичен по вторым производным по времени. На первыйвзгляд, это затрудняет построение канонического формализма и требуетприменения специальных методов исследования такого лагранжиана.
Исследования в этом направлении начались с работ В. Тапиа. В статье 1989года [17] методом Феррариса-Франкавильи [54] был построен канонический формализм. Алгебра связей в таком подходе была получена Дэвидсоном в [55] путем введения в теорию вспомогательного нефизического поля . Начиная с середины двухтысячных годов, в этом направлении работает Э. Рохас с сотрудниками.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
