Диссертация (1150840), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

является пространством + ,− . Под симметричностью поверхности ℳ относительно группы понимается свойствоℳ переходить в саму себя под действием некоторой подгруппы группыдвижений плоского пространства + ,− , изоморфной группе . Группой движения объемлющего пространства Минковского + ,− являетсяобобщение группы Пуанкаре на многомерие, т. е.

представляет собойполупрямое произведение группы (+ , − ) на группу + +− трансляций пространства + ,− . Такое определение симметрии поверхностиможно понимать как требование совпадения внутренней и внешней геометрии у областей, которые переходят друг в друга, будучи подвергнутыпреобразованию симметрии. Если это требование выполняется, то такиеобласти можно совместить друг с другом при помощи поворотов и сдвигов в объемлющем пространстве.Таким образом, первым шагом к построению симметричной поверхности является отыскание некоторого гомоморфизма из группы вгруппу .

Как известно, элементы группы Пуанкаре можно представить в виде блочных матриц размера + + − + 1, имеющих вид⎛⎜⎝Λ 0 1⎞⎟⎠,(1.2)где Λ ∈ (+ , − ) и ∈ + ,− описывает трансляции (при этом точкам+ ,− соответствуют + + − + 1-мерные векторы с единицей в качествепоследней компоненты). Поэтому можно считать матричным представ16лением группы , элементы которого имеют вид (1.2), причем представление должно быть однозначным и точным, но приводимым (посколькуматрица (1.2) соответствует приводимому, хотя и не вполне приводимомупредставлению. Тогда множество точек ∈ + ,− , даваемых формулой = ()0(1.3)при произвольных ∈ и фиксированном начальном векторе 0 ∈ + ,−по построению будет образовывать поверхность, обладающую требуемойсимметрией. Если 0 , кроме этого, непрерывно зависит от некоторых параметров, то множество точек, даваемых формулой (1.3) при всех значениях таких параметров также будет образовывать поверхность, симметричную относительно требуемой группы, причем в этом случае той жесимметрией будут обладать и ее сечения, соответствующие фиксированным значениям параметров.Таким образом в [19] был получен некий конструктивный метод построения симметричных поверхностей, суть которого заключается в отборе таких вещественных представлений группы , для которых матрицу представления можно привести к виду (1.2).

Размерность полученнойповерхности, однако, может различаться для разных представлений и начальных векторов, поэтому не все варианты окажутся подходящими призаданной размерности поверхности .Изложенный метод, в зависимости от решаемой задачи, позволяет искать как глобально, так и локально симметричные поверхности. В последнем случае подгруппа группы движений объемлющего пространства,оставляющая инвариантной поверхность ℳ, должна быть лишь локальноизоморфна группе .

Тогда представление уже не обязательно должно быть однозначным и может иметь нетривиальное дискретное ядро.Такая ситуация возникает при поиске вложения для риманова пространства, симметрия которого наблюдается только локально, но не глобально. Например, замкнутая фридмановская Вселенная обладает симметрией(4), но мы не можем утверждать этого глобально, поскольку не можемее обойти по большому кругу. С другой стороны, в некоторых задачахоказывается необходимым не только предполагать наличие глобальнойсимметрии, но и наложить дополнительные ограничения на топологию17искомой поверхности. Например, при поиске вложения для обсуждаемойниже метрики Шварцшильда, поскольку тяготеющее тело можно обойтипо большому кругу, необходимо считать симметрию (3) глобальной, атакже дополнительно требовать, чтобы топология поверхности, соответствующей постоянным значениям и , была топологией сферы.1.2.2Построение представлений группы (3) × 1Рассмотрим сначала возможные типы вложений метрики сферическисимметричной невращающейся черной дыры в объемлющее пространство Минковского, классифицируя их по типу реализации симметрии.Размерность объемлющего пространства возьмем равной шести, поскольку класс вложения соответствующей метрики равен двум [27].Искомая функция вложения может быть представлена в виде() = ()0 (),(1.4)где — элементы (3) ⊗ 1 , 0 — начальный вектор, зависящий от .Нашей задачей является нахождение такого представления из(1.4), которое бы осуществляло отображение из (3) ⊗ 1 в группу движений объемлющего пространства (− , + ), где + — количество времениподобных направлений объемлющего пространства (неменее одного), − — количество пространственноподобных (не менеетрех), причем + + − = 6.

Искомое представление будет представ̃︁лять собой прямую сумму тензорных произведений представлений(возможно, не являющихся вполне приводимыми) групп (3) и 1 .Как известно, группа (3) содержит три генератора. В то же время необходимо, чтобы поверхности, соответствующие постоянным значениям и , были двумерными, поэтому необходимо, чтобы вектор0 () оставался неизменным под действием одного из генераторов группы. Это требование, равносильное требованию наличия одномерной под̃︁группы стабильности, ограничивает допустимые представления 1 группы (3) тензорными (т.е.

с целым спином), причем вида 1 . . . −(слагаемые, обеспечивающие неприводимость), где – вектор, инвариантный относительно действия инвариантной подгруппы, — спин. Для18совпадения топологии поверхности, соответствующей постоянным значениям и , с топологией сферы необходимо и достаточно наличие впрямой сумме хотя бы одного представления с нечетным спином (дляпредотвращения появления дополнительных дискретных симметрий типаповорота на в дополнение к повороту на 2).Теперь кратко обсудим представления 1 , отсылая читателя за подробностями к [19].

В общем случае представление одномерной абелевойгруппы можно записать в виде˜2 () = ,(1.5)где — некоторая произвольная постоянная комплексная матрица, а —положительный размерный множитель, выделенный с целью обезразмеривания .Поскольку любую матрицу выбором базиса можно привести к жордановому виду, а ˜2 () не является вполне приводимым представлением, без ограничения общности можно представить в виде жордановой клеткиразмера + 1:⎛=⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝0...1 0 ... 1 ..... .

. . . . ..0 00⎞⎟⎟⎟⎟⎟,⎟⎟⎟⎠(1.6)где ∈ C — константа. Выделяя ее вещественную и мнимую часть =( + )/ и подставляя в (1.5) матрицу в форме (1.6), мы получаемследующую параметризацию представления ˜2 ():˜2 () = () ,19(1.7)где ,⎞⎛2⎜1 () /2!⎟1 ⎟⎟⎜⎝⎠ , 2 = ⎜ 0 = 1, 1 = ⎜ ⎟⎟,⎜0 1⎠⎝0 10 01⎛⎞⎛⎜1⎜⎜⎜0⎜⎜⎜0⎜⎝13 =00 0()2 /2!10⎞()3 /3!(1.8)⎟⎟2() /2!⎟⎟⎟,...⎟ ⎟⎟⎠1Если ввести обозначения 0 = 1, 1 = и 0 = 1, 1 = можнозаписать ˜2 () в виде тензорного произведения трех представлений:̃︁2 () = () ⊗ () ⊗ ()(1.9)где = 0, если = 0 и = 1 при ̸= 0, аналогично для . Представлениеискомой группы = (3) × 1 , таким образом, имеет вид˜ () = ˜1 () ⊗ () ⊗ () ⊗ (),(1.10)и может характеризоваться набором чисел {, , , } и размерными постоянными , и .Поскольку наша цель — получить вещественное представление 1 ,теперь мы должны овеществить представление 1 :⎛⎝1 () = ⎜cos − sin sin cos ⎞⎟⎠.(1.11)Заметим, что условие принадлежности к некоторой подгруппе группыПуанкаре для матрицы 1 выполняется автоматически, т.к.

она являетсяортогональной. Чтобы представление удовлетворяло этому условию,необходимо вручную удвоить его размерность, взяв прямую сумму одномерных представлений с разными знаками :⎛⎝1 () = ⎜ 00 −20⎞⎟⎠.(1.12)Метрика, которую сохраняет эта матрица, является метрикой двумерного пространства Минковского в светоподобных координатах ± = (0 ±√1 )/ 2. В обычных же координатах матрица (1.12) принимает вид⎛⎝1 () = ⎜ch sh sh ch ⎞⎟⎠.(1.13)Эта матрица, таким образом, является двумерным преобразованием Лоренца и принадлежит к подгруппе группы Пуанкаре.Рассмотрим матрицы . Непосредственным вычислением можнопроверить, что они сохраняют антидиагональную матрицу размерности + 1 с чередующимися числами +1 и −1 на побочной диагонали.При четных эти матрицы симметричны. Как и в предыдущем случае, переходя от светоподобных координат к обычным, можно привестисохраняемую ими метрику к диагональному виду.

Как и следовало ожидать, в этом случае соответствует повороту в светоподобной плоскостинекоторого пространства Минковского, т.е. в плоскости, обладающей геометрией Галилея [32].При нечетных матрицы несимметричны, однако имеют вид (1.2),причем часть такой матрицы, соответствующая Λ из (1.2), совпадает с−1 , а значит, сохраняется при поворотах в светоподобной плоскостинекоторого пространства Минковского.

Cледовательно, матрицы представления в таком случае можно рассматривать как комбинацию вращений и трансляций в некотором пространстве Минковского.В итоге мы получаем, что искомые представления группы (3) × 1имеют вид̃︁̃︁= () ⊗ () ⊗ () ⊗ (),21(1.14)где — спин представления (3), – ортогональные матрицы 3 × 3, задаются (1.8), , = 0 или 1, = 0, 1, 2, . . .

и⎛0 = 1, 1 =⎜cos ⎝⎞⎛⎞− sin ⎟⎠,sin cos (1.15)cosh sinh ⎟⎝⎠,0 = 1, 1 = ⎜sinh cosh где , , – произвольные вещественные константы размерности обратной длины. = 1 или = 1 обозначают наличие в данном представлениивращений в обычной или гиперплоскости соответственно, = 1 — трансляций, = 2 — вращений в светоподобной плоскости, = 3 — вращенийв светоподобной плоскости, совмещенных с трансляциями.̃︁Таким образом, можно характеризовать каждое представление четверкой чисел , , , , причем если = 2 + 1, то , , = 0 (потому чтопри нечетных симметрию 1 нельзя реализовать без помощи трансляций, а прямое произведение матрицы на , 1 или 1 нельзя записатьв виде матрицы представления группы Пуанкаре). Представление может содержать произвольное количество таких слагаемых, размерностькаждого из которых равнапричем1.3 ∑︀̃︁⎧⎪̃︁⎪⎨= 2 + 1 = 2 + 1,⎪⎪̃︁⎩= (2 + 1)(2 + 1)2+ , = 2.(1.16)= — размерность объемлющего пространства.Возможные вложения метрики ШварцшильдаИскомая функция вложения, согласно (1.4), может зависеть от только через начальный вектор 0 ().

Основываясь на этой классификацииповерхностей, обладающих симметрией (3) ⊗ 1 , перечислим все возможные типы симметричных вложений метрики статической сферическисимметричной черной дыры в шестимерные объемлющие пространства.22Для этого перечислим все симметричные поверхности при = 6, и длякаждой из них при помощи формулы индуцированной метрики = (1.17)проверим возможность представить ее метрику в виде2 = 00 ()2 − 11 ()2 − 2 (2 + sin2 2 ).(1.18)Рассмотрим ограничения на спин представления (3), связанныес условием = 6.

Используя формулу (1.16), а также то, что для нетривиальной реализации представления в нем должно присутствовать хотябы одно нечетное и отличное от нуля , или , можно заключить,что в определяющей представление прямой сумме должны встречаться̃︁только слагаемые с = 1 (один раз) и с = 0.

Характеристики

Список файлов диссертации