Диссертация (1150840), страница 8
Текст из файла (страница 8)
В серии работ [15,56,57] к теории вложения(с включением поверхностного вклада) применяется подход ГамильтонаОстроградского и анализируется возникающая алгебра связей. Такой желагранжиан исследуется в работах [58] и [59] без использования подхода Гамильтона-Остроградского. Во всех перечисленных работах алгебрасвязей теории вложения содержит связи второго рода.Однако в оригинальной статье [11], а также работе Франке и Тапиа1992 года [60] отмечалось, что лагранжиан теории вложения можно (сточностью до отбрасываемых поверхностного вклада в действии) взять вформе, аналогичной лагранжиану АДМ:=∫︁√̂︁4 −(+ ( ) − ),59(2.8)̂︁где = , — вектор нормали к поверхности, — трехмернаякривизна.
В такой форме лагранжиан не содержит производных по времени от функции вложения выше первых, а следовательно, построениеканонического формализма может быть проведено обычным образом. Вработах [61], [62] был построен канонический формализм для теории стаким действием (и наложенными эйнштейновскими связями, см. выше),а в статье [63] — исследована алгебра связей полученного формализма.Стоит отметить, что все связи, возникающие при построении канонического формализма с таким действием, являются связями первого рода.Стоит также отметить, что в некоторых работах из вышеперечисленных уже предпринимались попытки квантования в рамках как канонического формализма, так и функционального интеграла.
К примеру, в статье [55] получено уравнение Уилера-де Витта в подходе РеджеТейтельбойма:⎞⎛⎛ √ ⎞2(︂)︂28 ⎜⎝ ̂︀ ⎠ ^ ̂︁⎟^ −1√ ⎝⎠ Φ[] = 0,( + ) − ℎ̄2 (Ψ − )2 ̂︀8 (2.9)̂︁̂︀где ()— детерминант трехмерной метрики (АДМ-типа), — трехмер^ная скалярная кривизна, (())— вспомогательное поле, Ψ(()) — матрица, построенная из производных от только по пространственнымнаправлениям, — единичная матрица, Φ[] — волновая функция вселенной.Это уравнение затем исследуется авторами для фридмановской модели.
Аналогичное уравнение также выписано в статье [59].2.1.2Степени свободыВ статье [53] было указано, что теория Редже-Тейтельбойма, будучивоспринимаема как некий формализм ОТО, демонстрирует нефизичнуюзависимость от выбора вложения: поскольку существует бесконечно много вложений произвольной метрики, какие-то из них будут удовлетворятьуравнениям Редже-Тейтельбойма, а какие-то нет.Эта особенность теории, впрочем, выглядит патологически, только если воспринимать вложение как чисто техническую замену переменных,60оставляя статус физического поля за метрикой . Такая трактовка, однако, выглядит непоследовательной с точки зрения вариационного принципа: если варьирование производится по функции вложения, логичнобыло бы трактовать ее как физическую переменную, и тогда, разумеется,выбор вложения перестает казаться нефизичной калибровочной инвариантностью.Более того, если функцию вложения трактовать как физическое поле,логично предположить, что она должна наследовать от метрики все имеющиеся симметрии.
В физически интересных случаях это сильно ограничивает возможную форму функции вложения.Стоит также отметить, что само представление метрики через функцию вложения обладает определенными преимуществами с точки зрениятеории возмущений, устраняя лишние степени свободы, связанные с калибровочной инвариантностью [64]. В самом деле, при обычной записивозмущенной метрики = ¯ + ℎ(2.10)динамическими полями считаются десять компонент тензора ℎ , хотя всилу калибровочной инвариантности далеко не все из них являются таковыми.
Использование вложений позволяет использовать тот факт, чтовекторные поля в объемлющем пространстве, касательные к вкладываемому многообразию, описывают диффеоморфизмы и не влияют на метрику многообразия. Возмущения, таким образом, могут существовать лишьв направлениях, ортогональных к поверхности. Отметим, однако, что невсе вложения в принципе допускают деформации. Этот вопрос будет обсуждаться ниже.2.1.3Линеаризация уравнений Редже-ТейтельбоймаЕсли мы рассмотрим возмущение над плоской фоновой поверхностьюв объемлющем пространстве() = 0 + Δ(),61(2.11)где 0 — функция вложения плоскости, а Δ() — возмущение, то уравнения Редже-Тейтельбойма в первом неисчезающем порядке малости будуткубичны по Δ().
Чтобы это увидеть, можно воспользоваться выражением для тензора Эйнштейна через вторую квадратичную форму поверхности:1 = ,2(2.12)где — тензор Леви-Чивиты, тогда уравнения Редже-Тейтельбойма(для краткости возьмем вакуумные) примут следующий вид: = 0.(2.13)Поскольку плоскость вклада во вторую квадратичную форму не дает, первый порядок теории возмущений будет представлен сверткой трех вторыхпроизводных от Δ(). Это обстоятельство сильно затрудняет построениетеории возмущений над тривиальным вложением плоскости при = 10.Возможно несколько путей решения этой проблемы.
Один из них заключается в построении такого вложения пространства Минковского, которое бы обладало ненулевой квадратичной формой и могло бы поэтому играть роль фонового. Пример такого вложения можно найти в [49],однако вложение, предложенное там, выглядит в высшей степени искусственно и не наследует симметрии пространства Минковского.
Задача о построении симметричных нетривиальных вложений пространстваМинковского исследовалась в работе [65]. В результате было доказано,что единственное нетривиальное симметричное вложение четырехмерного пространства Минковского в объемлющее пространство Минковскогос минимальным числом измерений имеет вид⎛⎞ ⎟⎜⎜2⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎝⎠2(2.14)где ̸= 0. Сигнатура объемлющего пространства при этом должна бытьравна (+ − − − −+). Наличие второго времениподобного направления, к62сожалению, затрудняет физическую интерпретацию теории возмущенийнад таким фоном.2.1.4Бескоординатная формулировкаХотя в теории вложения естественным образом появляется плоскоеобъемлющее пространство Минковского, введение координат на вложенных поверхностях все еще является необходимым.
С целью устраненияэтой необходимости в работе [66] была предложена переформулировкатеории вложения в терминах некоторой теории поля в плоском пространстве.Основная идея заключается в описании поверхностей, вложенных вобъемлющее пространство, как поверхностей постоянных значений некоторого поля. В самом деле, если мы зададим в плоском 10-мерном пространстве набор скалярных полей , = 1 . . . 6, то поверхности их постоянных значений ( ) = (2.15)зададут семейство 4-мерных поверхностей, вложенных в это пространство. Вид же функций ( ) может быть определен из некоторого вариационного принципа.
В частности, не составляет труда переписать действие Эйнштейна-Гильберта в терминах . Для этого стоит заметить,что если временно ввести координаты на какой-либо из поверхностей,определяемой уравнениями (2.15), действие для этой поверхности будетпредставлять собой обычное действие Эйнштейна-Гильберта: =∫︁4√1− ( ()) + ℒ .2κ(︃ −)︃(2.16)где — метрика, индуцируемая на поверхности с данными значениями . В случае, когда эти поверхности не взаимодействуют, действие представляется в виде=∫︁6 =∫︁6∫︁4√ −631− ( ()) + ℒ .2κ(︃)︃(2.17)Переходя от криволинейных координат интегрирования { , } к прямолинейным { }, получим [66]=∫︁1 || − () + ℒ ,2κ10√︁(︃)︃(2.18)где || = det , а = — «метрика» на пространстве, ортогональном вложенным поверхностям.
Скалярная же кривизна можетбыть сконструирована из таким же образом, как конструируется она изфункции вложения при помощи формулы Гаусса. Если определить проектор на касательное к поверхности пространство какΠ = − ,(2.19)то скалярная кривизна будет иметь вид = [Π Π ( ) ( )] ,(2.20)где [ ] = − . Динамические уравнения аналогичны уравнениямРедже-Тейтельбойма:( − κ ) = 0(2.21)с той лишь разницей, что тензоры Эйнштейна и энергии-импульса пересажены в объемлющее пространство (в координатах это бы записывалоськак , где = ), а вторая фундаментальная форма — по нижним значкам в объемлющее, а по верхнему в поперечное при помощивеличины = .Такая теория позволяет описывать динамику вложенных поверхностей без введения координат на них. Еще одним достоинством этой теории является отсутствие связей в уравнениях Эйлера-Лагранжа (2.21) —этих уравнений всего шесть, как и независимых величин .
За это, однако, приходится платить высокую цену — как легко заметить, глядя наформулу (2.20), лагранжиан этой теории имеет очень сложную, неполиномиальную структуру. Возможные пути решения этой проблемы будутобсуждаться в Заключении.642.1.5Неэнштейновская динамикаНа момент своего появления теория Редже-Тейтельбойма первоначально рассматривалась не как новая физическая теория, а именнокак альтернативная формулировка общей теории относительности, потенциально облегчающая квантование. Именно поэтому несовпадениеосновных уравнений теории с эйнштейновскими воспринималось какнекая проблема. Здесь уместно отметить, что в этом состоит фундаментальное различие между теорией Редже-Тейтельбойма и появившейся немного позже теорией бран [67].
Хотя обе они рассматривают нашепространство-время как вложенное в балк, в теории Редже-Тейтельбоймагравитация в балке принципиально отсутствует — в противном случаемы вынуждены были бы иметь дело со всеми трудностями квантованияискривленного пространства. Теория бран же, напротив, создавалась какрасширение стандартной модели, призванное решить некоторые проблемы физики элементарных частиц и не имеющее прямого отношения кквантованию самой гравитации. Несмотря на это, существуют попыткиобъединения подходов Редже-Тейтельбойма и теории бран; см., например, [68].На первый взгляд, решение проблемы неэквивалентности уравненийРедже-Тейтельбойма и Эйнштейна не представляет труда. Вторую квадратичную форму можно рассматривать как матрицу, если объединитьиндексы и в мультииндекс Ω, который с учетом симметричности и принимает десять значений 00, 01, 02, .
. . 33. Матрица, таким образом,является квадратной, и если она невырожденная, мы можем домножитьуравнения Редже-Тейтельбойма на обратную ей и свести их к уравнениямЭйнштейна. Трудность здесь заключается в том, что условие поперечности = 0(2.22)ведет к вырождению матрицы Ω и превращает ее из квадратной 10 × 10 впрямоугольную 10 × 6. Обратить ее, таким образом, невозможно, и уравнения Редже-Тейтельбойма не удается свести к уравнениям Эйнштейна.65Очевидное решение этой проблемы заключается в увеличении числаизмерений объемлющего пространства с 10 до 14.
Впервые формализм с = 14 был предложен в [49]. Как отмечают авторы этой работы, одноиз достоинств этого формализма — увеличение количества поперечныхкомпонент второй квадратичной формы, так что матрица Ω становитсяобратимой и может быть устранена из уравнений движения. Стоит, однако же, заметить, что уравнения видаΩ Ω = 0(2.23)допускают как решения с Ω = 0, так и те, для которых det Ω = 0, аΩ является собственным вектором матрицы с нулевым собственнымзначением. Поэтому отбрасывать решения второго типа на основании каких бы то ни было общих соображений не представляется возможно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
