Диссертация (1150840), страница 6
Текст из файла (страница 6)
1.4: 00 () для метрики Шварцшильда, Шварцшильда-дС иШварцшильда-АдС.Видно, что в случае Λ > 0 функция ограничена сверху, как и в случаеШварцшильда, в то время как наличие отрицательной космологическойпостоянной нарушает это условие. Этот факт наводит на мысль, что обобщить найденные глобальные вложения метрики Шварцшильда на случайΛ < 0 не удастся (это можно доказать и непосредственным вычислением).41Случай положительной космологической постоянной оказывается более интересным. Пространство с такой метрикой (называемой также метрикой Шварцшильда-де Ситтера) содержит два горизонта событий: внутренний горизонт, который можно отождествить с горизонтом черной дыры, и внешний, космологический горизонт.
По этой причине глобальноевложение гиперболического типа для этой метрики построить невозможно: вложение гиперболического типа содержит только один параметр ,фиксируя который, можно добиться гладкости на одном из горизонтов,но не на обоих. Экспоненциальное вложение также оказывается не глобальным из-за характера нулей 00 (по крайней мере в одной точке невозможно достичь гладкости). Оставшиеся два из шести типов вложения,описанных выше — спиральное и кубическое — допускают обобщение наслучай Λ > 0.Спиральное вложение определяется формулами 0 = , ()sin ( − ()) ,1 = ()2 =cos ( − ()) ,(1.69) Λ2 () = 1 − −,∫︁ √︁ 3() = ± 2 + ′2 (1 − 1/ 2 ),(1.70)гдеа запаздывающее время связано со шварцшильдовским посредствомформулы 2′1 ∫︁ = +,1− 2(1.71)причем ограничение на параметр остается неизменным.
Можно показать, что при таких значениях параметра подкоренное выражение в (1.70)4неотрицательно при Λ = Λ =, а уменьшение Λ только улучшает92поведение этого выражения.42Область многообразия Коттлера, покрываемая этим вложением, обведена жирной линией на рисунке 1.5.Рис. 1.5: Диаграмма Пенроуза для метрики Коттлера с Λ > 0Кубическое вложение определяется формулами 2 3 ℎ() ± 1 + + (),621 2 = 2 + ℎ()22 0,1 =(1.72)где Λ2ℎ() = 1 − −, ⎯ 3√≥27,32ℎℎ′2() = ± 1 − ℎ − 2 ,4∫︁⎸⎸⎷(1.73)и∫︁ = + ′.ℎ(1.74)Это вложение покрывает ту же часть всего многообразия, что и предыдущее.Успех, достигнутый при вложении метрики с более сложной глобальной структурой, чем шварцшильдовская, позволяет надеяться, что существуют подобные вложения и для заряженных черных дыр.
Изучениютаких вложений посвящен следующий пункт.431.6Вложения метрики Райсснера-Нордстрема1.6.1Общие соображенияПосле классификации и построения вложений незаряженных статических черных дыр естественным образом возникает аналогичная задачао вложении метрики Райсснера-Нордстрёма, описывающей заряженнуюстатическую черную дыру:⎞−12 2 ⎠ 2 ⎝2 2 ⎠2⎝ = 1 −+ 2 − 1 −+ 2⎛⎞⎛2 − 2 2 + sin2 2(︁)︁(1.75)(мы перешли от к из соображений удобства).
Наибольший интереспредставляет рассмотрение самого нетривиального случая так называемой неэкстремальной заряженной черной дыры, когда < и имеютсядва горизонта√︁± = ± 2 − 2 .(1.76)Остальные случаи могут быть рассмотрены аналогично. Минимальнымдля метрики Райсснера-Нордстрёма является вложение в шестимерноепространство, поскольку доказано, что класс вложения этой метрики = 2 [38].
До недавнего времени не было известно ни одного глобального (в указанном смысле) вложения метрики Райсснера-Нордстрёма, даже для большего числа измерений объемлющего пространства. В работе [39] обсуждается продолжение построенного в [40] вложения метрикиРайсснера-Нордстрёма в область < − , однако предлагаемый там дляэтой области вид функции вложения оказывается не вещественным. Если же его сделать вещественным, то он будет соответствовать метрикеРайсснера-Нордстрёма только после изменения сигнатуры объемлющегопространства.Отметим, что кроме рассматриваемой здесь задачи построения полного вложения метрики также может исследоваться более простая задача построения диаграмм вложения (embedding diagrams), когда находитсявложение для некоторых подмногообразий риманова пространства. Для44метрики Райсснера-Нордстрёма такое исследование проводилось в работах [41–43].1.6.2Классификация известных вложений метрикиРайсснера-НордстремаХотя явное локальное вложение метрики Шварцшильда было построено спустя всего пять лет после нахождения самой метрики [24], вложение для найденной примерно тогда же метрики Райсснера-Нордстрёмабыло предложено гораздо позднее.
Исторически первым, по-видимому,было опубликовано вложение Розена [28]. Оно полностью аналогичновложению Казнера для метрики Шварцшильда и имеет вид⎯⎸⎸⎷2 2+ 2 cos ,⎯⎸⎸2 2 1 = ⎷1 −+ 2 sin ,2 = cos ,0 = 1 −(1.77)3 = sin cos , 4 = sin sin 5 =∫︁⎯⎸⎸ (/ 2 − 2 / 3 )2 + 1⎸⎷1 − 2/ + 2 /2− 1,при сигнатуре объемлющего пространства (+ + − − −−). С точки зрения классификации представлений (3)× 1 , приведенной в начале главы, это вложение является эллиптическим.
Легко заметить, что, подобновложению Казнера метрики Шварцшильда, данное вложение покрываеттолько область вне внешнего горизонта > + и не может быть продолжено под него.45В работе [44] Розен предложил еще одно вложение, теперь построенное по аналогии с вложением Фронсдала [26] для метрики Шварцшильда:⎯⎸⎸⎷2 2+ 2 sh ,⎯⎸⎸2 2 1 = ⎷1 −+ 2 ch ,2 = cos ,0 = 1 −(1.78)3 = sin cos , 4 = sin sin ,5 =∫︁⎯⎸⎸ 1 − (/ 2 − 2 / 3 )2⎸⎷1 − 2/ + 2 /2− 1,при сигнатуре объемлющего пространства (+ − − − −−).
Это вложениепринадлежит к гиперболическому типу. В форме (1.78) данное вложениепокрывает только область > + , однако несложно модифицировать еготак (следуя идее статьи [26]), чтобы вложение можно было продолжитьи под внешний горизонт (возможно, не для всех значений / ). Но сделать его гладким при всех > 0, тем не менее, не удается.В работе [45] было предложено вложение в 8-мерное пространство ссигнатурой (2+6) с такой же реализацией сдвигов по , как в [26]. Оноявляется продолжением вложения с такими же компонентами функциивложения 0−4 как в формулах (1.78), но с тремя функциями от вместо 5 . Формально такое вложение покрывает все значения > 0, однако наобоих горизонтах одна из компонент функции вложения обращается вбесконечность, так что многообразие распадается на три не связанныедруг с другом части.
Вложение [45], в отличие от вложений (1.77),(1.78),может быть записано в терминах элементарных функций.Первое вложение, гладко покрывающее внешний горизонт, было предложено в работе [46]. Это вложение в 9-мерное пространство с сигнатурой (3+6). Как и вложение [45], оно является продолжением вложения стакими же компонентами 0−4 как в (1.78), снова с тремя функциями от вместо 5 . Данное вложение является гладким на внешнем горизонте = + , но на внутреннем горизонте = − одна из компонент функции46вложения обращается в бесконечность.
Это вложение тоже может бытьзаписано в терминах элементарных функций.Более простое гиперболическое вложение метрики РайсснераНордстрёма, продолжающееся под внешний горизонт, было предложенов работе Дезера и Левина [40] ≥ + :0 = ⎯⎸⎸−1 ⎷ 1 = ±1−⎯⎸⎸−1 ⎷− < ≤ + :22+ 2 sh(),1− 0 = ±2 2+ 2 ch(),1 = 2 = cos , 3 = sin cos , 4 = sin sin ,5 =∫︁⎯⎸⎸−1 ⎷ 2⎯⎸⎸−1 ⎷ 2−1−−1−⎯⎸⎸ 2 ( + ) + 2 ( + )⎸+−++, ⎷2ch(),22sh(),2(1.79)2 ( − − )√︁52 +− =,(+ − − )62 ). Это вложение в 7-мерное пространство с сигнагде = (+ − − )/(2+турой (+ − − − − − +). Оно покрывает область > − , причем в этой области оно аналогично вложению Фронсдала [26] метрики Шварцшильда,описывает максимальное расширение риманова пространства: два экземпляра области > + и два экземпляра области − < < + , относящиесяк черной дыре и белой дыре.
При = + данное вложение является гладким, однако оно не допускает гладкого продолжения в область < − .В работе [39] для этой области предлагается использовать тот жевид функции вложения, что и для области > + , но, как видно из(1.79), в этом случае 5 оказывается мнимым. Если же поменять знакпод корнем так, чтобы 5 было вещественным, то чтобы получить метрику Райсснера-Нордстрёма нужно изменить сигнатуру объемлющего пространства на (+ − − − − + +).
Таким образом, на этом пути не удаетсяпостроить единого для всех > 0 вложения, однако тот факт, что оногладко описывает области с обоих сторон от горизонта = + , позволяет47использовать его для исследования термодинамических свойств черныхдыр, см. [40]. Вложение (1.79) также примечательно тем, что допускаетпредельный переход → 0, в результате которого 6 зануляется и вложение переходит во вложение Фронсдала [26].1.6.3Новые глобальные минимальные вложения метрики Райсснера-НордстремаКак уже упоминалось выше, метрика Райсснера-Нордстрёма имееткласс вложения = 2, поэтому минимальным для нее является вложение в шестимерное пространство.
Как видно из (1.75), эта метрика, каки метрика Шварцшильда, обладает симметрией (3) × 1 , где 1 соответствует сдвигам координаты . Поэтому для нахождения обладающихтакой же симметрией вложений метрики Райсснера-Нордстрёма можноиспользовать все типы функции вложения, построенные в работе [19] дляметрики Шварцшильда методом анализа представлений группы симметрии.Если интересоваться исключительно локальными вложениями, покрывающими только некоторые области значений радиуса , то можно использовать все шесть приведенных в начале главы типов вложения в шестимерное объемлющее пространство.
Однако для построения глобальных вложений, гладко покрывающих все значения > 0, годятся не все изних. Сразу приходится отбросить вложения эллиптического и параболического типа, поскольку они покрывают только области , в которых компонента метрики 00 имеет постоянный знак, а для метрики РайсснераНордстрёма в интересном случае < эта компонента меняет знак.Также не удается построить глобальное вложение гиперболическоготипа.
Причиной этого является наличие только одного произвольного параметра — обезразмеривающего множителя в аргументе гиперболическихфункций, с помощью которого можно обеспечить гладкость на одном изгоризонтов, но не на обоих одновременно.Оставшиеся три типа вложений — спиральное, экспоненциальное икубическое — удается применить для построения глобальных вложенийметрики Райсснера-Нордстрёма.
Во всех этих вложениях сдвиги по ре48ализованы как некоторые повороты в объемлющем пространстве, сопровождаемые трансляциями.1.6.4Спиральное вложениеРешая уравнение, полученное подстановкой функции вложения спирального типа (1.29) в формулу (2) с метрикой Райсснера-Нордстрёма вправой части, можно получить функцию вложения следующего вида2 0 = () sin + ,2)︃)︃(︃(︃2 1 = () cos + ,2√︁2 + 2 − 2,2 =(︃(︃)︃)︃(1.80) 3 = cos , 4 = sin cos , 5 = sin sin при сигнатуре объемлющего пространства (+ + − − −−). Здесь > 0,4 3 = 3√ 2 2 , +√︁( − 2 )2 + 2 2 () =, = +ℎ12 , (1.81)2∫︁1 ()4 3() = − √︁ 2 2, ( ( − 2)2 + 2 2 ) 2 − 2 + 2(1.82)(︃)︃а функции (), ℎ() даются интегралами:√︁√︁∫︁1 ()4 3ℎ1 () = √︁ 2 2 2, ( − 4 2 ( − 1)) 2 − 2 + 249(1.83)где2 2 ( − 2)2+4 2( − 1)2 ( 2 ( − 2)2 (1 + + 2 + 3 ) + 2 (4 + 2 + 3 + 4 + 5 ))+.
(1.84) 2 + 21 () =Стоит подчеркнуть особенность, отличающую это вложение от спирального вложения метрики Шварцшильда: в то время как метрикуШварцшильда можно было вложить глобально при любых значенияхмножителя при в 0 , метрику Райсснера-Нордстрёма можно гладковложить только при√︁> 2 − 2,(1.85)что означает строгую положительность функции 2 (). В случае же метрики Шварцшильда эта функция только лишь неотрицательна ( 2 (0) = 0).√︁Если положить = 2 − 2 /, то 2 () будет обращаться в ноль в точке минимума, и в этой точке будет нарушена гладкость вложения.Легко заметить, что функция 1 (), стоящая под корнем в формулах(1.82),(1.83) строго положительна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
