Диссертация (1150840), страница 10
Текст из файла (страница 10)
C другой стороны, подставляя каждуюиз функции вложения (2.31)-(2.36) в формулу (2.1), можно убедиться, чтопри выполнении условий (2.30) величина ℎ′ должна быть по крайней мере ограничена сверху. Таким образом, предположение ̸= 0 приводит кпротиворечию.Мы обнаружили, что = 0, и это, с учетом невырожденности метрикипозволяет переписать уравнение (2.40) в видеℎ′ 11 = 0.(2.44)Такое уравнение означает, что либо ℎ′ = 0, либо 11 = 0. Если ℎ′ = 0,то вакуумные уравнения Редже-Тейтельбойма (2.5) упрощаются и удается показать что в этом случае асимптотическое поведение их лишнихрешений несовместимо с условиями (2.30). В результате мы приходим квыводу, что 11 = 0, а это, как было сказано выше, приводит к выполнению всех остальных уравнений Эйнштейна.Таким образом, доказано отсутствие лишних решений вакуумныхуравнений Редже-Тейтельбойма при условии, что рассматривается обладающее (3) ⊗ 1 симметрией вложение в плоское шестимерное объемлющее пространство, а индуцированная метрика является асимптотически плоской.
Иными словами, единственным решением уравнений73Редже-Тейтельбойма при данных ограничениях является внешнее решение Шварцшильда. Оно остается единственным решением уравненийРедже-Тейтельбойма вне произвольной статичной сферически симметрично распределенной материи, выступающей в качестве источника.Представляет интерес изучение вопроса о совпадении этого результата с результатами, полученными Эстабруком в работе [18]. В ней рассматривались вакуумные решения уравнений Редже-Тейтельбойма для случая, когда вложение имеет вид (1.26). Одним из полученных решенийявлялось вложение метрики Шварцшильда, чего и следовало ожидать.Однако дальнейшее исследование уравнений Редже-Тейтельбойма показало существование еще двух семейств решений, чья динамика не соответствовала эйнштейновской.
Численный анализ, проделанный в этойработе, позволяет заключить, что ни одно из этих двух семейств вложений не соответствует асимптотически плоской метрике, что находится всогласии с полученными в этой части результатами.Стоит упомянуть также работу [17], в которой рассматривалась похожая задача. Рассматривая вложение вида (1.26), автор показывает, чтоесли индуцированную этим вложением метрику разложить в ряд по 1/:100 = 1 − + 2 ,(︃)︃111 = 1 + + + 2 ,(︃)︃(2.45)то из уравнений Редже-Тейтельбойма с необходимостью следует = ,что означает наличие эйнштейновского предела.Результаты, изложенные в этой главе, опубликованы в статье [23]. Онипозволяют предположить, что физически осмысленные лишние решенияне вносят заметного вклада в динамику тяготеющих тел для многих важных случаев, самым очевидным из которых является динамика тел в околоземном пространстве.
Это находится в согласии с экспериментами пообнаружению отклонений от эйнштейновской теории в масштабах солнечной системы: как известно, данные этих экспериментов находятся вхорошем согласии с ОТО.Следующим важным шагом в этом направлении может быть построение теории возмущений, аналогичной пост-ньютоновскому формализмуОТО. В Заключении мы обсудим этот вопрос подробнее.74Глава 3УравненияРедже-Тейтельбойма вофридмановскомприближенииЭта глава посвящена анализу космологических уравнений РеджеТейтельбойма. Лишние решения этих уравнений трактуются как дополнительная «материя», дающая вклад в тензор энергии-импульса.
Исследуется поведение плотности энергии такой «материи» на протяженииинфляционного периода и после него.3.1МотивацияКак показывает проведенный в предыдущей главе анализ сферическисимметричной модели, лишние решения уравнений Редже-Тейтельбоймамогут быть полностью устранены из теории при наличии достаточнобольшой симметрии. С одной стороны, это является несомненным достоинством теории, если трактовать лишние решения как артефакт заменыпеременных, содержащей дифференцирование. Именно эта точка зренияна лишние решения преобладала среди ее исследователей первоначально,в конце семидесятых годов.75С другой стороны, несомненно, стоит отметить, что с открытием темной энергии и темной материи возродился и интерес к расширениям эйнштейновской гравитации, угасший в семидесятых годах.
Начиная с этого момента, подход Редже-Тейтельбойма стали рассматривать в том числе как возможное расширение эйнштейновской гравитации, и проблемалишних решений, таким образом, в какой-то мере перестала быть проблемой. Это повлекло за собой попытки объяснения темной материи итемной энергии при помощи лишних решений; они будут обсуждатьсяподробно далее.В контексте попыток физической интерпретации лишних решенийможно сравнить теорию вложения с недавно появившейся моделью«mimetic dark matter» [70, 71].
Эта модель, в отличие от теории вложения, изначально формулировалась как расширение эйнштейновской теории, но механизм появления лишних решений там абсолютно тот же —они возникают в результате содержащей дополнительное дифференцирование замены переменных в действии, аналогичной (2.1): = ̃︀ ̃︀ ,(3.1)где ̃︀ — новая метрика, — скалярное поле, которое вследствие (3.1)оказывается связано со старой метрикой условием = 1.(3.2)При варьировании по новым переменным ̃︀ и действия ЭйнштейнаГильберта, в котором проведена замена (3.1), возникают уравнения движения − κ( + ) = 0,√ ( − ) = 0,(3.3)(3.4)где = ( − ) , которые можно трактовать как уравнения Эйнштейна с дополнительным слагаемым в тензоре энергии-импульса ̃︁ = .76Уравнения Редже-Тейтельбойма можно привести к подобной же форме. Выше мы уже упоминали, что уравнения Редже-Тейтельбойма могутвыполняться, даже если не выполняются уравнения Эйнштейна, т.е.
в томслучае, когда − κ ̸= 0. Введем обозначение ≡1 − κ(3.5)и будем считать, что в теории Редже-Тейтельбойма выполняются модифицированные уравнения Эйнштейна − κ( + ) = 0,(3.6)с дополнительным слагаемым . Уравнения Редже-Тейтельбойма, таким образом, играют роль неких ограничений на величину : ( ) = 0.(3.7)Сразу отметим, что в силу (3.5), следствий тождеств Бьянки =0 и ковариантного постоянства тензора энергии-импульса обычной материи = 0 также ковариантно постоянен: = 0,(3.8)и следовательно, мы можем по крайней мере формально трактовать егокак тензор энергии-импульса некоторой фиктивной материи.
Не стоит, однако, забывать, что уравнения (3.6) отличаются от уравнений Эйнштейнане только дополнительным слагаемым, но и тем, что искомой функцией в этих уравнениях является функция вложения (), а не метрика . Тензор энергии-импульса « -материи», таким образом, определяетсявнешней геометрией поверхности и содержит зависимость от .С таких позиций теорию вложения можно рассматривать как расширение ОТО и искать в ней причину наблюдаемой неэнштейновской динамики, обычно связываемой с темной материей или темной энергией.Мы не будем с самого начала рассчитывать на объяснение того или другого феномена, а поставим задачу более общо: изучим поведение приразличных уравнениях состояния обычной материи.77Прежде чем выбирать конкретную модель, обратим внимание на односвойство уравнений Редже-Тейтельбойма, которое окажется критическиважным для всех дальнейших рассуждений.В прошлой главе мы видели, что в случае сферически симметричного статического распределения источников лишние решения управляютсятолько одной константой (поскольку уравнения в этом случае сводятсяк интегрируемому ОДУ).
Следовательно, можно ожидать, что в общемслучае лишние решения уравнений Редже-Тейтельбойма должны управляться набором неких сохраняющихся величин [72], что легко доказатьследующим образом.Вначале заметим, что ковариантная производная в (3.7) действует наобъект с одним римановым значком. Используя известную формулу ковариантной дивергенции, перепишем это уравнение в терминах обычнойпроизводной√ ( − ) = 0,(3.9)что по форме является законом сохранения для некоторого набора токов: = 0, где √ − ,=κ(3.10)а = .
Тот факт, что с величиной , характеризующей поведение лишних решений, связаны эти сохраняющиеся токи, лежит в основенашего рассмотрения фридмановской модели в теории вложения.Наше исследование было мотивировано следующим наблюдением.Согласно современным космологическим представлениям, на данный момент принято считать, что с достаточной степенью вероятности стадиигорячего расширения вселенной предшествовала стадия экспоненциального расширения (стадия инфляции), за время которой характерный радиус вселенной вырос не менее чем в 60 ≈ 1026 раз.
Поскольку определитель метрики пространства пропорционален объему этого пространства,он также должен экспоненциально возрасти. Однако если в (3.10) —√сохраняющиеся величины, а − экспоненциально возрастает, то компоненты κ = − κ тоже должны экспоненциально убывать (в78координатах, соответствующих фридмановской симметрии) и становиться крайне малыми по сравнению с (поскольку плотность энергии инфлатона Λ с ростом масштабного фактора убывает очень медленно), такчто к концу инфляции предсказания теории вложения должны практически совпадать с предсказаниями ОТО.В следующем параграфе результат, к которому приводят эти интуитивные рассуждения, будет в рамках симметрии Фридмана получен строго.3.2Уравнения Редже-Тейтельбойма во фридмановском приближенииСогласно наблюдательным данным, в настоящий момент отклоненияот равновесной температуры реликтового фона составляют 10−5 ее величины. Это говорит о том, что на космологических масштабах с хорошейточностью выполняется симметрия Фридмана.
Нет оснований полагать,что в какую-либо из эпох развития вселенной (включая инфляционнуюэпоху, если рассматривать ныне видимую часть вселенной) эта симметрия была сильно нарушена. Поэтому мы в качестве главного приближенияограничимся симметрией Фридмана при рассмотрении динамики лишнихрешений. Анализ уравнений Редже-Тейтельбойма при наличии симметрии Фридмана уже проводился Дэвидсоном в работах [12, 13] (хотя и вдругих целях; об этом ниже), но выкладки, приведенные в этих работах,кратки и конспективны, поэтому мы повторим их в более развернутойформе.
Поставленная в предыдущем пункте задача сводится к решениюсистемы уравнений − κ = κ ,√ ( − ) = 0,(3.12) = 0,(3.13) = 0(3.14)(3.11)в рамках симметрии Фридмана.Вид и диктуется симметрией Фридмана. Легко показать, единственный симметричный тензор второго ранга, допускаемый этой сим79метрией, есть тензор энергии-импульса идеальной жидкости: метрикаФридмана допускает времениподобный вектор , и в тензор энергииимпульса могут входить только слагаемые, пропорциональные и : = ( + ) − ,(3.15) = ( + ) − ,(3.16)где () и () — плотность и давление материи, а () и () — некоторые функции времени (стоит отметить, что, поскольку не соответствует реальной материи, никакие энергетические условия на эти двефункции не налагаются), = (1, 0, 0, 0) — единичный времениподобныйвектор, ортогональный поверхности постоянного времени.Неизвестной переменной мы считаем функцию вложения, вид которой также практически полностью фиксирует фридмановская симметрия [28], класс вложения пространств Фридмана (разница между размерностью объемлющего пространства и вкладываемого многообразия; дляпространств Фридмана он равен 1) и требование наличия только одноговремениподобного направления в объемлющем пространстве.Для минимальных вложений (т.е.
в пятимерное пространство) компоненты функции вложения имеют вид [28]:0 =∫︁√︁ 1 + ˙ 2 , 1 = () cos , 2 = () sin cos , 3 = () sin sin cos , 4 = () sin sin sin 80(3.17)для закрытой модели,0 =∫︁√︁ 1 − ˙ 2 , 1 = () cosh , 2 = () sinh cos ,(3.18) 3 = () sinh sin cos , 4 = () sinh sin sin для открытой модели и∫︁12 =() +2 (︃∫︁112 =() +2 2 = () cos ,0(︃+ () ,˙)︃− () ,˙)︃(3.19) 3 = () sin cos , 4 = () sin sin для пространственно-плоской модели, () — масштабный фактор. Квадрат интервала имеет вид2 = 2 − 2 ()(2 + sin2 Ω2 ),(3.20)2 = 2 − 2 ()(2 + sinh2 Ω2 ),(3.21)2 = 2 − 2 ()(2 + 2 Ω2 )(3.22)для закрытой, открытой и пространственно-плоской модели соответственно.Заметим, что если мы изначально не будем ограничивать размерностьобъемлющего пространства, то для закрытой и открытой моделей предположение о соответствующей симметрии вместе с уравнениями РеджеТейтельбойма почти однозначно приводят к тому, что поверхность оказывается лежащей в некотором пятимерном подпространстве объемлющегопространства 1, −1 , т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
