Диссертация (1150840), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Видно, что этот тип реализации симметрии не позволяют построить глобальное вложение для метрики с горизонтом, т.е. такой, компонента 00 кото31r=0r=r∞=RIIr=rRIVr=∞Ir∞==rRIII=Rr=∞r=0Рис. 1.2: Диаграмма Пенроуза для метрики Шварцшильдарой меняет знак: 00 индуцированной метрики явно знакоопределенная.Условия согласования вложения с метрикой дают⎯⎸⎸⎷(︃ () = − 1 −,)︃ℎ() = ±∫︁⎯⎸⎸ 42 3 + 2⎸⎷3 ( − )(1.43)Как можно видеть, функции ℎ() будет вещественной только при определенных значениях , область которых определяется значением , т.е.сигнатурой объемлющего пространства.Это вложение (с = 1) впервые было найдено Казнером в 1921 году.Оно покрывает четверть всего риманова многообразия, диаграмма Пенроуза которого приведена на рисунке 1.2 — одну из вселенных либовнутренность черной или белой дыры.1.4.2Параболическое вложениеПодставляя (1.26) в (2), получаем00 = −ℎ2 ,11 = −1 − ( ′2 − ℎ′2 )/2 .32(1.44)Глобальное вложение метрики с горизонтом при этом типе реализациисимметрии построить также невозможно, а покрываемая часть многообразия определяется сигнатурой пространства — чтобы покрыть внешнюючасть метрики, необходимо объемлющее пространство с двумя времениподобными направлениями, т.е.
= −1.Условия согласования вложения с метрикой дают () =⎯(︃⎸⎸⎷ℎ() =⎯⎸(2 + 3) ⎸⎷1−,)︃4(1.45)1−+328⎛⎝ln ⎜⎛⎯⎸⎸⎷⎞⎞2 ⎜⎟⎟⎝1 + 1 −⎠ − 1⎠ .Константа остается произвольной. Данное вложение было впервые√предложено в работе [34] (там = 2). Оно также подробно изучалось√в работе [35] (там = 2/). Так же, как и предыдущее, оно покрываетчетверть всего риманова многообразия — одну из вселенных либо внутренность черной или белой дыры. В работе [35] также отмечалось, чтоэто вложение может быть записано в терминах элементарных функций.Ниже мы увидим, что таким свойством обладает еще одно вложение.1.4.3Гиперболическое вложениеВ этом вложении существует уже упомянутая неоднозначность в расположении гиперболических функций.
В физически интересном случае = 1, т.е. при наличии лишь одного времениподобного направления объемлющего пространства, можно выбрать это расположение так, чтобывремениподобное направление объемлющего пространства было однозначной функцией координаты риманова многообразия, т.е. было пропорционально гиперболическому синусу , а не косинусу.Подставляя (1.27) в (2), получаемℎ′2⎝11 = −1 − ± ′2 ⎠ .2⎛200 = ± ,⎞(1.46)Знак меняется при перестановке 0 и 1 , которую следует произвести при = , учитывая тот факт, что координата под горизонтом черной ды33ры пространственноподобна.
Условия согласования вложения с метрикойдают√︁ () = ±(1 − /),ℎ() = ±∫︁23/2⎯⎸⎸ 2 − 42 3⎸⎷.( − )(1.47)Можно видеть, что только при = 1/2 можно сократить разность кубовв числителе подкоренного выражения в ℎ() на знаменатель и обеспечитьположительность этого выражения при всех :2 =∫︁⎯⎸⎸⎷2 3+ 2 + 3.(1.48)Остальные две компоненты в итоге должны задаваться следующими формулами:0⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎯⎸⎸⎷2 1 − =⎪⎯⎸⎪⎸⎪⎪⎷⎪⎪⎩±2⎯1 =sh(/2)− 1 ch(/2) < .⎧⎸⎪⎸⎪⎪⎷⎪⎪±21−⎪⎨⎯⎸⎪⎪⎸⎪⎪⎷⎪⎪2−1⎩>(1.49)ch(/2) > sh(/2) < .Это вложение было найдено в 1959 году Фронсдалом [26]. Впрочем, замечание в конце статьи Фронсдала свидетельствует о том, что об этомвложении знал М.
Крускал и, возможно, использовал его для построениямаксимального расширения: сравнивая между собой координаты Крускала (1.39) и компоненты функции вложения (1.49), можно заметить, чтоони отличаются только множителем / .Как уже упоминалось в начале этой главы, вложение Фронсдала позволяет обеспечить наглядность при изучении глобальной структуры черной дыры.
Различные области поверхности вложения Фронсдала можнонапрямую отождествить с соответствующими участками диаграммы Крускала. Проекция поверхности вложения на пространство ( 0 , 1 , 3 ) при = 0 показана на рисунке 1.3.3432.52y21.5160.5402604−220y1y0−4−2−4−6−6Рис. 1.3: Проекция вложения ФронсдалаВ самом деле, если взглянуть сверху на эту поверхность (т.е. зафиксировать 2 = ), она в точности воспроизведет диаграмму Крускала, т.к.при = const компоненты 0 и 1 функции вложения Фронсдала с точностью до числового множителя совпадают с координатами и из (1.39).Область на переднем плане рисунка соответствует белой дыре, за «седлом» — черной дыре, справа — нашей вселенной, а слева — параллельной.Изучая движение частиц по траекториям, лежащим на этой поверхности,можно видеть, между какими областями возможны переходы и каким образом они происходят.1.4.4Экспоненциальное вложениеОсобенностью предыдущих типов вложений являлось отсутствиенеобходимости в диагонализации метрики, построенной по ним.
Этот жеи следующие два типа вложения реализованы с использованием трансляций по параметру , что влечет за собой наличие недиагональных компонент метрики, в общем случае отличных от нуля. Однако, Поскольку35в выборе функций вложения существует определенный калибровочныйпроизвол, метрика может быть диагонализована, если выбратьℎ() = ±)︂1 (︂∫︁ ′ ,(1.50)что легко получить, подставив (1.28) в (2). Для остальных компонент метрики имеем следующие выражения:00 = ( 2 − 2 ),11 = −1 +)︁ (︁ 22 2 ′22 ′2(−)−.2 2(1.51)Как и в случае гиперболического вложения, ограничимся наиболее интересным случаем = 1.
Условия согласования вложения с метрикой () =⎯⎸ 2⎸ ( + 1) − ⎷() =, ( 2 − 2 )(2 + ′2 ) + 2 ⎠. ⎝ ( 2 − 2 )⎛∫︁√︁⎞(1.52)Чтобы убедиться, что сингулярность при = связана исключительнос выбором координат, достаточно перейти к новой координате = +ℎ()/ (сходной с координатой Эддингтона-Финкельштейна), посколькуразность ()−ℎ() не имеет особенности в данной точке, см. [36]. А длятого, чтобы заметить, что и особенность при = тоже координатная,удобно переписать функцию вложения (1.28) в виде − −−() = √+() −,2 (︃)︃ − −−()+()1 = √+,2 (︃0)︃(1.53) 2 = ,где функция⎯⎸⎸ 4 2 2 ( − )⎸1−⎷∫︁() = + − 2( − )363 ( − )3 ( − )(1.54)является гладкой при всех > 0, если 2 > 2 /(272 (3 − 2 )) (принарушении этого условия подкоренное выражение будет отрицательнымпри некоторых ).
Такой вид этого вложения объясняет используемое нами название «экспоненциальное».Это вложение было впервые описано в работе Дэвидсона и Паза вформе (1.28). Стоит отметить, что это первое известное вложение метрики Шварцшильда, в котором для реализации трансляционной инвариантности по использовались трансляции по времени объемлющего пространства, хотя сами авторы рассматривали его просто как некое допустимое обобщение вложения Фронсдала. Многообразие, определяемое данным вложением, является всюду гладким (при → 0 будет 0 → ∞). Онопокрывает половину риманова пространства, соответствующего решениюШварцшильда: один экземпляр области > и один экземпляр области < , относящийся к черной дыре (или к белой дыре, если изменить знак 0 ).
В координатах Крускала-Шекереса , покрываемая область определяется условием + > 0, а при + → 0 оказывается 2 → −∞. В пределе → 0 часть этого многообразия переходит в половину многообразия,определяемого вложением Фронсдала (1.49).1.4.5Спиральное вложениеПодставляя (1.29) в (2), можно видеть, что 01 = 0, если1 ∫︁ ′ 2 ,ℎ() =(1.55)тогда остальные компоненты метрики принимают вид00 = ( 2 − 2 ),11 = −1 +)︁ (︁ ′2 2 222 ′2(−)−.2 2(1.56)Условие согласования метрики с вложением дает√︁ () = ( − + )/,(1.57)√︁() = ±∫︁ ( 2 2 4 + 2 3 − 2 4 + (2 − )/2).( 2 + − ) ( − )37Обратим внимание, что при = −1 под корнем оказывается отрицательная константа −2 .
При такой сигнатуре глобальное вложение, следовательно, невозможно, поэтому рассмотрим случай = 1. При = 0 данное вложение является разновидностью вложения Казнера, покрывающего область < . При 0 ≥ < 1 коэффициент при старшей степени полинома в (1.57) оказывается отрицательным, поэтому глобальное вложениев этом случае невозможно. Если же ≥ 1 и больше некоторого значения, то можно показать, что вложение типа (1.29) определяет многообразие, гладкое при всех > 0.Изучим подробнее вариант такого вложения, соответствующий =1. Он является наиболее интересным, поскольку поверхность вложенияв этом случае оказывается асимптотически плоской, т.е. стремящейся кчетырехмерной плоскости при → ∞.
В этом случаеℎ(),⎯⎸⎸11 = ⎷ sin( + ()),⎯ ⎸1⎸2 = ⎷ cos( + ()), 0 = +(1.58)гдеℎ() =() =∫︁∫︁⎯⎸⎸⎷( − )42 +,2( − )3⎯⎸⎸( − )⎷.42 +2( − )3(1.59)Входящее в функции ℎ(), () подкоренное выражение является поло√жительным при любых > 0 если ≥ 1/( 27). При = эти функцииимеют логарифмическую особенность, но она связана исключительно свыбором координат. Чтобы в этом убедиться нужно перейти к новой ко-38ординате = + ℎ()/, в результате чего получится 0 = ,1 =⎯⎸1⎸⎷sin( + ()),⎯ ⎸1⎸2 = ⎷ cos( + ()), (1.60)где функция⎯⎸( − )1 ∫︁ ⎸⎷42 +() = () − ℎ() =23(1.61)особенностей при > 0 уже не имеет. Интеграл (1.61) выражается в тер√минах элементарных функций только при = 1/( 27). В этом случаефункция вложения приобретает простой вид 0 = ,1 =⎯⎸⎸ 273⎷2 =⎯⎸⎸ 273⎷⎛⎝√sin ⎜27⎯⎞⎸⎸ ( + 3)3⎟⎠,−⎷27⎯⎞⎸⎸ ( + 3)3⎟⎠−⎷⎛⎝√cos ⎜272 (1.62)272 Это вложение было впервые описано в статье [19].Стоит обратить внимание, что при этом и предыдущем способе реализации симметрии можно «сдвигать» компоненту метрики 00 вверх иливниз на произвольную константу 2 .
Данная особенность этих вложенийокажется важной в следующем параграфе, при обсуждении случая ненулевой космологической постоянной.1.4.6Кубическое вложениеКак и в предыдущих случаях, подстановка (1.31) в (2) дает условиедиагонализации метрики:ℎ() =∫︁39 ′ ,(1.63)а остальные компоненты даются формулами ⎝ ′2 ′2 ⎠11 = −1 + 2−.4⎛00 = − (),⎞(1.64)Для метрики Шварцшильда, следовательно, () = −1 ,(︃)︃() = ±∫︁ √︁42 4 + 2 ( − ).25/2(1.65)Чтобы под корнем не оказалось отрицательной константы, следует положить = 1, а чтобы выражение под корнем было существенно неотрица27тельно — 2 ≥ 10242 .
Можно также перейти к новой координате вместо посредством замены = + ℎ(), хотя в данном случае это не являетсянеобходимым — очевидно, что в формуле (1.65) не содержится сингулярностей. Однако после этой замены вложение приобретает довольнопростой вид:2 () ± 1 0,1 = 3 + + (),621 2 = 2 + ()22(1.66)и() =∫︁3 − 4 √︁√162 + 8 + 32 .324 (1.67)Как и все вложения, содержащие трансляции, полученное вложение покрывает половину многообразия Шварцшильда. Оно было впервые описано в статье [19].1.5Вложение метрики КоттлераНе лишен интереса вопрос о том, допускают ли найденные вложенияобобщение на случай наличия космологической постоянной Λ. Соответствующая метрика была впервые получена Коттлером [37] в 1918 году.40Квадрат интервала для нее имеет вид2 Λ2 ⎠ 2⎝ = 1 −− − ⎛3⎝⎛⎞22⎞ − 2 Ω2 .22 Λ ⎠1−−3(1.68)Сразу можно заметить, что два из шести типов вложений — параболическое и эллиптическое — по построению не допускают смены знака00 , поэтому глобальные вложения этих типов для метрики Коттлера отсутствуют.Важными для нашего рассмотрения являются асимптотики компоненты 00 этой метрики, график которой при разных Λ изображен на рисунке1.4.Λ<0Λ=0Λ>0Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
