Диссертация (1150840), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Случай симметрииФридмана анализировала, в частности научная группа Дэвидсона в [12],[13], [14], и Рохас с сотрудниками (см., напр. [15] и [16]). Сферическисимметричные уравнения изучал Тапиа [17] и Эстабрук [18], но, как будетпоказано ниже, анализ, проведенный в обеих этих работах, не был полным.Целью данной работы является исследование неэйнштейновских решений уравнений Редже-Тейтельбойма при наличии физически обусловленной симметрии. Изучение структуры этих решений на различных масштабах позволит сделать выводы о степени достоверности, с которой планетарная, галактическая и космологическая динамика может быть описана посредством уравнений Редже-Тейтельбойма. В тех ситуациях, гдепредсказания эйнштейновской теории совпадают с наблюдениями (к примеру, в планетарной динамике) необходимо найти объяснение отсутствиялишних решений, а в тех, где предсказания расходятся с наблюдениями(темная энергия и темная материя) — изучить возможность объяснения их8при помощи теории вложения.
Для достижения поставленной цели былирешены следующие задачи:1. Построение всех явных вложений (3) × 1 -симметричной метрики в 6-мерное объемлющее пространство, обладающих такой жегруппой симметрии.2. Изучение ограничений, налагаемых вакуумными уравнениямиРедже-Тейтельбойма на асимптотику индуцируемой такими вложениями метрики.3. Изучение динамики масштабного фактора вселенной Фридмана сучетом предположения, что в начальный период развития вселеннойреализовался инфляционный сценарий.Основные положения, выносимые на защиту:1. Новые глобальные минимальные вложения метрик Шварцшильда,Коттлера и Райсснера-Нордстрёма, построенные и классифицированные при помощи метода, предложенного в [19].2. Отсутствие «лишних решений» вакуумных уравнений РеджеТейтельбойма, если рассматривается обладающее (3) ⊗ 1 симметрией вложение четырехмерной поверхности в плоское шестимерное объемлющее пространство, а индуцированная метрика обладает той же симметрией и является асимптотически плоской.3.
Наличие экспоненциального подавления «лишних решений» вофридмановском приближении теории вложения, если на ранних стадиях развития вселенной присутствовал инфляционный режим, асостояние вселенной до начала инфляции описывалось начальнымиданными общего вида.Научная новизна:1. Впервые построена полная классификация симметричных вложений метрик Шварцшильда в объемлющее пространство минимальной размерности, при этом два из шести возможных вложений оказались новыми, не описанными ранее в литературе.92. Впервые найдено вложение метрики Шварцшильда, являющеесяасимптотически плоским, т.е.
при → ∞ стремящееся к четырехмерной плоскости.3. Впервые получены минимальные вложения метрик Коттлера иРайсснера-Нордстрёма, гладко покрывающие оба горизонта.4. Впервые проведен полный анализ всех допускаемых симметриейрешений уравнений Редже-Тейтельбойма для точечного источника,порождающих асимптотически плоскую метрику.5.
Показано, что в модели Фридмана с начальными данными, находящимися в ситуации общего положения, «лишние решения» оказываются экспоненциально подавлены после окончания инфляционногопериода.Научная и практическая значимостьПостроенные вложения могут использоваться для изучения различныхсвойств черных дыр, к примеру, для проверки универсальности соответствия между температурой Хокинга и температурой Унру.Асимптотически плоское вложение метрики Шварцшильда можетиспользоваться для решения задачи многих тел в подходе РеджеТейтельбойма.Доказанное отсутствие «лишних решений» в нескольких физическиинтересных случаях говорит о том, что теория вложения, по крайней мере на классическом уровне, согласуется с экспериментальными данными,и позволяет рассматривать ее в качестве возможной основы для поискаудобной для квантования теории гравитации.Апробация работы.Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях: Международная студенческая конференция «Science & Progress —2011», 14-18.11.2011, Петергоф,50th International school of subnuclear physics, Erice, Italy, 23 June — 2 July2012,VIII Всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых, посвященная 155-летию со дня рождения К.
Э.10Циолковского «Молодежь и наука», Красноярск, 19-27 апреля 2012 г.IV международная конференция «Модели квантовой теории поля», посвященная А. Н. Васильеву, Санкт-Петербург, 24-27 сентября 2012The XXI International Workshop «High Energy Physics and Quantum FieldTheory», Saint-Petersburg, June 23 – June 30, 2013II Russian-Spanish Congress «Particle and Nuclear Physics at all Scales andCosmology», Saint-Petersburg, October 1-4, 2013Международная зимняя школа-семинар по гравитации, астрофизике икосмологии «Петровские чтения-2014», Казань, 17 - 21 февраля 2014 г.;а также на научных семинарах Петербургского отделения Математического института, Государственного астрономического института имени Штернберга, Московского государственного университета и Высшейшколы экономики.Публикации.Основные результаты по теме диссертации опубликованы [19–23] в 5 печатных изданиях, индексируемых базами данных «Web of Science» или«SCOPUS» и включенных в список ВАК.Объем и структура работы.Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.
Полный объемдиссертации составляет 109 страниц с 9 рисунками. Список литературысодержит 80 наименований.Первая глава посвящена построению и классификации явных симметричных вложений метрик Шварцшильда, Райсснера-Нордстрёма и Коттлера в объемлющее пространство минимальной размерности. Для удобства ссылок в этой главе также кратко излагается метод построения симметричных вложений римановых многообразий общего вида, предложенный в [19].Во второй главе выводятся уравнения Редже-Тейтельбойма в различных формах и обсуждаются достоинства и недостатки теории гравитациина базе таких уравнений, а также различные подходы к их исследованию,описанные в литературе.
Затем проводится полный анализ структуры вакуумных решений этих уравнений в сферически-симметричном случае.Проводится сравнение с известными результатами.11В третьей главе рассматривается структура решений уравненийРедже-Тейтельбойма в модели Фридмана. Обсуждаются предыдущие работы, посвященные космологическим моделям в теории вложения.
Изучается поведение «лишних решений» во время и после периода инфляционного расширения вселенной.В заключении суммируются результаты работы и обсуждаются дальнейшие пути исследования теории вложения.12Глава 1Явные вложенияримановых метрикЭта глава посвящена поиску явных вложений различных черных дыр.Классифицируются и конструируются возможные симметричные вложениz метрики Шварцшильда, Коттлера и Райсснера-Нордстрёма вплоское объемлющее пространство минимальной размерности. В началеглавы также описываются различные методы поиска вложений, в томчисле и предложенный С. А. Пастоном в [19], при помощи которого производится исследование.1.1МотивацияЯвные вложения для различных пространств Эйнштейна начали конструироваться гравитационистами практически сразу после появленияобщей теории относительности: к примеру, первое вложение для решения Шварцшильда было построено Казнером [24] в 1921 году, спустявсего пять лет после получения самого решения.
Тогда же им была доказана важная теорема [25] о вложениях пространств Эйнштейна:Теорема Казнера. Четырехмерные пространства Эйнштейна, т.е. такие, метрика которых удовлетворяет уравнению + Λ = 0,13(1.1)и не является метрикой Минковского, невозможно вложить в плоскоепятимерное объемлющее пространство.Вложения решений уравнений Эйнштейна могут применяться в различных целях. Явный вид вложения может обеспечивает большую наглядность при изучении геометрии пространства-времени. Важную рольв понимании глобальной структуры геометрии черной дыры сыграло вложение Фронсдала [26] метрики Шварцшильда (это вложение оказывается тесно связанным с использованием координат Крускала-Шекереса,см. замечание в конце работы [26]).
Класс вложения конкретной метрики, определяемый как разность минимальной размерности объемлющего пространства, требуемой для вложения этой метрики, и размерности вкладываемого пространства, является геометрическим инвариантом и может применяться в различных геометрических задачах нарядус другими инвариантами — например, для классификации точных решений уравнений Эйнштейна, см.
[27]. Кроме того, как было упомянутово Введении, явные вложения известных решений уравнений Эйнштейна могут использоваться для построения теории возмущений в подходеРедже-Тейтельбойма, а также для исследования структуры решений этойтеории (этот вопрос будет обсуждаться в следующих главах).Построению вложений посвящено достаточно много работ. Большоеколичество вложений конкретных метрик можно найти в работах [28,29],общие вопросы построения вложений обсуждаются в работе [30]. Подробный список литературы, посвященной вложениям и их применениюв теории гравитации, можно найти в обзоре [31].Стоит, однако, отметить, что, несмотря на большое количество методов поиска вложений, они не в полной мере могут напрямую использоваться в подходе Редже-Тейтельбойма.Трудность применения большинства этих методов связана, преждевсего, с тем, что в ОТО динамической переменной является не функция вложения ( ), а метрика псевдориманова многообразия (1.17), такчто явный вид функции вложения не представляет такого интереса, как втеории вложения.
Вложение поверхности с заданными свойствами проводится в ОТО обычно путем решения системы уравнений Гаусса-КодацциРиччи, роль переменных в которой играют квадратичные формы поверх14ности. Данный способ представляет собой некий регулярный алгоритмнахождения вложений, в отличие от обычной в теории вложения практики решения системы уравнений (1.17) относительно (). Преимущество метода Гаусса-Кодацци-Риччи в том, что нам не нужно знать явныйвид метрики многообразия, а только симметрии, которыми оно обладает.Однако в силу большой сложности системы уравнений Гаусса-КодацциРиччи при классе вложения > 2 какие-либо регулярные методы решенияэтой системы еще не известны.
Этим объясняется огромное количествонайденных вложений класса 1 и 2 и почти полное отсутствие вложенийкласса 3 и большего. Таким образом, поиск вложений в ОТО представляет собой в значительной степени абстрактную математическую задачуи применяется в основном для классификации и доказательства наличияили отсутствия решений, обладающих какой-либо симметрией. Для этихцелей нахождение явного вида вложения, в общем, не является первостепенным.В теории вложения, напротив, основной задачей является нахождениефункции вложения, соответствующей заданной метрике, поэтому большее внимание уделяется не доказательству возможности или невозможности вложения некой метрики, а сам явный вид такого вложения.
Ксожалению, явный вид большинства вложений, существование которыхдоказано, не известен, а для известных порой затруднительно дать физическую интерпретацию (если, в отличие от подхода к вложениям в ОТО,мы предполагаем, что функция вложения сама по себе имеет какой-тофизический смысл). Наличие такого смысла, в свою очередь, влечет засобой наследование функцией вложения физически обусловленных симметрий задачи. Эта идея лежит в основе метода поиска и классификациивложений метрик с симметрией, предложенного С. А.
Пастоном в [19].Данный метод не выносится на защиту и будет кратко изложен в следующем параграфе лишь для удобства чтения.151.2Симметрийный анализ возможности вложения статических черных дыр1.2.1Метод построения вложений симметричных метрикЧтобы получить вложение псевдориманова многообразия с некоторойсимметрией на нем, нужно построить -мерную поверхность в плоскомпространстве, обладающую симметрией относительно заданной группы этой симметрии . В общем случае плоское пространство содержит + времениподобных и − пространственноподобных направлений,+ + − = > , т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
