Диссертация (1150694), страница 9
Текст из файла (страница 9)
. . Φiполей Φ получаем, что ∆G = NΦ ∆Φ с суммированием по всем полям Φ,входящим в GR , а именно∆G =XNΦ dΦ = Nθ ′ dθ ′ + Nθ dθ + Nv dv .(3.29)ΦТ. к. в модели (2.10) поля не ренормируются, т. е. γΦ = 0 для всех Φ(см. раздел 3.1.1), из (3.28) следует, что критические размерности полейΦ = v, θ, θ′ совпадают с их каноническими размерностями, представленными в таблице 2.1, а именно∆v = 1,∆θ = −1,∆θ′ = d + 1.(3.30)Данное свойство является специфической чертой конкретной модели, отличающее ее как от изотропной векторной модели Крейчнана (модели №2), вкоторой γν 6= 0, так и от скалярной анизотропной модели Крейчнана [59], вкоторой параметр f , нарушающей Od –симметрию лапласиана, не являетсябезразмерным.3.1.4.Уравнение Дайсона и точные выражения для пропагаторовВ разделе 3.1.1 был введен новый параметр u0 , необходимый для обеспечения мультипликативной ренормировки данной модели. Как следствие,уравнение Дайсона приобретает вид (см.
(3.4))7322Γαβ2 = −iωδαβ + ν0 p⊥ · δαβ + ν0 f0 · (pn) · δαβ ++ν0f0u0 · (pn)2 · nα nβ − Σαβ .(3.31)Данный факт означает, что новая структура ν0f0 u0 · (pn)2, которая при таком способе рассмотрения наводится из ренормировки, должна быть включена в функционал действия (2.10). Что, в свою очередь, означает, чтопропагаторы (2.15a), (2.15b) изменят свой вид.Обозначим индексную структуру выражения (3.31) как Mαβ , т. е.Mαβ = −iωδαβ + ν0 p2⊥ · δαβ ++ν0 f0 · (pn)2 · δαβ + ν0f0 u0 · (pn)2 · nα nβ .(3.32)В соответствии с общими правилами (см. раздел 2.1) для того, чтобы вы−1числить пропагатор hθθ′i0, необходимо вычислить обратную матрицу Mαβ.При этом необходимо учитывать, что:(1) Поскольку поля θ и θ ′ являются поперечными, на самом−1деле вместо матрицы Mαβ(p) необходимо найти матрицу Nij−1(p) =[Piα (p)Mαβ (p)Pβj (p)]−1.(2) Единичным оператором на поперечном подпространстве являетсяпоперечный проектор, поэтому матрица Nij−1 (p) ищется из условия−1Nij (p) · Njk(p) = Pik (p).(3.33)74Вычислим матрицу Nij , т.
е. свертку матрицы Mij с поперечнымипроекторами:Nij (p) = Piα (p)Mαβ (p)Pβj (p) == −iωPij (p) + ν0p2⊥ Pij (p)++ν0 f0(pn)2Pij (p) + ν0f0u0 (pn)2n̂in̂j ≡≡ X · Pij (p) + Y · n̂in̂j ,(3.34)где X и Y являются коэффициентами при индексных структурах Pij (p) иn̂1n̂2 , а единичный вектор n̂k равенn̂k = Pmk (p)nm = nk − pkpk /p2.(3.35)−1Учитывая (3.34), найдем матрицу Njk, удовлетворяющую усло-вию (3.33).
Она обладает той же индексной структурой, что и Njk , но сдругими коэффициентами. Обозначим их как x и y, тогда(X · Pij (p) + Y · n̂i n̂j ) · (x · Pjk (p) + y · n̂j n̂k ) = Pik (p).(3.36)Из (3.36) следует, чтоx = 1/X ,(3.37a)y = −Y/X (X + Y sin2 κ),(3.37b)где κ является углом между векторами n и p. Таким образом настоящийпропагатор hθj θk′ i0 равенhθj θk′ i0 = x · Pjk (p) + y · n̂j n̂k ,где коэффициенты x и y определены в (3.37).(3.38)75Для вычисления аномальных размерностей необходимо вычислитьрасходящиеся части диаграмм, изображенных на рисунках 2.5 и 4.1, т. е.выражения (2.29) и (4.7).Из (3.34) и (3.37b) следует, что y как функция ω имеет вид(pn)2.y = −Y/X (X + Y sin κ) ∝(−iω + η1)(−iω + η2 )2(3.39)Это означает, что интеграл по частоте от выражения (3.39) сходится ине требует каких–либо доопределений, в отличии, например, от ситуации,описанной в приложенни B.1.
Учитывая, что выражения (2.29) и (4.7) пропорциональны δ(pk), получаем, что после интегрирования по частоте ω иимпульсу p, выражение (3.39) не дает вклада в расходящиеся части данныхдиаграмм.Это означает, что единственный ненулевой вклад дает член x · Pjk (p),т. е.hθj θk′ i0 =Pjk (p),−iω + ν0 p2⊥ + ν0 f0p2k(3.40)что совпадает с (2.15a). При этом необходимо иметь в виду, что при вычислении конечных частей диаграмм (что в данной работе не требуется) членс y также будет давать ненулевой вклад.3.2.Модель №23.2.1.Уравнение РГ. β– и γ–функцииРенормировка модели №2 осуществляется схемой, аналогичной модели №1 и описанной в разделах 3.1.1 — 3.1.3.
Уравнение Дайсона для парнойкорреляционной функции (см. (2.51)) имеет видΓ2 (ω, k) = −iω + ν0 k 2 − Σ(ω, k).(3.41)76Подставляя Σ из (2.72), получаемd − 1 Sd m−ξ2Γ2 = −iω + ν0 k 1 + g0.2d (2π)d ξ(3.42)Из уравнения Дайсона следует, чтоg0 = gµξ Zg ,ν0 = νZν ,Zg = Zν−1.(3.43)Как и в разделе 3.1.1, здесь g ≡ ĝ · Cd−1 , µ является ренормировочноймассой, ν и g являются ренормированными аналогами затравочных параметров ν0 и g0, Zi = Zi (g, ξ, d) — константы ренормировки; всюду вдальнейшем будет использоваться схема минимальных вычитаний (MS).Уравнения (3.43) следуют из условия отсутствия ренормировки вклада сDv−1 в действие (2.42), т.
о. D0 ≡ g0 ν0 = gµξ ν. Как и в случае анизотропной модели (2.10), «масса» m и поля Φ не ренормируются, т. е. m0 = m иZΦ = 1 для всех Φ. Ренормированный функционал действия имеет видSR (Φ) = θi′ Dθ θk′ /2 − viDv−1 vk /2 + θk′ −∂t θk − (vi∂i )θk + (θi∂i)vk + νZν ∂ 2θk ,(3.44)где функция Dv (2.41) выражена через ренормированные параметры (3.43).eµ на правую и левую части равенства F =Действуя оператором DZ · F R , получаем уравнение РГ в видеDRG + γF FR = 0,(3.45)где γF является аномальной размерностью F , а РГ–оператор DRG равенDRG = Dµ + β∂g − γν Dν .(3.46)Здесь и далее Dx ≡ x∂x для любой переменной x. РГ–функции β и γопределяются как77eµ g = g · [−ξ − γg (g)],βg ≡ Deµ ln ZF = βg ∂g ln ZFγF ≡ Dдля всех ZF .(3.47a)(3.47b)(см.
приложение C.1).Из уравнения Дайсона (3.42) следует, что константа ренормировки Zνи аномальная размерность γν равныZν = 1 −d−1 g· + O g2 ,2dξγν =d−1· g.2d(3.48)(3.49)Из соотношения (3.43) для константы g следует, чтоZg · Zν = 1,(3.50)поэтомуγg = −γν = −3.2.2.d−1· g.2d(3.51)ИК–притягивающая неподвижная точкаВ соответствии с приложением C.3, главный член ИК–асимптотикидается подстановкой g = g ∗ , где g ∗ определяется из условия на β–функцию:βg = 0,∂g βg > 0.(3.52)Учитывая (3.51), для константы взаимодействия g получаем условиеβg = g(−ξ + γν ) = 0,(3.53)78откуда следует, что неподвижная точка дается выражениемg∗ =2d· ξ,d−1∂g βg (g ∗ ) = ξ > 0.(3.54)Это означает, что система обладает ИК–притягивающей неподвижной точкой g ∗ при любом ξ > 0; в инерционном интервале Λr ≫ 1, mr ∼ 1 корреляционные функции показывают аномальный скейлинг, а соответствующиекритические размерности ∆[F ] ≡ ∆F могут быть вычислены как ряд по ξ.3.2.3.Критические размерностиДля любой мультипликативно ренормируемой величины GR главныйчлен ИК–асимптотики уравнения РГ (3.45), (3.46) удовлетворяет этому жеуравнению в неподвижной точке g ∗ , т.
е.[Dµ − γν∗Dν + γG∗ ] GR (e, µ, . . . ) = 0.(3.55)Каноническая масштабная инвариантность выражается уравнениями"Xα#dkα Dα − dkG GR = 0,"Xα#dωα Dα − dωG GR = 0,(3.56)где α ≡ {t, x, µ, ν, m, M, g} является полным набором аргументов функции GR , а dk и dω — каноническими размерностями GR и α. Подставляяразмерности из таблицы 2.2 в (3.56), находим, чтоDµ + Dm + DM − 2Dν − Dx − dkG GR = 0,[Dν − Dt − dωG ] GR = 0.(3.57a)(3.57b)79Исключая из уравнений (3.55) и (3.57) производные по ИК–несущественным параметрам µ и ν, получаем уравнение критического скейлинга задачи (2.42):[−Dx + ∆t Dt + ∆m Dm + ∆M DM − ∆G ] GR = 0,(3.58)где∆t = −∆ω = −2 + γν∗,∆m = ∆M = 1,(3.59)а∆[G] ≡ ∆G = dkG + ∆ω dωG + γG∗(3.60)является соответствующей критической размерностью.Учитывая точное равенство γν∗ = ξ, а также то, что в данной моделиполя не ренормируются, т.
е. γΦ = 0 для всех Φ, критические размерностиисходных полей равны∆v = 1 − ξ,∆θ = −1 + ξ/2,∆θ′ = d + 1 − ξ/2.(3.61)В силу точного равенства γν∗ = γν (g∗) = ξ вклады порядков ξ 2 и выше ввыражения (3.61) отсутствуют.3.3.Модель №33.3.1.Стохастическое уравнение Навье–Стокса. Ренормировкапараметра ν03.3.1.1.Уравнение РГ. β– и γ–функцииВ случае поля скорости, подчиняющегося стохастическому уравнению Навье–Стокса (2.75), уравнение Дайсона для парной корреляционной80функции (см.
(2.90)) имеет видΓ2, v (ω, p) = −iω + ν0p2 − Σv (ω, p).Подставляя Σv из (2.101), получаем−ξd−1SmdΓ2, v = −iω + ν0p2 1 + g0.4(d + 2) (2π)d ξ(3.62)(3.63)Из уравнения Дайсона следует, чтоg0 = gµξ Zg ,ν0 = νZν ,Zg = Zν−3.(3.64)Также как и в разделах 3.1.1 и 3.2.1, g ≡ ĝ · Cd−1, µ является ренормировочной массой, ν и g являются ренормированными аналогами затравочныхпараметров ν0 и g0 , Zi = Zi (g, ξ, d) — константы ренормировки. Уравнения (3.64) следуют из условия отсутствия ренормировки вклада с Dv−1 вдействие (2.78), т. о.
D0 ≡ g0ν03 = gµξ ν 3. Как и в случае моделей (2.10)и (2.42), «масса» m и поля Φ не ренормируются, т. е. m0 = m и ZΦ = 1 длявсех Φ. Ренормированный функционал действия имеет видSRv (Φ) = vi′ Dv vk′ /2 + vk′ −∂tvk − (vi∂i )vk + νZν ∂ 2vk ,(3.65)где функция Dv (2.76) выражена через ренормированные параметры (3.64).В соответствии с приложением C.1, базовое уравнение РГ имеет видDRG + γF FR = 0,(3.66)где γF является аномальной размерностью F , а РГ–оператор DRG равенDRG = Dµ + β∂g − γν Dν ;РГ–функции определяются как(3.67)81eµ g = g · [−ξ − γg (g)],βg ≡ Deµ ln ZF = βg ∂g ln ZFγF ≡ Dдля всех ZF .(3.68a)(3.68b)Из уравнения Дайсона (3.42) следует, что константа ренормировки Zνи аномальная размерность γν равныZν = 1 −gd−1· + O g2 ,4(d + 2) ξγν =d−1· g.4(d + 2)(3.69)(3.70)Из соотношения (3.64) для константы g следует, чтоZg · Zν3 = 1,(3.71)поэтомуγg = −3γν = −3.3.1.2.3(d − 1)· g.4(d + 2)(3.72)ИК–притягивающая неподвижная точкаВ соответствии с приложением C.3, главный член ИК–асимптотикидается подстановкой g → g ∗ , где g ∗ определяется из условия на β–функцию:βg = 0,∂g βg > 0.(3.73)Учитывая (3.72), для константы взаимодействия g получаем условиеβg = g(−ξ + 3γν ) = 0,(3.74)82т.
о. неподвижная точка дается выражениемg∗ =4(d + 2)· ξ,3(d − 1)∂g βg (g ∗ ) = ξ > 0.(3.75)Это означает, что система обладает ИК–притягивающей неподвижной точкой g ∗ при любом ξ > 0; в инерционном интервале Λr ≫ 1, mr ∼ 1 корреляционные функции показывают аномальный скейлинг, а соответствующиекритические размерности ∆[F ] ≡ ∆F могут быть вычислены как ряд по ξ.3.3.1.3.Критические размерностиДля любой мультипликативно ренормируемой величины GR главныйчлен ИК–асимптотики уравнения РГ (3.66), (3.67) удовлетворяет этому жеуравнению в неподвижной точке g ∗ , т. е.[Dµ − γν∗Dν + γG∗ ] GR (e, µ, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
