Диссертация (1150694), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Это означает, чтопропагатор hθi θk′ i0 является запаздывающим. Как мы впоследствии увидим, данное свойство является причиной тождественного равенства нулювсех многопетлевых диаграмм, входящих в уравнение Дайсона.На самом деле из анализа уравнения Дайсона (см. раздел 3.1.4)следует необходимость введения еще одной структуры в функционалдействия S(Φ), что, в свою очередь, приводит к изменению выражений (2.15a), (2.15b).

При этом оказывается, что на самом деле полученнаятаким образом аддитивная добавка не требуется, т. к. дает нулевой вкладпри вычислении расходящихся частей всех необходимых диаграмм.332.2.3.Канонические размерностиАнализ УФ–расходимостей основан на анализе канонических размерностей 1–неприводимых функций Грина. В отличии от статических, динамические модели имеют 2 независимые канонические размерности — импульсную размерность dkF и частотную размерность dωF . Таким образом длялюбой величины F верноωk[F ] ∼ [T ]−dF [L]−dF ,(2.17)где T и L являются некоторыми масштабами времени и длины.Размерности всех величин находятся из нормализационного условияdkk = −dkx = 1, dωk = −dωx = 0, dωω = −dωt = 1, dkω = dkt = 0 и требования,чтобы все члены в функционале действия (2.10) были безразмерными (поотдельности по импульсной и частотной размерностям).Основываясь на dkF и dωF и учитывая, что в функционал действия (2.10) входит комбинация ∂t + const · ∂ 2, т.

е. ∂t ∝ ∂ 2, можно ввестиканоническую размерностьdF = dkF + 2dωF ,(2.18)которая играет в теории перенормировки динамических моделей такую жероль, как и обычная (импульсная) размерность для статических моделей.Канонические размерности полей и параметров модели (2.10) представлены в таблице 2.1, включая ренормированные аналоги, которые будутвведены позже. В работе [59] рассматривалась скалярная вресия данноймодели. Оказывается, что в этом случае возможно ввести не один, а дванезависимых пространственных масштаба, каждый из которых отвечает за34Таблица 2.1. Канонические размерности полей и параметров в модели (2.10).Fθ′θvdωF1/2−1/210100000dkFd0−11−2000ξ0dFd+1−1110000ξ0M, m, µ, Λ ν, ν0 A, A0 f, f0 u, u0 ĝ0 , g0ĝ, gперепеникулярное и параллельное по отношению к вектору n направление.Это означает, чтоω⊥k[F ] ∼ [T ]−dF [L⊥]−dF [Lk]−dF ,(2.19)где L⊥ и Lk являются двумя независимыми пространственными масштабаkми, а d⊥F и dF — двумя независимыми каноническими размерностями.

Однако в данной (векторной) задаче существует дополнительное условие —условие поперечности полей θ и θ ′ : ∂i θi = ∂i θi′ = 0, которое запрещаетсуществование двух независимых пространственных масштабов (подробнее см. приложение B.2). В частности это означает, что введенная в (2.9)константа f0 является безразмерной.Из таблицы 2.1 следует, что данная модель является логарифмической (константа взаимодействия g0 ∼ [L]−ξ безразмерная) при ξ = 0, т. о.УФ–расходимости функций Грина проявляются в виде полюсов по ξ.Учитывая (2.18), канонические размерности произвольных 1–неприводимых функций Грина Γ = hΦ . .

. Φi1-непр даются соотношениемdΓ = d + 2 −XΦNΦ dΦ = d + 2 − Nθ ′ dθ ′ − Nθ dθ − Nv dv .(2.20)Здесь NΦ = {Nθ , Nθ′ , Nv } является числом полей, входящих в данную35функцию Грина; в формуле (2.20) и всех аналогичных суммирование повсем типам полей подразумевается. Поскольку в логарифмической теорииконстанта связи является безразмерной, NΦ в формуле (2.20) и аналогичных можно рассматривать как число внешних полей.Поверхностные УФ–расходимости, для устранения которых необходимо введение контрчленов, присутствуют только в тех функциях Γ, длякоторых формальный индекс расходимости dΓ является целым неотрицательным числом.

При этом необходимо учитывать, что(1) Для любой динамической модели вида (2.2) 1–неприводимыефункции Грина, не содержащие дополнительного поля θ ′ (т. е. те, длякоторых Nθ′ = 0), содержат замкнутые циклы запаздывающих пропагаторов (2.16a) и таким образом обращаются в нуль.(2) Для любой 1–неприводимой функции Грина Nθ′ − Nθ = 2N0,где N0 ≥ 0 является числом затравочных пропагаторов hθθi0 , входящихв любую из ее диаграмм. Данное соотношение следует из того, что вершина (2.11) содержит по одному полю θi и θk′ , т. е. линии hθiθk i и hθiθk′ i«не ветвятся», и может быть легко проверено для любой заданной функции; к примеру, для функции, изображенной на рисунке 2.7, Nθ′ = Nθ = 1,N0 = 0.(3) Используя условия поперечности полей θ и v, а именно ∂ivi =∂iθi = 0, можно перебросить производную в вершине −θk′ (vi∂i)θk + A0 ·θk′ (θi∂i )vk на поле θk′ .

Таким образом в любой 1–неприводимой диаграммевсегда можно перенести производную на «внешнее» поле θk′ , уменьшив таким образом индекс расходимости: d′Γ = dΓ − Nθ′ . Поле θk′ при этом будетвходить в контрчлен только в виде производных ∂iθk′ .36Стоит отметить, что при отсутствии второго члена в вершине (как вслучае скалярного поля, так и в случае A–модели при A = 0) под производной могут находиться как поле θ, так и поле θ ′ , поэтому в этом случаеd′Γ = dΓ − Nθ′ − Nθ .Из таблицы 2.2 и (2.20) следует, что формальный индекс расходимостиdΓ = d + 2 − (d + 1)Nθ′ + Nθ − Nv ,(2.21)реальный индекс расходимостиdΓ′ = (d + 2)(1 − Nθ′ ) + Nθ − Nv .(2.22)Таким образом, для любой размерности пространства d поверхностные расходимости могут присутствовать только в 1–неприводимых функциях 2типов:• hθ′ θ .

. . θi1-непр, для которых Nθ′ = 1, а Nθ является произвольным;для таких диаграмм dΓ = 2, d′Γ = 0. При этом из пункта 2 следует,что для любой функции верно неравенство Nθ′ ≥ Nθ , поэтому существует только одна поверхностно расходящаяся функция, а именноhθα′ θβ i1-непр .• hθ′ θ . . . θv . . . vi1-непр, для которых Nθ′ = 1, Nθ = Nv = A, где A —любое произвольное число; для данных диаграмм dΓ = 1, d′Γ = 0.Учитывая условие Nθ′ ≥ Nθ , получаем, что существует только одна поверхностно расходящаяся функция, а именно hθα′ θβ vγ i1-непр . Приэтом из (2.7) и (2.16a) следует, что диаграммы, отвечающие данному контрчлену, тождественно равны нулю из–за замкнутого циклазапаздывающих пропагаторов.372.2.4.Уравнение Дайсона′Введем обозначение Γαβ2 ≡ hθα θβ i1-непр .

Данная функция удовлетво-ряет стандартному уравнению Дайсона, которое в импульсно–частотномпредставлении имеет вид22Γαβ2 = −iω · δαβ + ν0 p⊥ · δαβ + ν0 f0 · (pn) · δαβ − Σαβ ,(2.23)где Σαβ является оператором собственной энергии, диаграммное представление для которого показано на рисунке (2.5).Рис. 2.5. Диаграммное представление оператора собственной энергии Σαβ .Многоточием обозначены 2–, 3–, и прочие N–петлевые диаграммы. Приэтом, благодаря δ–корреляции по времени (см. (2.7)) и наличию запаздывающего пропагатора (2.16a), все многопетлевые диаграммы содержат замкнутые циклы таких пропагаторов и тождественно равны нулю.

Например, для диаграмм, изображенных на рисунках 2.6а и 2.6б, аналитическиевыражения равныI1 ∝ θ(t1 −t2 )θ(t2 −t3 )θ(t3 −t4 )δ(t1 −t3 )δ(t2 −t4 ) ∼= θ(t3 −t2 )θ(t2 −t3 ), (2.24)I2 ∝ θ(t1 −t2 )θ(t2 −t3 )θ(t3 −t4 )δ(t1 −t4 )δ(t2 −t3 ) ∼= θ(t4 −t2 )θ(t2 −t4 ). (2.25)38Рис. 2.6. Некоторые многопетлевые диаграммы оператора собственнойэнергии Σαβ .Поэтому оператор собственной энергии Σαβ в (2.23) целиком представим в виде однопетлевого приближенияZZDv (k)dkdωhi × Jαβ , (2.26)Σαβ (ω, p) =2π(2π)d −iω + ν (p + k)2 + f (p + k)200⊥kгде индексная структура Jαβ равнаJαβ = Vα ab (p)Vd cβ (p + k)Pbd (p + k)na nc .(2.27)Здесь Vc ab (p) — вершина (2.12), Dv (k) определено в (2.8); греческие буквыα, β и римские буквы a — d являются векторными индексами пропагаторов(2.6), (2.15a) и (2.15b) (суммирование по повторяющимся индексам подразумевается).

Поскольку для процедуры ренормировки необходимо вычислить только расходящуюся часть (а индекс расходимости данной диаграмыdΓ = 2), необходимо вычислить только член, пропорциональный p2 . Привычислениях необходимо учитывать, что(1) Т. к. множитель Dv в корреляторе скорости (2.8) пропорционален δ(kk ), все члены, пропорциональные kk, окажутся равными нулю послеинтегрирования по импульсу k.39(2) Как основное поле θ, так и вспомогательное поле θ ′ являютсяпоперечными: ∂β θβ = pβ θβ = 0; ∂α θα′ = pα θα′ = 0. Поэтому все члены, пропорциональные pα или pβ окажутся равны нулю после свертки с внешнимиполями θ или θ ′ (см.

рисунок 2.5).Это дает следующее выражение для индексной структуры диаграммыΣαβ :Σαβ ∝ Jαβkα⊥ kβ⊥(pn)kβ nα.= δαβ · (pn) + (A − 1) · (pn) · 2 − A(A − 1) · (pk) ·kk2(2.28)22Теперь необходимо проинтегрировать выражение (2.26) по d–мерномуимпульсу k и частоте ω:ZZdω1dkhi×Σαβ = i2 ·d2π(2π) −iω + ν (p + k)2 + f (p + k)200⊥kd−1+ξ.×2πδ(kk ) D0 · Jαβ /k⊥(2.29)Интегрирование по частоте является тривиальным: благодаря доопределению Θ–функции при совпадающих аргументах (см.

приложение B.1)Zdω11hi= .2π −iω + ν (p + k)2 + f (p + k)2200⊥k(2.30)Для интегрирования по вектору k необходимо усреднить данное выражение по углам, а затем выполнить интегрирование по модулю k ≡ |k|:ZZ ∞dk · f (k) = Sd ·dk · hf (k)i ,(2.31)mгде Sd = 2π d/2/Γ(d/2) является площадью поверхности единичной сферыв d–мерном пространстве; см. [21].40Таким образом необходимо усреднить по направлениям выраженияkα⊥kβ⊥ /k 2 и (pk)kβ /k 2. Начнем с первого из них. Поскольку ki и kj являютсянезависимыми компонентами вектора k, их среднее значениеki kj∝ δij .(2.32)k2Это означает, что среднее значение ki⊥kj⊥ пропорционально той же матри-це с единственным отличием – среднее значение отсутствующих элементовkk kk равно нулю.

Поэтому*ki⊥ kj⊥2k⊥+∝ Pij (n),(2.33)где Pij (n) = δij − ninj — поперечный проектор на единичный вектор n.Для того чтобы найти коэффициент пропорциональности, необходимо рассмотреть поперечный проектор на вектор k⊥ и его среднее значение:hPij (k⊥ )i = Pii (k⊥) = d − 1.(2.34)С другой стороны из (2.33) следует, чтоhPij (k⊥)i = d −*ki⊥ kj⊥2k⊥+= d − C · (d − 1).(2.35)Таким образом из выражений (2.34) и (2.35) находим константу C: C =1/(d − 1), т.

Характеристики

Список файлов диссертации