Диссертация (1150694), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Будет показано, чтоматрица ренормировки дается своим однопетлевым приближением точно;приведены выражение для матрицы аномальных размерностей и матрицыкритических размерностей. В частности будет доказано, что матрица аномальных размерностей является нильпотентной, следствием чего являетсяневозможность диагонализации матрицы критических размерностей. В результате вместо степенной зависимости от внешнего масштаба асимптотикапарной корреляционной функции является логарифмической.В пятой главе методы ренормгруппы и операторного разложенияприменяются к изучению асимптотики корреляционных функций в моделях №2 (ансамбль скорости Казанцева–Крейчнана) и №3 (скорость средыописывается с помощью стохастического уравнения Навье–Стокса). Будетустановлено наличие аномального скейлинга и вычислены соответствующие аномальные показатели в двухпетлевом (для модели №2) и однопетлевом (для модели №3) приближениях.17В заключении суммируются основные результаты работы.В приложениях обсуждаются вопросы, связанные с постановкой задачи (приложения к Главе 1), квантово–полевой формулировкой (приложения к Главе 2) и уравнениями ренормгруппы (приложения к Главе 3).181.

Модель Крейчнана и стохастическиедифференциальные уравнения переноса пассивногополя1.1.ВведениеВ течение последних десятилетий большое внимание уделяется про-блеме перемежаемости и аномального скейлинга в развитой МГД турбулентности, см. обзор [24] и имеющиеся в нем ссылки.

Известно, что в т. н.Альфвеновском режиме МГД турбулентность демонстрирует поведение,подобное обычной развитой гидродинамической турбулентности: существует каскад энергии из инфракрасной области к меньшим масштабам, на которых доминирует диссипация, а также автомодельное (скейлинговое) поведение спектра энергии в промежуточном (инерционном) интервале. Более того, перемежающийся характер флуктуаций в МГД турбулентностивыражен гораздо ярче, чем в обычной турбулентной жидкости.Различные модели и подходы к МГД турбулентности можно «тестировать» в процессах, происходящих в солнечной короне — т.

н. «аэродинамических трубах», см. [3–7]. В солнечных вспышках высокоэнергичные исильно анизотропные крупномасштабные движения сосуществуют с мелкомасштабными когерентными структурами, ответственными за диссипацию. Поэтому описание процессов, в которых энергия перераспределяетсяпо спектру и в конечном счете диссипирует, является достаточно сложной19задачей.

Перемежаемость существенно изменяет поведение корреляционных функций высших порядков и приводит к возникновению аномальногоскейлинга, характеризуемого бесконечным набором аномальных показателей.Упрощенное описание ситуации состоит в том, что крупномасштабноеполе Bi0 = niB 0 выделяет определенное направление n, а динамика флуктуаций в перпендикулярной плоскости описывается как независимая и квазидвумерная [8].

Такой подход позволяет осуществлять довольно точноечисленное моделирование. Однако наблюдения показывают, что скейлинговое поведение в солнечной короне ближе к обычному аномальному скейлингу в трехмерной турбулентности, чем к простому скейлингу Ирошникова–Крейчнана, свойственному двумерной задаче с обратным потоком энергии [3]. Таким образом, дальнейшее изучение проблемы в рамках болеереалистических моделей является актуальной задачей.В реальной физической задаче поле среды v(x) удовлетворяет уравнению Навье–Стокса с дополнительными членами, описывающими обратноевлияние переносимого поля θ(x) на поле скорости. При этом при изучении данных (полномасштабных) моделей возможны два упрощения.

Во–первых, магнитное поле θ(x) может быть выбрано пассивным, т. е. неимеющим обратного влияния на динамику поля скорости (т. н. кинематический режим). Данное приближение верно при не слишком большихградиентах магнитного поля; предполагается, что на начальных стадияхполе θ(x) является слабым и не влияет на движение проводящей жидкости. В работах [36, 37] показано, что РГ–анализ такого кинематическогорежима успешно описывает ИК–асимптотику моделей данного типа.20Во–вторых, поскольку описание турбулентного движения жидкостисамо по себе является сложной задачей, а мы ограничиваемся рассмотрением пассивных полей примеси, поле среды может быть задано с помощьюнекоторого статистического ансамбля.

Данное упрощение будет применяться при моделировании поля скорости ансамблями Казанцева–Крейчнана иАвельянеды–Майда; также в диссертации рассматривается модель, в которой поле скорости подчиняется непосредственно стохастическому уравнению Навье–Стокса, при этом на данный момент удалось вычислить толькопервый порядок ξ–разложения.В отличии от скалярного случая, стохастическое уравнение для векторных полей в дополнение к члену, отвечающему за диффузию, содержитеще один — т. н. «растягивающий» член.

Благодаря этому асимптотикаинерционного интервала таких полей является более интересной, чем у ихскалярных аналогов; см. [28–35, 38–42]. В частности, аномальный скейлингможет проявляться уже на уровне парной корреляционой функции [34,35];также имеют место крупномасштабные нестабильности, которые можнорассматривать как эффект турбулентного динамо, см. [34, 38, 43].1.2.Изотропная модель КрейчнанаВ оригинальной модели Крейчнана пассивное поле θ(x) ≡ θ(t, x), гдеx = {t, x}, является скалярным, а уравнение диффузии имеет вид∇tθ = ν0∆θ + f,∇ t ≡ ∂t + v i ∂i .(1.1)Символами ∂t ≡ ∂/∂t, ∂i ≡ ∂/∂xi обозначены производные по времении по координатам, ν0 является коэффициентом диффузии, ∆ — оператор21Лапласа, v(x) ≡ {vi(x)} — поперечное (в силу несжимаемости) поле скорости, f ≡ f (x) — случайная сила, обладающая гауссовым распределением снулевым среднем и корреляционной функцией видаhf (x)f (x′)i = δ(t − t′ ) C(r/L),r = |x − x′ | .(1.2)Параметр L ≡ M −1 является внешним масштабом турбулентности, связанным со сторонней силой, а C(r/L) — некоторая функция, конечная приL → ∞.Поле скорости v(x) было выбрано гауссовым, с нулевым временемкорреляции, статистически изотропным и несжимаемым, с парной корреляционной функцией вида′′hvi (x)vj (x )i = δ(t − t )Zdk1′P(k)Deik·(x−x ) ,ij0dd+ξkk>m (2π)(1.3)где Pij (k) = δij − ki kj /k 2 — поперечный проектор, k ≡ |k| — волновоечисло, d — размерность пространства, D0 > 0 — амплитудный множитель,e (радиусвеличина 1/m, являющаяся внешним масштабом турбулентности Lкорреляций поля скорости), обеспечивает ИК–регуляризацию, ξ — произвольный показатель (с наиболее реалистичным «колмогоровским» значеe связанный снием ξ = 4/3).

Для простоты данный внешний масштаб L,полем скорости, отождествляется с внешним масштабом случайной силыL, упоминавшимся ранее в (1.2).Ансамбль скорости (1.3) содержит δ–функцию по времени как следствие галилеевой инвариантности; подробнее см. приложение A.1.2.СоотношенияD0 /ν0 = ĝ0 ≡ Λξ(1.4)22определяют константу взаимодействия ĝ0 , которая с точностью до численного множителя является параметром разложения теории возмущений, ихарактерный малый масштаб Λ, на котором определяющую роль начинаетиграть вязкость.1.3.Стохастическое уравнение переноса векторного поляДанная постановка задачи, описываемая уравнениями (1.1) — (1.3),позволяет различные обобщения на более сложные физические ситуации.Например, вместо скалярного пассивного поля θ(x) и уравнения диффузии (1.1) можно рассматривать векторное поле θ(x) и линеаризованноеуравнение магнитной гидродинамики (см.

приложение A.2), описывающееэволюцию флуктуирующей компоненты магнитного поля в присутствииосновной компоненты θ o , меняющейся на очень больших масштабах:∂t θi + ∂k (vk θi − vi θk ) = ν0 ∂ 2θi + fi ,(1.5)где как поле v, так и поле θ являются поперечными (бездивергентными)векторными полями: ∂i vi = ∂iθi = 0.Также можно рассматривать линеаризацию уравнения Навье–Стоксавблизи фонового быстро меняющегося поля скорости, что дает аналогичноеуравнение с точностью до знака:∂t θi + ∂k (vk θi + viθk ) + ∂i P = ν0 ∂ 2θi + fi ,(1.6)где P — давление.Уравнения (1.5) и (1.6) можно объединить введением нового параметра A0 :∂t θi + ∂k (vk θi − A0 viθk ) + ∂iP = ν0∂ 2θi + fi.(1.7)23При этом предполагается, что A0 принимает не только значения ±1, нои все остальные числовые значения.

Благодаря этому возникает еще одининтересный случай: при A0 = 0 в уравнении (1.7) отсутствует «растягивающий» член ∂k (viθk ), поэтому модель обладает дополнительной симметрией сдвига θi → θi + consti . Благодаря этому основной вклад в аномальнуюразмерность дается составными операраторами, построенными не из самихполей, а из их производных. Необходимо отметить, что для ренормировкивведенного параметра A0 необходима собственная ренормировочная константа ZA , которая может оказаться нетривиальной [41].Введение члена ∂P в уравнения (1.6) и (1.7) необходимо для согласования динамики с условиями поперечности ∂i θi = 0, ∂i vi = 0.

Благодаряэтому давление может быть выражено как решение уравнения Пуассона(подробнее см. в приложении A.3):∂ 2P = (A0 − 1) ∂ivk ∂k θi.(1.8)При рассмотрении векторных полей, уравнение диффузии для которых представлет собой уравнение вида (1.5) — (1.7), случайная внешняясила f также должна быть векторной. При этом по прежнему предполагается, что она обладает гауссовым распределением с нулевым средним, авместо корреляционной функции (1.2) необходимо рассматривать коррелятор видаhfi (t, x) fk (t′ , x′ )i = δ(t − t′ ) Cik (r/L),(1.9)где r = x − x′ , r = |r|, параметр L ≡ M −1 является внешним масштабом турбулентности, связанным со сторонней силой, а Cik — безразмерныефункции, конечные при r/L → 0 и убывающие при r/L → ∞.241.4.Анизотропная модель КрейчнанаПоле скорости v, описывающее переносящую среду и заданное в мо-дели Крейчнана с помощью парного коррелятора (1.3), также может бытьмодифицировано в связи с различными физическими ситуациями. Можнорассматривать такие эффекты, как сжимаемость среды, конечное времякорреляции, анизотропию.Для введения анизотропии ансамбль поля скорости может быть модифицирован несколькими способами.

Характеристики

Список файлов диссертации