Диссертация (1150694), страница 7
Текст из файла (страница 7)
2.8. Диаграммное представление тройной вершины Vcθab .Рис. 2.9. Диаграммное представление тройной вершины Vcvab .Рис. 2.10. Диаграммное представление пропагатора hθi θk′ i0.Рис. 2.11. Диаграммное представление пропагатора hθi θk i0.52Рис. 2.12. Диаграммное представление пропагатора hvi vk′ i0.Рис. 2.13. Диаграммное представление пропагатора hvi vk i0.Здесь и далее перечеркнутый конец соответствует полю θ ′ , конец без черты — полю θ.В импульсно–частотном представлении вершинам соответствуютмножители′′Vcθab = iδbc pθa − iA0 δac pθb ,′′Vcvab = iδbc pva + iδac pvb ,′(2.81)(2.82)′где pθ — импульс поля θ ′ , а pv — импульс поля v′ .Пропагаторам в импульсно–частотном представлении отвечают выраженияPik (k),−iω + κ0 k2(2.83a)Cik (k),ω 2 + κ20 k4(2.83b)hvivk′ i0 =Pik (k),−iω + ν0 k2(2.83c)hvivk i0 =Pik (k)dη (k),ω 2 + ν02k4(2.83d)hθiθk′ i0 =hθi θk i0 =53где Cik (k) является фурье–образом функции Cik (r/L) из (2.74), а dη (k)определено в (1.18).Вимпульсно–временномпредставлениипропагаторам(2.83a)и (2.83c) отвечают выраженияhθiθk′ i0 = Pik (k) · Θ(t − t′ ) exp −(t − t′ )ǫθk ,hvivk′ i0 = Pik (k) · Θ(t − t′ ) exp {−(t − t′ )ǫvk } ,(2.84a)(2.84b)где ǫθk = κ0 k2 , а ǫvk = ν0k2 .
Выражения (2.84) означают, что пропагаторыhθiθk′ i0 и hvi vk′ i0 являются запаздывающими.2.4.3.Канонические размерностиКанонические размерности полей и параметров модели (2.77) представлены в таблице 2.3, включая ренормированные аналоги, которые будут введены позже. Вычисления основываются на том, что каждый членфункционала действия должен быть безразмерным, и для данной задачинаходятся в приложении B.3.Роль констант связи играют три параметра: g0 ≡ D0 /ν03, A0 и безразмерная величина u0 = κ0 /ν0, являющаяся аналогом обратного числаПрандтля в скалярном случае. Как и в моделях №1 и №2, любая величинаимеет две независимых размерности — частотную и импульсную, т.
е.ωk[F ] ∼ [T ]−dF [L]−dF ,где T и L являются временны́м и пространственным масштабами.(2.85)54Таблица 2.3. Канонические размерности полей и параметров в модели(2.77).Fθ′θv′vdωF1/2−1/2−11dkFd0dFd+1−1M, m, µ, Λ ν, ν0, κ, κ0 A, A0 u, u0 ĝ0 , g0010000d + 1 −11−200ξ0d−11000ξ01Из таблицы 2.3 следует, что данная модель является логарифмической (константа взаимодействия g0 ∼ [L]−ξ является безразмерной) приξ = 0; константы взаимодействия A0 и u0 являются безразмерными прилюбых d и ξ. Таким образом УФ–расходимости функций Грина проявляются в виде полюсов по ξ.Аналогично разделу 2.2.3, канонические размерности произвольных1–неприводимых функций Грина Γ = hΦ . .
. Φi1-непр даются соотношениемdΓ = d + 2 −ĝ, gXΦNΦ dΦ = d + 2 − Nθ ′ dθ ′ − Nθ dθ − Nv dv − Nv ′ dv ′ ,(2.86)где NΦ = {Nθ , Nθ′ , Nv , Nv′ } является числом полей, входящих в даннуюфункцию Грина.Поверхностные УФ–расходимости, для устранения которых необходимо введение контрчленов, присутствуют только в тех функциях Γ, длякоторых «формальный индекс расходимости» dΓ является целым неотрицательным числом. Кроме того, как и в разделе 2.2.3, необходимо учитыватьследующие замечания:(1) Для любой динамической модели вида (2.77), 1–неприводимыефункции Грина, не содержащие дополнительных полей θ ′ или v′ (т. е. те,55для которых Nθ′ = Nv′ = 0), содержат замкнутые циклы запаздывающихпропагаторов (2.84a) либо (2.84b), и таким образом обращаются в нуль.(2) Для любой 1–неприводимой функции Грина Nθ′ − Nθ = 2N0, гдеN0 ≥ 0 является числом затравочных пропагаторов hθθi0 , входящих в любую из ее диаграмм.
Поскольку вершина Vcvab (2.80) содержит два поля v,линии hvv ′ i «ветвятся» и для полей v и v ′ подобное соотношение не верно.(3) Используя условия поперечности полей θ и v, а именно ∂ivi =∂iθi = 0, можно перебросить производную в вершине −θk′ (vi∂i )θk +A0 θk′ (θi∂i )vk на поле θk′ . Таким образом в любой 1–неприводимой диаграмме всегда можно перенести производную на «внешнее» поле θk′ , уменьшивтаким образом индекс расходимости на величину Nθ′ ; в свою очередь в вершине vk′ (vi∂i)vk можно перебросить производную на поле v ′ , что приводитк уменьшению индекса расходимости на величину Nv′ ; поля θ и v целикомпоместить под производную не удается. Таким образом d′Γ = dΓ − Nθ′ − Nv′ .Поля θk′ и vk′ при этом будут входить в контрчлен только в виде производных ∂i θk′ , ∂ivk′ .Из таблицы 2.3 и (2.86) следует, что формальный индекс расходимостиdΓ = d + 2 − (d + 1)Nθ′ + Nθ − Nv − (d − 1)Nv′ ,(2.87)а реальный индекс расходимостиdΓ′ = (d + 2)(1 − Nθ′ ) + Nθ − Nv − dNv′ .(2.88)Таким образом, для любой размерности пространства d поверхностные расходимости могут присутствовать в 1–неприводимых функциях 3 типов:• hθ′ θ .
. . θi1-непр, для которых Nθ′ = 1, Nv′ = Nv = 0, а Nθ является про-56извольным; для таких диаграмм dΓ = 2, d′Γ = 0. При этом из пункта 2следует, что для любой функции верно неравенство Nθ′ ≥ Nθ , т. о. существует только одна поверхностно расходящаяся функция, а именноhθα′ θβ i1-непр ;• hvα′ vβ i1-непр , для которой Nv′ = Nv = 1, Nθ′ = Nθ = 0; для даннойдиаграммы dΓ = 2, d′Γ = 1;• hvα′ vβ vγ i1-непр , для которой Nv′ = 1, Nv = 2, Nθ′ = Nθ = 0; для даннойдиаграммы dΓ = 1, d′Γ = 0. Покольку индекс расходимости dΓ = 1,контрчлен должен быть пропорционален ∂ivk , при этом в силу пункта3 любой контрчлен должен иметь по одной пространственной производной на каждое вспомогательное поле.
Это требование исключает контрчлен v ′ ∂t v, вследствие чего исключается также и структураv ′ (v∂)v, поскольку в силу галилеевой симметрии они должны входитьв контрчлены только в галилеево–инвариантных комбинациях v ′ ∇tv(подробнее см. приложение A.1.1).• hθ′ θ . . . θv . . .
vi1-непр, для которых Nθ′ = 1, Nθ = Nv = A, где A —любое произвольное число; для данных диаграмм dΓ = 1, d′Γ = 0. Приэтом в силу условия Nθ′ ≥ Nθ оказывается, что существует толькоодна поверхностно расходящаяся функция, а именно hθα′ θβ vγ i1-непр .2.4.4.Уравнение Дайсона для функции hvα′ vβ i1-непр′Введем обозначение Γαβ2, v ≡ hvα vβ i1-непр . Данная функция удовлетво-ряет стандартному уравнению Дайсона, которое в импульсно–частотномпредставлении имеет вид572vΓαβ2, v Pαβ (p) = [−iω + ν0 p ]Pαβ (p) − Σαβ ,(2.89)где Σvαβ является оператором собственной энергии, диаграммное представления для которого показано на рисунке (2.14).Рис.
2.14. Диаграммное представление оператора собственной энергии Σvαβ .Как и в разделах 2.2.4 и 2.3.3, благодаря δ–корреляции по времени и наличию запаздывающего пропагатора (2.84b), все многопетлевые диаграммытождественно равны нулю. Поэтому оператор собственной энергии даетсясвоим однопетлевым приближением точно.Взяв след от (2.89), получаем скалярное уравнениеΓ2, v (ω, p) = −iω + ν0p2 − Σv (ω, p),(2.90)Σv (ω, p) ≡ Σvαα (ω, p)/(d − 1).(2.91)гдеvиндексную структуру оператора Σvαα :Обозначим за Jααv= Vαvab(p)Vdvcα (p + k)Pbd (p + k)Pac (k),Jαα(2.92)тогдаΣvαα = i2 ·Zdω2πZdk1dη (k)v··2 4 × Jαα , (2.93)2d2(2π) (−iω + ν0 [p + k] ) (ω + ν0 k )58где dη (k) = D0 /k 4−d−ξ , а D0 = ĝ0 ν03 (см.
раздел 1.5). В отличии от раздела 2.3.3, вершина (2.80) не является поперечной, что делает вычисленияболее громоздкими.Как и в разделах 2.2.4 и 2.3.3, индекс расходимости данной диаграммы dΓ = 2, поэтому необходимо вычислить только члены, пропорциональные p2.Из явных вычислений следует, чтоvJαα= −p · 2k cos φ · sin2 φ ++p2 · sin2 φ · (d − 2 + cos2 φ) + 2 sin2 φ · cos2 φ − sin4 φ + O p3 , (2.94)где φ — угол между векторами p и k, p и k — модули векторов p и k; всилу того, что dΓ = 2, члены порядка p3 и выше не требуются.Интегрируя (2.93) по частоте, получаемZi2dkdη (k)vvi × Jααh.Σαα = 2 ··d2ν0(2π) k 2 k 2 + (p + k)2(2.95)Учитывая, чтополучаем, что11cos φ2≃−·p+Op2k 22k 3k 2 + (p + k)2Σvααгде1=− 2·4ν0Zdk dη (k)v· 4 × Jeαα,d(2π)k(2.96)(2.97)vJeαα= p2 · sin2 φ · (d − 2 + cos2 φ) + 4 sin2 φ · cos2 φ − sin4 φ + O p3 .(2.98)Для усреднения выражения (2.98) по направлениям воспользуемся формулами, аналогичными разделу 2.3.3, а именноhni1 ni2 in =δi 1 i 2,d(2.99a)59hni1 ni2 ni3 ni4 in =δi 1 i 2 δi 3 i 4 + δi 1 i 3 δi 2 i 4 + δi 1 i 4 δi 2 i 3,d(d + 2)(2.99b)и их следствиями:1cos2 φ n = ,d(2.100a) 4 cos φ n =3.(2.100b)d(d + 2)vУсредняя по направлениям выражение для Jeαα, выполняя в (2.97) интегрирование по k = |k| и учитывая, что Σv = Σvαα /(d − 1) получаем, чтоZ ∞dk111(d − 1)2Σv = − 2 · D0 · p2 ····=4ν0d − 1 m (2π)d k 1+ξd+21d − 1 m−ξ2= − · ĝ0 ν0 · p · Cd ··.4d+2ξ2.4.5.(2.101)Уравнение Дайсона для функции hθα′ θβ i1-непр′Введем обозначение Γαβ2 ≡ hθα θβ i1-непр .
Как и в разделе 2.4.4, дан-ная функция удовлетворяет стандартному уравнению Дайсона, которое вимпульсно–частотном представлении имеет вид2Γαβ2 Pαβ (p) = [−iω + κ0 p ]Pαβ (p) − Σαβ ,(2.102)где Σαβ является оператором собственной энергии, диаграммное представления для которого показано на рисунке (2.15).Также как и в разделах 2.2.4, 2.3.3 и 2.4.4, благодаря δ–корреляции повремени и наличию запаздывающего пропагатора (2.84a), все многопетлевые диаграммы тождественно равны нулю.
Поэтому оператор собственнойэнергии дается своим однопетлевым приближением точно.60Рис. 2.15. Диаграммное представление оператора собственной энергии Σαβ .Взяв след от (2.102), получаем скалярное уравнениеΓ2 (ω, p) = −iω + κ0 p2 − Σ(ω, p),(2.103)Σ(ω, p) ≡ Σαα (ω, p)/(d − 1).(2.104)гдеОбозначим за Jαα индексную структуру оператора Σαα :Jαα = Vαθab(p)Vdθcα (p + k)Pbd (p + k)Pac (k),(2.105)тогда2Σαα = i ·Zdω2πZdk1dη (k)·× Jαα , (2.106)·(2π)d (−iω + κ0 [p + k]2) (ω 2 + ν02k4)где dη (k) и D0 определены в разделе 1.5.Интегрируя (2.106) по частоте, получаемZi2dkdη (k)hi × Jαα ,Σαα = 2 ··2ν0(2π)d k 2 k 2 + u (p + k)2(2.107)0где u0 = κ0 /ν0. Благодаря наличию множителя A0 вершина (2.79) не является поперечной; учитывая, что индекс расходимости данной диаграммыdΓ = 2, для вычисление расходящейся части необходимо вычислить толькочлены, пропорциональные p2.Из явных вычислений следует, чтоJαα = p2 · (d − 1) · sin2 φ + (A − 1) · (−pk cos φ · sin2 φ + p2 sin φ2 ) +61+ (A − 1)2 · (−pk cos φ sin2 φ + p2 cos2 φ sin2 φ) + O p3 ,(2.108)где φ — угол между векторами p и k, p и k — модули векторов p и k.Учитывая, что1u0 cos φ12(2.109)≃·1−2··p+Opk 2 + u0 (p + k)2(1 + u0)k 21 + u0 kполучаемΣθαα1=− 2·2ν0ZгдеθJeααdk df (k)θ·× Jeαα,d4(2π)k(2.110)u02cos φ sin φ2 +1 + u022(2.111)cos φ · sin φ + O p3 .2= p · (d − 1) sin φ + (A − 1) · 1 + 2 ·22+(A − 1) · 1 + 2 ·u01 + u0Для усреднения выражения (2.111) по направлениям воспользуемся фор-мулами (2.100a) и (2.100b); выполняя после этого интегрирование выражения (2.110) по k = |k| и учитывая, что Σθ = Σθαα /(d − 1), получаем1d−1111u0Σθ = − ·p2 · ĝ0 ν0 ·Cd ··+ (A − 1)+2·+21 + u0ddu0 + 1 d(d + 2)+(A − 1)2.4.6.2u01+2·u0 + 11d(d + 2)m−ξ.·ξ(2.112)Вычисление расходящейся части диаграммы hθα′ θγ vβ iОднопетлевое разложение для функции hθα′ θγ vβ i1-непр имеет видhθα′ θγ vβ i1-непр = Vαβγ + (∆1 + ∆2 + ∆3),(2.113)где Vαβγ — вершина (2.79), а ∆1, ∆2 и ∆3 изображены на рисунках 2.16а —2.16в.62Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
