Диссертация (1150694), страница 6
Текст из файла (страница 6)
е.*ki⊥ kj⊥2k⊥+=Pij (n).d−1(2.36)Записывая выражение (2.36) через индексы α, β, сворачивая правую илевую части с импульсом pα и учитывая поперечность поля θ ′ (см. пункт 2),41находим, что среднее значение (pk)kβ /k 2 равно(pk)kβ(pn)1=−· nβ .= pα · Pβα (n) ·2kd−1d−1(2.37)Таким образом, воспользовавшись (2.28), (2.31), (2.36) и (2.37), можно выполнить интегрирование выражения (2.29), в результатеZ ∞1Sd−11+ξΣαβ = − D0·dk⊥/k⊥×d−12(2π)mnnP(n)αβαβ+ A(A − 1) · (pn)2 ·=× δαβ · (pn)2 + (A − 1) · (pn)2 ·d−1d−1−ξ1(A − 1)2d−2+A2 m= − · D0 · Cd−1 ·· δαβ +· nα nβ · (pn) ·, (2.38)2d−1d−1ξгде Cd−1 ≡ Sd−1 /(2π)d−1, а D0 определено в (1.15).2.3.МГД модель Крейчнана (модель №2)2.3.1.Постановка задачи.
Функционал, диаграммная техникаРассмотрим задачу магнитной гидродинамики, описываемую уравнениями (1.5) и (1.9), а именно∂t θi + ∂k (vk θi − vi θk ) = ν0 ∂ 2θi + fi ,(2.39)где ν0 — коэффициент диффузии, а fi — поперечная гауссова случайнаясила с нулевым средним и заданной парной корреляционной функцией:hfi (t, x) fk (t′ , x′ )i = δ(t − t′ ) Cik (r/L).(2.40)Здесь r = x − x′ , r = |r|, параметр L ≡ M −1 является внешним масштабом турбулентности, связанным со сторонней силой, а Cik — безразмерныефункции, конечные при r/L → 0 и убывающие при r/L → ∞.42Поле скорости v(x) выбирается гауссовым, с нулевым временем корреляции, статистически изотропным и несжимаемым, с парной корреляционной функцией (1.3):′′hvi(x)vj (x )i = δ(t − t )Zdk1ik·(x−x′ )P(k)De.ij0dk d+ξk>m (2π)(2.41)В соответствии с разделом 2.1, данная стохастическая задача эквивалентна квантовополевой модели для набора из 3 полей Φ = θ, θ ′, v сфункционалом действияS(Φ) = θi′ −∂t θi + ν0 ∂ 2θi − ∂k (vk θi − vi θk ) ++θi′ Dθ θk′ /2 + −vi Dv−1vk /2,(2.42)где первые 4 члена представляют собой действие (2.2) для стохастическойзадачи (2.39), (2.40) при фиксированной v, а последний член есть гауссовоусреднение по v.Такой модели соответствует тройная вершинаVc ab = (∂aθc′ ) (va θc − υc θa) ,(2.43)а также три затравочных пропагатора: hθiθk′ i0 , hθi θk i0 и hvivk i0 , диаграммное представление для которых совпадает с моделью №1 и представленона рисунках (2.1) — (2.4).В импульсно–частотном представлении вершине соответствует множитель′′Vc ab = iδbc pθa − iδac pθb ,(2.44)′где pθ — импульс поля θ ′ .Из действия (2.42) следует, что в импульсно–частотном представлении пропагаторам отвечают выражения43hθiθk′ i0 =hθi θk i0 =Pik (k),−iω + ν0 k2(2.45a)Cik (k),ω 2 + ν02k4(2.45b)Pik (k),k d+ξ(2.45c)hvivk i0 = D0 ·где Cik (k) является фурье–образом функции Cik (r/L) из (2.40).Вимпульсно–временномпредставлениипропагаторам(2.45a)и (2.45b) отвечают выраженияhθiθk′ i0 = Pik (k) · Θ(t − t′ ) exp {−(t − t′ )ǫk } ,(2.46a)hθiθk i0 = {Cik (k)/2ǫk} · exp {−|t − t′ | ǫk } ,(2.46b)где ǫk = ν0 k2.
Это означает, что также, как и в модели №1, пропагаторполей hθi θk′ i0 является запаздывающим.2.3.2.Канонические размерностиКанонические размерности полей и параметров модели (2.42) представлены в таблице 2.2, включая ренормированные аналоги, которые будутвведены позже.
Также как и в модели №1, любая величина имеет две независимых размерности — частотную и импульсную, т. е.ωk[F ] ∼ [T ]−dF [L]−dF ,где T и L являются временны́м и пространственным масштабами.(2.47)44Таблица 2.2. Канонические размерности полей и параметров в модели (2.42).Fθ′θvM, m, µ, Λν, ν0ĝ0 , g0ĝ, gdωF1/2−1/210100dkFd0−11−2ξ0dFd+1−1110ξ0Из таблицы 2.2 следует, что данная модель является логарифмической (константа взаимодействия g0 ∼ [L]−ξ безразмерная) при ξ = 0, т.
о.УФ–расходимости функций Грина проявляются в виде полюсов по ξ.Как и в модели №1, верны три утверждения раздела 2.2.3, а такжеформулы (2.21) и (2.22).Таким образом для любой размерности пространства d существует только одна нетривиальная поверхностно расходящаяся функция —hθα′ θβ i1-непр .2.3.3.Уравнение Дайсона′Как и в разделе 2.2.4, введем обозначение Γαβ2 ≡ hθα θβ i1-непр . Даннаяфункция удовлетворяет стандартному уравнению Дайсона, которое, учитывая поперечность полей θ и θ ′ , в импульсно–частотном представленииимеет вид2Γαβ2 Pαβ (p) = [−iω + ν0 p ] · Pαβ (p) − Σαβ ,(2.48)где Σαβ является оператором собственной энергии, диаграммное представление для которого показано на рисунке (2.7).45Рис.
2.7. Диаграммное представление оператора собственной энергии Σαβ .Как и в разделе 2.2.4, благодаря δ–корреляции по времени и наличию запаздывающего пропагатора (2.46a), все многопетлевые диаграммы тождественно равны нулю. Поэтому оператор собственной энергии дается своимоднопетлевым приближением точно.В однопетлевом приближении оператор собственной энергии Σαβ имеет видΣαβ (ω, p) = D0Zdω2πZPbd (p + k)dk Pac (k)·(2π)d k d+ξ −iω + ν0 (p + k)2·Vα ab (p) · Vd cβ (p + k),(2.49)где Vc ab — вершина (2.44); греческие буквы α, β и римские буквы a — dявляются векторными индексами пропагаторов (2.45a) — (2.45c).Интеграл по частотеZdω11=2π −iω + ν(p + k)22(2.50)в силу доопределения Θ–функции при совпадающих аргументах (см. приложение B.1).Взяв след от (2.48), получаем скалярное уравнениеΓ2 (ω, p) = −iω + ν0 k 2 − Σ(ω, p),(2.51)Σ(ω, p) ≡ Σαα (ω, p)/(d − 1)(2.52)где46(cлед поперечного проектора Pii (k) = (d − 1)).Обозначим за Jαα индексную структуру оператора Σαα :Jαα = Vα ab(p)Vd cα (p + k)Pbd (p + k)Pac (k).(2.53)Необходимо отметить, что поперечность вершины V (Φ) сильно упрощает вычисления:pc Vc ab (p) = pc (paδbc − pbδac ) = 0.(2.54)Учитывая, чтоPbd (p + k) · Vd cα (p + k) =(p + k)b(p + k)dδbd −(p + k)2· Vdc α (p + k), (2.55)получаем, что действие поперечного проектора сводится с δ–символу:Pbd (p + k) · Vd cα (p + k) = δbd · Vd cα (p + k).(2.56)Таким образом выражение для Jαα сильно упрощается:Jαα = Vα ab(p)Vb cα(p)Pac(k).(2.57)Теперь необходимо проинтегрировать данное выражение по импульсу k сучетом множителей D0 /(2π)d, 1/(d − 1), 1/2 и 1/k d+ξ :1 D0Σ = Σαα /(d − 1) = ·2 d−1Zdk1·× Jαα .(2π)d k d+ξ(2.58)Для этого необходимо воспользоваться способом, описанным в разделе 2.2.4(формула (2.31)) — необходимо усреднить подинтегральное выражение поуглам, а затем выполнить интегрирование по модулю k ≡ |k|.Вычислим среднее значение поперечного проектора Pac (k) по направлениям в d–мерном пространстве.
Для этого рассмотрим усреднение по направлениям единичного вектора n:47hni1 in = 0,(2.59a)hni1 ni2 ni3 in = 0,(2.59b)аналогично среднее от произведения любого нечетного числа сомножителей равно нулю;hni1 ni2 in = Cδi1i2 .(2.60)Взяв след от обеих частей равенства, находим константу C:1C= ,d(2.61)т. о.hni1 ni2 in =δi 1 i 2.d(2.62)Рассмотрим произвольные вектора a и b:ehai bj in = δij · C.(2.63)Взяв след от обеих частей равенства (2.63), получаем, чтоhai bj in = δij ·h(ab)i.d(2.64)p2a2.d(2.65)При a = b из (2.64) следует, чтоС другой стороны,т.
е.(pa)2(pa)2nn== p2a2 cos2 θ n , 2 1cos θ n = .d(2.66)(2.67)48Рассмотрим поперечный проектор Pij (k). Из (2.67) следует, чтот. о.d−11= p2 ·,hPij (k)pipj in = p2 (1 − cos2 θ) n = p2 · 1 −ddhPij (k)i = δij ·(d − 1).d(2.68)(2.69)Возвращаясь к выражению (2.58), находим, что1 D0 Sd(d − 1)Σ=− ··δ·· Vα ab (p)Vb cα(p)ac2 d − 1 (2π)ddD0Sd=−·· Vα ab(p)Vb aα(p) ·2d (2π)dZ∞mZ∞mdk.k 1+ξdk=k 1+ξ(2.70)Из явных вычислений следует, чтоVα ab (p)Vb aα(p) = p2 · (d − 1),(2.71)т. о.
в результате получаем следующий ответ:Σ = −p2 · D0m−ξ(d − 1)· Cd ·,2dξгде Cd ≡ Sd /(2π)d, а D0 определено в (1.4).(2.72)492.4.Перенос пассивного векторного поля полем скорости, подчиняющимся стохастическому уравнению Навье–Стокса(модель №3)2.4.1.Постановка задачиРассмотрим уравнение конвекции–диффузии, аналогичное модели№1 (см. (1.7) и (2.3)), а именно∂t θi + ∂k (vk θi − A0 vi θk ) + ∂iP = κ0 ∂ 2θi + fi ,(2.73)где κ0 — коэффициент диффузии, fi — поперечная гауссова случайная силас нулевым средним и заданной парной корреляционной функцией:hfi(x) fk (x′)i = δ(t − t′ ) Cik (r/L),(2.74)а поле скорости v подчиняется стохастическому уравнению Навье–Стокса (1.16), а именно∂t vi + (vk ∂k )vi = ν0∂ 2vi − ∂i℘ + ηi.(2.75)Здесь ℘ и ηi — удельные по массе давление и поперечная случайная сила.
Для η предполагается гауссово распределение с нулевым средним икорреляционной функцией: δ(t − t′ )ηi (x)ηj (x′) =(2π)dZk≥mdk Pij (k) dη (k) exp ik (x − x′ ) ,(2.76)где Pij (k) = δij − kikj /k 2 — поперечный проектор, а функция dη (k) опреe обратная внешнему масштабу турделена в (1.18). Величина m = 1/L,e обеспечивает ИК–регуляризацию. Для простоты мы будембулентности L,50e связанный с полем скорости,отождествлять данный внешний масштаб L,с внешним масштабом случайной силы L, введенным в (2.74).Как пассивное поле θ, так и перемешивающее поле v являются поперечными, ∂iθi = ∂i υi = 0, а члены ∂P и ∂℘ необходимы для согласованияданных условий поперечности с динамикой, подробнее см.
приложение A.3.2.4.2.Квантово–полевая формулировкаВ соответствии с разделом 2.1, данная стохастическая задача эквивалентна квантовополевой модели для набора из 4 полей Φ = θ, θ ′, v, v′ сфункционалом действияS(Φ) = Sv (v, v′) + θi′ Dθ θk′ /2++θk′ −∂t θk − (vi∂i)θk + A0 (θi∂i )vk + κ0 ∂ 2θk ,(2.77)где Dθ — корреляционная функция (2.74), а Sv — функционал действиядля задачи (2.75) — (2.76):Sv (v′, v) = vi′ Dv vk′ /2 + vk′ −∂t vk − (vi∂i )vk + ν0 ∂ 2vk .(2.78)В действии (2.78) Dv — корреляционная функция (2.76) случайной силы ηi .Данной модели соответствует 2 тройных вершины:Vcθab = (∂a θc′ ) (vaθc − A0 υc θa )(2.79)Vcvab = (∂a vc′ ) (va vc + υc va) ,(2.80)и51а также четыре затравочных пропагатора: hθiθk′ i0 , hθiθk i0 , hvi vk′ i0 и hvi vk i0(линии hθi′ θk′ i0 и hvi′ vk′ i0 тождественно равны нулю), диаграммное представление для которых представлено на рисунках (2.8) — (2.13):Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
