Диссертация (1150694)
Текст из файла
САНКТ–ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиГулицкий Николай МихайловичРЕНОРМГРУППОВОЙ АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕНОСА И МАГНИТНОЙГИДРОДИНАМИКИ01.04.02 — теоретическая физикаДиссертация на соискание учёной степеникандидата физико–математических наукНаучный руководительдоктор физико–математических наукАнтонов Н. В.Санкт–Петербург — 20142ОглавлениеВведение81 Модель Крейчнана и стохастические дифференциальныеуравнения переноса пассивного поля181.1 Введение .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181.2 Изотропная модель Крейчнана . . . . . . . . . . . . . . . . .201.3 Стохастическое уравнение переноса векторного поля . . . . .221.4 Анизотропная модель Крейчнана . . . . . . . . . . . . . .
. .241.5 Стохастическое уравнение Навье–Стокса . . . . . . . . . . .252 Квантово–полеваяформулировкамоделей,УФ–расходимости и уравнение Дайсона272.1 Функционал действия S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272.2 Перенос пассивного векторного поля сильно анизотропнымполем скорости (модель №1) . . . .
. . . . . . . . . . . . . .282.2.1Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .282.2.2Квантово–полевая формулировка . . . . . . . . . . . .302.2.3Канонические размерности . . . . . . . . . . . . . . .332.2.4Уравнение Дайсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .372.3 МГД модель Крейчнана (модель №2) . . . . . . . . . . . . .412.3.1Постановка задачи. Функционал, диаграммная техника 4132.3.2Канонические размерности . .
. . . . . . . . . . . . .432.3.3Уравнение Дайсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .442.4 Перенос пассивного векторного поля полем скорости, подчиняющимся стохастическому уравнению Навье–Стокса (модель №3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .492.4.1Постановка задачи . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .492.4.2Квантово–полевая формулировка . . . . . . . . . . . .502.4.3Канонические размерности . . . . . . . . . . . . . . .532.4.4Уравнение Дайсона для функции hvα′ vβ i1-непр . . . . .562.4.5Уравнение Дайсона для функции hθα′ θβ i1-непр . . . . .592.4.6Вычисление расходящейся части диаграммы hθα′ θγ vβ i613 Ренормировка моделей3.1 Модель №1 . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66663.1.1Уравнение РГ. β– и γ–функции. . . . . . . . . . . . .663.1.2ИК–притягивающая неподвижная точка . . . . . . . .693.1.3Критические размерности . . . . . . . . . . . . . . . .703.1.4Уравнение Дайсона и точные выражения для пропагаторов . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .723.2 Модель №2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .753.2.1Уравнение РГ. β– и γ–функции . . . . . . . . . . . . .753.2.2ИК–притягивающая неподвижная точка . . . . . . . .773.2.3Критические размерности . . . . .
. . . . . . . . . . .783.3 Модель №3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7943.3.1Стохастическое уравнение Навье–Стокса. Ренормировка параметра ν0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .793.3.1.1Уравнение РГ. β– и γ–функции . . . . . . . .793.3.1.2ИК–притягивающая неподвижная точка . .813.3.1.3Критические размерности . . . . . .
. . . . .823.3.2Ренормировка параметра A0 . . . . . . . . . . . . . .833.3.3Стохастическое уравнение конвекции–диффузии. Ренормировка параметра κ0 . . . . . . . . . . . . . . . .843.3.3.1Уравнение РГ. β– и γ–функции . . . . . . . .843.3.3.2ИК–притягивающая неподвижная точка . .863.3.3.3Критические размерности . . . . . . . . . . .884 Ренормировка составных операторов. Модель №14.1 Критические размерности составных операторов . . . .
. . .89894.1.1Общая схема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .894.1.2Однопетлевая диаграмма . . . . . . . . . . . . . . . .904.1.3Многопетлевые диаграммы . . . . . . . . . . . . . . .924.1.4Аномальные размерности . . . . . . . . . . . . . . . .934.1.5Матрица критических размерностей и ее собственные4.1.6значения . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96Асимптотика среднего значения оператора FN, p . . .994.2 Асимптотика корреляционной функции G = hF1F2 i . . . . . 1024.3 Операторное разложение и асимптотика инерционнного интервала . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 1094.4 Нильпотентность матрицы аномальных размерностей . . . . 11154.4.1Определения и цели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.4.2Основная идея . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.4.3Явный вид матрицы UN . . .
. . . . . . . . . . . . . . 1184.4.4Доказательство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.4.54.4.4.1Столбец №1 (C = 0) . . . . . . . . . . . . . . 1204.4.4.2Столбец №2 (C = 1) . . . . . . . . . . . . . . 1204.4.4.3Три нижние диагонали . . . . . . . . . . . . 1234.4.4.4Все остальные элементы . . . . . . . .
. . . . 126Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305 Ренормировка составных операторов. Модели №2 и №31315.1 Аномальный скейлинг для корреляционных функций в инерционном интервале, составные операторы и операторное разложение . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.2 Скаляризация диаграмм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.3 Модель №2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.3.1Однопетлевая диаграмма . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.3.2Двухпетлевые диаграммы . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.3.3Аномальная размерность γF∗ N, l .
. . . . . . . . . . . . 1505.3.4Сравнение результатов с точным решением в частномслучае парной корреляционной функции . . . . . . . 1535.4 Модель №3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.4.1Аномальный скейлинг и аномальные показатели в однопетлевом приближении .
. . . . . . . . . . . . . . . 154Основные результаты и выводы1596A Приложения к Главе 1163A.1 Галилеева инвариантность и ее следствия . . . . . . . . . . . 163A.1.1 Галилеево–ковариантная производная . . . . . . . . . 163A.1.2 Наличие δ–функции как следствие требования галилеевой инвариантности.
. . . . . . . . . . . . . . . . 164A.2 Модель магнитной гидродинамики Казанцева–Крейчнана . . 165A.3 Согласование динамики с условием поперечности . . . . . . 167B Приложения к Главе 2169B.1 Доопределение Θ(0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169B.2 О невозможности существования двух пространственныхмасштабов в модели №1 . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 170B.3 Вычисление канонических размерностей в модели №3 . . . . 172C Приложения к Главе 3177C.1 Оператор DRG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177C.2 Связь констант ренормировки Z, β– и γ–функций . . . . . . 179C.2.1 Вычисление констант ренормировки Z . . . . .
. . . . 179C.2.2 Вычисление аномальной размерности и β–функциизаряда g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180C.2.3 Вычисление аномальной размерности и β–функциизаряда u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182C.3 ИК–асимптотика функций Грина. Инвариантный заряд,неподвижная точка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 183C.3.1 Уравнение РГ как дифференциальное уравнение вчастных производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1837C.3.2 Решение однородного дифференциального уравнения.Инвариантный заряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184C.3.3 Решение неоднородного дифференциального уравнения 186Литература1888ВведениеАктуальность темы.На данный момент теоретическое описание развитой турбулентностии, в частности, аномального скейлинга в ней, в значительной степени остается нерешенной задачей; см. [1–8]. Натурные эксперименты и численноемоделирование показывают, что отклонения от предсказаний классическойтеории Колмогорова — Обухова для переноса пассивного скаляра проявляются даже более сильно, чем для самого переносящего его поля скорости.Кроме того, оказывается, что проблема переноса достаточно просто поддается теоретическому описанию: даже упрощенные модели, описывающиеперенос каким–либо «синтетическим» ансамблем скорости с заданной гауссовой статистикой, воспроизводят многие из аномальных свойств реального турбулентного переноса массы или тепла, наблюдаемые в эксперименте.Поэтому проблема турбулентного переноса, сама по себе имеющая важноепрактическое значение, может рассматриваться как исходная точка приизучении развитой гидродинамической турбулентности в целом [9].Наиболее значительные успехи на этом пути были достигнуты для модели Крейчнана с нулевым временем корреляции, в которой корреляционная функция поля скорости выбрана в виде hvvi ∝ δ(t − t′ ) · k −d−ξ , где k является волновым числом, d — размерностью пространства, а ξ — произвольным показателем, являющимся характеристикой вещества.
Впервые бесконечный набор аномальных показателей был вычислен на основе микроско-9пической модели в рамках регулярной теории возмущений; см. [10–23], атакже обзоры [24, 25].Степень разработанности темы исследования. Наибольшиеуспехи при изучении аномального скейлинга в статистических моделяхтурбулентного переноса были достигнуты с помощью применения методов ренормализационной группы (РГ) и операторного разложения (ОР);см.
монографии [26, 27]. При таком подходе аномальный скейлинг является следствием существования составных полей («составных операторов» втерминологии квантовой теории поля) с отрицательными критическимиразмерностями; см. обзор [25]. В работах [28–33] методы РГ + ОР былиприменены к различным задачам турбулентного переноса пассивных векторных полей — как непосредственно к модели Крейчнана, так и к различным ее обобщеням — конечному времени корреляции, анизотропии,сжимаемости, нелинейности наиболее общего вида и т. д.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
