Диссертация (1150694), страница 8
Текст из файла (страница 8)
2.16. Диаграммы ∆1 , ∆2 и ∆3 .В подробной записиZZdωdη (k)11dk∆1 =× J1 ,2π(2π)d ω 2 + ν02k 4 iω + κ0 (q + k)2 iω + κ0 (k − p)2(2.114)гдеJ1 = Pbf (k) · Pac (q + k) · Pde (k − p) · Vαθba(q) · Vcθβd (q + k) · Veθf γ (k − p),(2.115)а Vcθab — вершина (2.79).Поскольку индекс расходимости для данной функции dΓ = 1, для вычисления расходящейся части необходимо вычислить только члены O (p).Поскольку J1 ∝ Vαθba(q) ∝ q, во всех прочих множителях можем положитьp = q = 0. Таким образомZZdη (k)dk1dω× Je1,·∆1 ∼=2π(2π)d ω 2 + ν02k 4 (iω + κ0 k 2 )2(2.116)гдеJe1 = Pbf (k) · Pac (k) · Pde (k) · Vαθba (q) · Vcθβd (k) · Veθf γ (k).(2.117)63Интегрируя выражение (2.116) по частоте, получаемZ111dω= 3,222242π ω + ν0 k (iω + κ0 k )2ν0 (1 + u0)2k 6(2.118)где, как и раньше, u0 = κ0 /ν0.Из явных вычислений следует, чтоJe1 = A0 · Pab (k) · Vαθba(q) · kβ · kγ .(2.119)Воспользовавшись формулами (2.99) для усреднения по углам и выполняязатем свертки с δ–символами, получаем∆1 =ĝ0i(d + 1) · qα δβγ − qβ δαγ − qγ δβαm−ξ·A(1−A)··C·.d2 (1 + u0)2d(d + 2)ξ(2.120)Рассматривая аналогичным образом ∆2, получаемZZdωdη (q + k)11dk∆2 =× J2 ,2d2242π(2π) ω + ν0 (q + k) iω + κ0 k −iω + ν0 (p − k)2(2.121)гдеJ2 = Pbf (k) · Pac(q + k) · Pde (k − p) · Vbθaγ (k) · Vdvcβ (p − k) · Vαθef (p), (2.122)Vcθab — вершина (2.79), а Vcvab — вершина (2.80).
Поскольку импульс сразу выделяется наружу в виде множителя Vαθef (p), то выражение для ∆2можно упростить:ZZdωdη (k)dk11∼∆2 =·× Je2,·2π(2π)d ω 2 + ν02 k 4 iω + κ0 k 2 −iω + ν0k 2(2.123)гдеJe2 = Pbf (k) · Pac (k) · Pde (k) · Vbθaγ (k) · Vcvdβ (−k) · Vαθef (p).(2.124)64Интеграл по частоте даетZdω1113 + u0=;2π ω 2 + ν02k 4 (iω + κ0 k 2 ) (−iω + ν0k 2 ) 4ν03 (1 + u0 )2 k 6(2.125)выполняя свертку по значкам в Je2 и переобозначая вектор p как q, полу-чаемJe2 = −A0 · Pef (k) · Vαθef (q) · kβ · kγ .(2.126)Усредняя полученное выражение по углам и интегрируя по k = |k|, аналогично диаграмме ∆1 имеем(3 + u0)i(d + 1) · qα δβγ − qβ δαγ − qγ δαβm−ξ∆2 = − ĝ0· A (1−A)·· Cd ·.4(1 + u0 )2d(d + 2)ξ(2.127)Аналогично аналитическое выражение для ∆3 имеет видZZdωdkdη (q + k)11∆3 =··× J3 ,·22π(2π)d ω 2 + ν0 (p − k)4 −iω + κ0 k 2 −iω + ν0 (q + k)2(2.128)гдеJ3 = Pbf (k)·Pac (q − k)·Pde (k + p)·Vbθaγ (−k)·Vcvdβ (p − k)·Vαθef (p). (2.129)Как и в случае с предыдущей диаграммой, импульс сразу выделяется наружу в виде множителя Vαθef (p), и выражение можно упростить:ZZdωdη (k)dk11∆3 ∼·× Je3 ,·=2π(2π)d ω 2 + ν02k 4 −iω + κ0 k 2 −iω + ν0 k 2(2.130)гдеJe3 = Pbf (k) · Pac (k) · Pde (k) · Vbθaγ (−k) · Vcvdβ (−k) · Vαθef (p).Интеграл по частоте даетZ1111dω=;2π ω 2 + ν02k 4 (−iω + κ0 k 2 ) (−iω + ν0 k 2) 4ν03(1 + u0)k 6(2.131)(2.132)65выполняя свертку по значкам в Je3 и переобозначая p как q, получаемJe3 = A0 · Pef (k) · Vαθef (q) · kβ · kα .(2.133)Усредняя полученное выражение по углам и интегрируя по k = |k|, аналогично диаграммам ∆1 и ∆2 получаемĝ0(d + 1) · qα δβγ − qβ δαγ − qγ δαβm−ξi· A (1 − A) ·· Cd ·.∆3 =4 (1 + u0)d(d + 2)ξ(2.134)663.
Ренормировка моделей3.1.Модель №13.1.1.Уравнение РГ. β– и γ–функции.Из раздела 2.2.4 следует, что уравнение Дайсона для парной корреляционной функции имеет вид22Γαβ2 = −iω · δαβ + ν0 p⊥ · δαβ + ν0 f0 · (pn) · δαβ − Σαβ .(3.1)Подставляя Σαβ из (2.38), получаем22Γαβ2 = −iω · δαβ + ν0 p⊥ · δαβ + ν0 f0 · (pn) · δαβ +−ξ(A − 1)2d−2+A2 m· δαβ +· nα nβ · Cd−1 · (pn) ·.+D0 ·2(d − 1)2(d − 1)ξ(3.2)Из уравнения Дайсона (3.2) следует, что(1) Нет контрчленов, которые отвечали бы ренормировке параметровν0 и A0 , т. е.Zν = 1,ZA = 1.(3.3)(2) В результате вычислений оказывается, что структуры δαβ и nα nβвходят в уравнение (3.2) с различными коэффициентами.
Это означает, чтоневозможно устранить расходимости ренормировкой единственного параметра f0 , поэтому требуется ввести новый безразмерный параметр u0. Таким образом настоящее уравнение Дайсона имеет вид67222Γαβ2 = −iω + ν0 p⊥ · δαβ + ν0 f0 · (pn) · δαβ + ν0 f0 u0 · (pn) · nα nβ +−ξd−2+A(A − 1)22 m+D0 ·· δαβ +· nα nβ · Cd−1 · (pn) ·.(3.4)2(d − 1)2(d − 1)ξУчитывая (1.15) и (3.3), а также вводя g ≡ ĝ · Cd−1, для остальных параметров получаем, чтоf0 = f Zf ,u0 = uZu ,g0 = gµξ Zg ,Zg = Zf−1.(3.5)Здесь µ является ренормировочной массой, g, u и f являются ренормированными аналогами затравочных параметров g0 , u0 и f0, Zi = Zi(g, ξ, d) —константы ренормировки. Всюду в дальнейшем будет использоваться схема минимальных вычитаний (MS).
Последнее соотношение в (3.5) следуетиз условия отсутствия ренормировки вклада с Dv−1 в действие (2.10), т. о.D0 = g0 ν0f0 = gµξ νf . «Масса» m и поля Φ в данной модели не ренормируются, т. е. ZΦ = 1 для всех Φ и m0 = m. Ренормированный функционалдействия имеет вид+θk′hSR (Φ) = θi′ Dθ θk′ /2 − vi Dv−1vk /2+−∂t θk − (vi∂i )θk + A(θi∂i )vk +ν(∂⊥2+ f Zf ·∂k2)θki,(3.6)где функция Dv (1.14) выражена через ренормированные параметры (3.5).Введем β–функцию и аномальную размерность γ — РГ–функции, которые определяют искомое асимптотическое поведение рассматриваемыхвеличин. Базовое уравнение РГ для любой мультипликативно ренормируемой величины (корреляционной функции, составного оператора и т. д.) явeµ на правую и левую части уравляется следствием действия оператора Deµ обозначает оператор µ∂µ при фиксированныхнения F = ZF FR , где D68затравочных параметрах e0 = {g0 , ν0, f0, u0, A0 }.
Как следствие, уравнениеРГ имеет видDRG + γF FR = 0,(3.7)где γF является аномальной размерностью F , аDRG = Dµ + β∂g − γf Df − γuDu ,(3.8)подробнее см. приложение (C.1). Здесь и далее Dx ≡ x∂x для любой переменной x, а РГ–функции, в конечном итоге определяющие искомую асимптотику, определяются какeµ g = g · [−ξ − γg (g)],βg ≡ D(3.9a)eµ u = −uγu(g, u),βu ≡ D(3.9b)eµ ln ZF = βg ∂g ln ZFγF ≡ Dдля всех ZF .(3.9c)Соотношение между β и γ в (3.9a) и (3.9b) следует из определений и второгои третьего соотношения (3.5), подробнее см.
приложение C.2.Из уравнения Дайсона (3.4) следует, что константа ренормировки Zf(f0 = f · Zf ) и аномальная размерность γf для параметра f0 , нарушающегоOd –симметрию лапласиана, равныZf = 1 −d−2+A g· + O g2 ,2(d − 1) ξγf =d−2+A· g.2(d − 1)(3.10)(3.11)69Для ренормировки нового параметра u0 необходимо потребовать, чтобывыражение(A − 1)2 1 m−ξf 0 u 0 · 1 + g0 ···· nα nβ · (pn)22(d − 1) u0ξ(3.12)было УФ–конечно в первом порядке по g. Таким образом,(A − 1)2 g 1· · + O g2 ;Zu · Zf = 1 −2(d − 1) u ξ(A − 1)2 1γu + γf =· · g,2(d − 1) u(3.13)(3.14)где аномальная размерность γf известна ранее (см. 3.11).Из соотношения (3.5) для константы g следует, чтоZg · Zf = 1,(3.15)поэтомуγg = −γf = −3.1.2.d−2+A· g.2(d − 1)(3.16)ИК–притягивающая неподвижная точкаКак известно (см.
приложение C.3), главный член ИК–асимптотикидается подстановкой g = g ∗ , u = u∗ , где g ∗ и u∗ определяются из условийна β–функцию:βg (g ∗, u∗) = 0,βu (g ∗, u∗) = 0,(3.17)при этом тип неподвижной точки определяется матрицей Ωik=∂βi/∂gk |g=g∗ : для ИК–притягивающих неподвижных точек данная матри-70ца положительно определена, т. е. вещественная часть всех ее собственныхзначений больше нуля.Учитывая (3.16), для константы взаимодействия g получаем условиеβg = g(−ξ + γf ) = 0,(3.18)т. о. неподвижная точка дается выражениемg∗ =2(d − 1)· ξ,d−2+A∂g βg (g ∗ ) = ξ > 0.(3.19)Для параметра u β–функция равнаβu = −uγu = g ·1(d − 2 + A) · u − (A − 1)2 ,2(d − 1)(3.20)поэтому для неподвижной точки получаем(A − 1)2u =,d−2+A∗∂u βu(u∗) =d−2+A ∗·g .2(d − 1)(3.21)Поскольку ∂βg /∂u = 0, собственные значения матрицы Ω равны ее диагональным элементам, поэтому требование положительной определенностиматрицы Ω сводится к требованию ∂βu/∂u > 0.
Таким образом система обладает ИК–притягивающей неподвижной точкой u∗, g ∗ только при условииu∗ > 0, т. е.d − 2 + A > 0.3.1.3.(3.22)Критические размерностиВедущий член ИК–асимптотики функций Грина удовлетворяет уравнению РГ (3.7), (3.8) с заменой g → g∗ , u → u∗, т. е.Dµ − γf∗ Df − γu∗Du + γG∗ GR (e, µ, . . . ) = 0.(3.23)71Каноническая масштабная инвариантность выражается уравнениями"Xα#dkα Dα − dkG GR = 0,"Xα#dωα Dα − dωG GR = 0,(3.24)где α ≡ {t, x, µ, ν, m, M, u, f, A, g} является полным набором аргументовфункции GR (t, x обозначают время и координаты), а dk и dω являютсяканоническими размерностями GR и α. Подставляя размерности из таблицы 2.1 в (3.24), находим, чтоDµ + Dm + DM − 2Dν − Dx − dkG GR = 0,[Dν − Dt − dωG ] GR = 0.(3.25a)(3.25b)Уравнения вида (3.23) и (3.25) описывают скейлинговое поведениефункции GR при растяжении некоторых ее параметров.
Параметр подлежит растяжению, если соответствующая производная входит в уравнение.Нашей задачей является ИК–асимптотика, поэтому необходимо, чтобы всеИК–существенные параметры (координаты x, время t, масштабы M и m)были масштабируемы, в то время как ИК–несущественные параметры, связанные с УФ–масштабом — коэффициент диффузии ν и ренормировочнаямасса µ — оставались фиксированными. Таким образом необходимо исключить из уравнений (3.23) и (3.25) производные по ИК–несущественнымпараметрам µ и ν, в результате чего получается искомое уравнение критического скейлинга:[−Dx + ∆t Dt + ∆m Dm + ∆M DM + ∆f Df + ∆uDu − ∆G ] GR = 0,(3.26)где∆t = −∆ω = −2,∆m = ∆M = 1,∆f = γf∗ ,∆u = γu∗.(3.27)72Здесь∆[G] ≡ ∆G = dkG + 2dωG + γG∗(3.28)является критической размерностью величины G.В частности, для любой корреляционной функции GR = hΦ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
