Диссертация (1150694), страница 12
Текст из файла (страница 12)
(3.11) и (3.19)), Fоператоров (4.15), обладающих определенными размерностями, C0 — некоторый постоянный вектор («начальные данные»), µ — ренормировочнаяe F — матрица критических размерностей (4.27).масса, а ∆e F в выражении (4.31) является жордановой матПоскольку матрица ∆рицей с единственным собственным значением λ0 = −2(p + m), значениеe F даетсяпроизвольной скалярной функции F на матричном аргументе ∆ eF :матрицей F ∆101 eF = F ∆F ′ (λ0 )1!F (λ0 )0...F (λ0)0............F (n−1) (λ0 )(n−1)! 0F ′ (λ0 )1!F (λ0 ).(4.32)eБлагодаря тому, что функция F является степенной функцией (M/µ)∆F ,в искомой асимптотике появляется логарифмическая зависимость:(M/µ)eF∆=(M/µ)λλ(M/µ) · ln(M/µ) .
. .0...(M/µ)λ0...(M/µ)λ ·(ln(M/µ))n−1(n−1)!.. . . (M/µ)λ · ln(M/µ)0(M/µ)λ(4.33)...Поэтому после свертки с вектором C0 , с точностью до размерного множителя получаем асимптотику операторов FeR в видеFe1R ∝ (M/µ)λ · PN/2 (ln M/µ) ,Fe2R ∝ (M/µ)λ · PN/2−1 (ln M/µ) ,...(4.34)R∝ (M/µ)λ .FeN/2+1При этом необходимо иметь в виду, что индексы 1, .
. . , N/2 + 1 в (4.34)не являются произвольными, а строго связаны с индексами вектора F,введенного в (4.21).1024.2.Асимптотика корреляционной функции G = hF1 F2iОсновной задачей является изучение асимптотики парных корреля-ционных функций операторов FN, p вида (4.10) с произвольными значениями N и p:G = hFN1 , p1 FN2 , p2 i .(4.35)Данные корреляционные функции G удовлетворяют уравнению РГ(3.26) — (3.27), описывающему ИК–скейлинг. При этом, благодаря смешиванию операторов FN, p и жордановой форме матрицы (4.27), решениеданного уравнения для G является нетривиальным и требует отдельногорассмотрения.Поскольку коррелятор G является функцией x = r1 − r2 , µ, m, M, νи f , размерное представление для него имеет видωb (µr, mr, Mr, f ) ,G ∝ ν dG µdG · Φ(4.36)b (µr, mr, Mr, f ) — некоторая функция безразмерных аргументов, агде ΦРГ–оператор DRG равенDRG = −Dr + Dm + DM + γf∗ Df .(4.37)Применяя данный оператор к коррелятору G и обозначая FN1 , p1 как Fi , аFN2, p2 как Fk (при этом N1 и N2 могут принимать разные значения, т.
е.операторы Fi и Fk могут принадлежать разным РГ—семействам), получаемдифференциальное уравнениеDRG Gik = ∆is Gsk + ∆ks Gis ,(4.38)103где Gij = hFiFj i, а ∆ij является критической размерностью оператора Gij ;суммирование по повторяющимся индексам подразумевается. Посколькучисла N1 и N2 исходных операторов FN, p в (4.35) могут не совпадать, матрицы ∆is и ∆ks в (4.38) могут иметь разные размерности.Для решения данного уравнения необходимо перейти от коррелятоeik , построенным из операторов Fe (см. (4.15)),ров Gik к корреляторам Gобладающих определенными критическими размерностями:DEeeeGik = Fi Fk .(4.39)При этом индексы i и k в определении (4.39) не являются произвольными,а определяются следующими правилами:(1) Исходный оператор F определен в (4.10), а именноFN, p, m = (θaθa)p (nsθs )2m.(4.40)(2) Поскольку при ренормировке смешиваются только операторы, обладающие одним и тем же полным числом полей N (см.
(4.11)), для любогофиксированного N можно ввести вектор F (4.21), а именноF1(θa θa)N F2 (θaθa)N −2 · (ns θs)2 F==... .. . . NFN/2+1(nsθs )(4.41)e способом, описанным в (4.15), а именно(3) Определим вектор FFlR = UlpFepR ,(4.42)104где матрица Ulp имеет вид (4.28) и приводит матрицу критических размерe F = U −1∆F UF (см.
раздел 4.1.5).ностей к жордановой форме: ∆FТаким образом оператор Fei в определении корреляционной функ-ции (4.39) не является произвольным — он построен с помощью (4.42) каклинейная комбинация операторов Fi , чья нумерация строго определена в(4.41).e ik удовлетворяет дифференциальномуКорреляционная функция Ge ik имеют жорданову форуравнению (4.38) с тем отличием, что матрицы ∆му:eRe eRe eRDRG Gik = ∆is Gsk + ∆ks Gis .(4.43)eik , принадлежит сеПоскольку оператор Fei, входящий в коррелятор Gмейству с индексом N1, а оператор Fek принадлежит семейству с индек-сом N2 , уравнение (4.43) на самом деле представляет из себя систему(N1/2 + 1) × (N2/2 + 1) «зацепленных» (благодаря невозможности диаe ik ) дифференциальных уравнений.гонализовать матрицы ∆e is и ∆e ks в (4.43) имеют видМатрицы ∆0 ...
0 λ1(2) 1.. 0 λ1. 1(2)...e F = .... .. 0 ∆,0 .. .... 1 0...0 λ1(2)(4.44)где λ1 = −N1 и λ2 = −N2 (см. раздел 4.4).Из явного вида матрицы (4.44) следует, что если операторы Fei и Fekне являются «последними», т. е. если i 6= N1 /2 + 1 и k 6= N2/2 + 1, то105eR с коэфкаждый из двух членов в (4.43) имеет два вклада — функцию GikeRфициентом λ1(2) и либо функцию Gi+1, k для первого члена, либо функциюeRGi, k+1 для второго члена, оба с коэффициентами 1. Если один из опера-торов, Fei или Fek , является «последним», т. е. если либо i, либо k равноeRN1(2)/2 + 1, то вклад такого оператора состоит только из одного члена Gikс коэффициентом λ1(2) .Как следствие, существует только одно уравнение с одним членом вправой части, а именно при i = N1/2 + 1, а k = N2/2 + 1:eRDRG GN1 /2+1N2 /2+1eR= (λ1 + λ2 ) · GN1 /2+1N2 /2+1.(4.45)Учитывая (4.36), с точностью до размерного множителя его решение естьфункцияeR ≡ GeRG0N1 /2+1N2 /2+1∝ (µr)−λ1−λ2 · Φ 1, mr, Mr, f¯ ,(4.46)где f¯ — инвариантный заряд, см.
приложение C.3.3. Из (C.44), (C.49)и (C.51) следует, что при s → 0 инвариантный заряд f¯ → f rξ .Если i = N1/2 + 1, а k = N2 /2, либо если i = N1/2, а k = N2 /2 + 1,т. е. если k + i = (N1 + N2)/2 + 1, то существуют два уравнения видаeReR eRDRG G1 = (λ1 + λ2 ) · G1 + G0 ,(4.47)eR . Их решения сосодержащие в правой части уже известную функцию G0держат как степенной множитель, так и полином первой степени от логарифма, т. е. с точностью до размерных констант естьeR ∝ (µr)−λ1 −λ2 · P1 [ln µr] · Φ 1, Mr, mr, f rξ ,G1(4.48)где P1 [ln µr] — полином первой степени от ln µr.
Из (4.46) и (4.48) следует,eR + Ge R является таким же, как ичто асимптотическое поведение суммы G01106eR :самой функции G1−λ1 −λ2eReR ∼ eRG· P1 [ln µr] · Φ 1, Mr, mr, f rξ .0 + G1 = G1 ∝ (µr)(4.49)Если k + i = (N1 + N2 )/2, то существуют три уравнения, содержащие вe1 (см. (4.48)):правой части уже известную функцию GeR = (λ1 + λ2 ) · GeR + GeR .DRG G221(4.50)Их решение содержит полином второй степени от ln µr, т.
е. с точностьюдо размерных констант равноξ−λ1 −λ2eR,·P[lnµr]·Φ1,Mr,mr,frG∝(µr)22(4.51)где P2 [ln µr] — полином второй степени от ln µr.Для последующих функций процедура является совершенно аналогичной. Число уравнений, содержащих в правой части функции, уже известные на предыдущем шаге, увеличивается при (N1 + N2)/2 + 2 ≤ i + k ≤(N1 + N2 )/4 + 1 и уменьшается при (N1 + N2)/4 + 1 ≤ i + k ≤ 2. Как следствие, существует только одна функция (при i + k = 2), чья асимптотикасодержит полином максимальной степени от логарифма:eR ∝ (µr)−λ1 −λ2 · P(N +N )/2 [ln µr] · Φ 1, Mr, mr, f rξ ,G1112(4.52)где P(N1 +N2 )/2 [ln µr] — полином степени (N1 + N2)/2 от ln µr.e R наТаким образом асимптотическое поведение любой из функций Gikходится с помощью вышеописанной процедуры и дается формулами вида(4.46), (4.48), (4.51) и (4.52).Для того, чтобы получить асимптотическое поведение первоначальных операторов «без тильды», необходимо воспользоваться выражением (4.42).
Обратная матрица U −1 имеет вид107UF−1=0............0ûn−1ûn1......0û2......n−1............ûn−1...2. . . ûn,n−2n−1ûn,n−1û1n û2n .. . ,ûn−2 n ûn−1 n ûnn(4.53)причем все элементы ûab 6= 0. Необходимо отметить, что два оператора,eik (4.39), обладают двумя (возможно разными)входящие в коррелятор G.и UF−1матрицами UF−1kiИз (4.53) следует, что операторы Fe R , принадлежащие некоторому сеn oe R определеннной размерности N , могут быть выражены черезмейству F операторы F R , принадлежащим другому семейству FR той же размер-ности N , следующим образом:RFe1R ∼= FN/2+1(4.54)RRFe2R ∼+ FN/2+1= FN/2(4.55)(с точностью до числового коэффициента, а именно û1n);и т.
д. Таким образом, для любого iFeiR ∼=XRFαR + FN/2+1,(4.56)αгде α 6= N/2 + 1 и нумерует все остальные операторы.оператора Fi, входящего в корреОбозначим элементы матрицы UF−1iEDe ik = Fei Fek , как ûab, элементы матрицы U −1 оператора Fk каклятор GFkŭab. Тогда108ReRG11 = û1,N1 /2+1ŭ1,N2 /2+1 · GN1 /1+1ReG12 = û1,N1/2+1 · ŭ2,N2 /2 · GRN1 /1+1N2 /1N2 /1+1 ;+ ŭ2,N2/2+1 ·(4.57)GRN1 /1+1 N2 /1+1ReG13 = û1,N1/2+1 · ŭ3,N2/2−1 · GRN1 /1+1,N2/1−1 ++ŭ3,N2/2 ·GRN1 /1+1,N2/1+ ŭ3,N2/2+1 ·GRN1 /1+1,N2/1+1; (4.58)(4.59)и т. д. Формулы (4.57) — (4.59) показывают, что выражение для любойe R содержит в правой части функцию GRфункции GikN1 /1+1N2 /1+1с разнымикоэффициентами (ŭa,b 6= ŭa+1,b и ûa,b 6= ûa+1,b для любых a, b), поэтомувыражение для любой функции GRik содержит в правой части функциюe R .
Вместе с (4.52) это дает искомую асимптотику парной корреляционнойG11функции первоначальных операторов из семейства {F}:−λ1 −λ2∼ eR·P(N1 +N2 )/2 [ln µr]·Φ 1, Mr, mr, f rξGRik = G11 ∝ (µr)∀i, k. (4.60)Учитывая, что λ1 = −N1, а λ2 = −N2, получаем, что с точностью доразмерного множителя искомая асимптотика парного коррелятора (4.35)имеет видN1 +N2∼ eR·P(N1 +N2 )/2 [ln µr]·Φ 1, Mr, mr, f rξGRik = G11 ∝ (µr)∀i, k, (4.61)где Px является полиномом степени x, Φ — неизвестная функкция трехбезразмерных аргументов. Ее асимптотическое поведение изучается с помощью операторного разложения.1094.3.Операторное разложение и асимптотика инерционнного интервалаПредставление (4.61) с произвольной скейлинговой функциейΦ Mr, mr, f rξ описывает поведение корреляционных функций при s =1/µr → 0, т.
е. при µr ≫ 1 и любом фиксированном значении Mr. Инерционный интервал l ≪ r ≪ L соответствует дополнительному условиюMr ≪ 1. Вид функции Φ (Mr) не определяется с помощью уравнения РГ;по аналогии с теорией критического поведения, ее поведение при Mr → 0изучается с помощью операторного разложения Вильсона; см. [18].В соотвествии с ОР, одновременно́е произведение F1 (x′)F2(x′′) двухренормированных операторов при x ≡ (x′ +x′′ )/2 = const и r ≡ x′ −x′′ → 0представимо в виде′′′F1(x )F2(x ) =XFeCFe (r)Fe (t, x),(4.62)где коэффициентные функции CFe регулярны по M 2 , а Fe — всевозможныеренормированные локальные операторы, разрешенные симметрией задачи.
Без потери общности можно считать, что разложение идет по базисным операторам Fe вида (4.15), т. е. по операторам, обладающим опреде-e F . Ренормированный корреляторленными критическими размерностями ∆hF1 (x)F2(x′)i получается с помощью усреднения (4.62) с весом exp SR , гдеSR — ренормированное действие (3.6). При этом в правой части будут поeявляться величины hFei ∝ (Mr)∆F . Их асимптотика при M → 0 находитсяс помощью уравнений РГ и имеет видehFeα i ∝ (Mr)∆Fα ,(4.63)110e F является жордановой матрицей (4.27), а (Mr)∆e Fα — матрицей вигде ∆да (4.33). При этом из размерного представления (4.36) следует, что решение уравнения РГ (4.43) подразумевает подстанову s ≡ 1/µr = 1,eсм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
