Диссертация (1150694), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Поскольку A2 является скалярной функцией от k 2 , q 2 и kq,Iφ =Zdk(2π)dZ11dq=(2π)d q d+ξ k d+ξZ∞mdkkZ∞mdqqZdn,(5.49)где n — единичный вектор, направленный вдоль одного из векторов — kлибо q; см. [21]. Из (5.49) следует, что при d = 3Z ∞ZZZ πdk ∞ dq πφI =dφ sin φ/dφ sind−2 φ =k m q 0m0ZZZ1 ∞ dk ∞ dq πdφ sin φ.=2 m k m q 0(5.50)Вся зависимость интегралов вида (5.48) от «массового» параметра mсодержится в членахZ∞mdk∝k d+ξZ∞mdk∝ m−ξ ,1+ξk(5.51)соответственно для n–петлевой диаграммыf (m, ξ) = m−n ξ · f (ξ).(5.52)Применив операцию Dm = m∂/∂m к (5.52), получаем, чтоf (m) = −1· Dm f (m),nξ(5.53)143таким образом операция Dm позволяет явно выделить полюс по ξ и далеевычислять заведемо сходящиеся интегралы. Кроме того, Dm симметризуетнесимметричное по k и q выражение, иDm=−Z∞dqmZZ∞mdkZ∞dqmdn · F (m, q) −ZZdn · F (k, q) =∞dkmZdn · F (k, m).(5.54)Делая замену переменных k = m · x и q = m · x, получаем, чтоZ ∞ Z ∞ ZDmdkdq dn · F (k, q) =m=−Z1∞dxZmdn · F (x, 1) −Z∞1dxZdn · F (1, x).(5.55)Выделяя в A2 (см.

(5.48)) полюс первого порядка по ξ и учитывая (5.50), получаемZZ ∞ Z π2(k 2 + q 2 ) + 2(kq) 31 ∞dksin φ =dqdφ ·A2 =8 m(k + q)2 k 1+ξ q 1+ξm0ZZ ∞ Z π1 ∞sin3 φ=dkdqdφ 1+ξ 1+ξ +8 mk qm0Z ∞ Z ∞ Z π1k2 + q2+sin3 φ =dkdqdφ 221+ξ1+ξ8 m(k + q + 2kq cos φ) k qm02= Aξ2 + Aξ2 ,(5.56)(5.57)(5.58)2где Aξ2 содержит только полюс второго порядка по ξ и поэтому не требуется для вычисления аномальной размерности γF∗ (см. (5.29)). Применяяк члену Aξ2 операцию Dm и учитывая (5.53) при n = 2 и (5.55), а также вычитая расходимость, соответствующую полюсу второго порядка по144ξ, получаем1Aξ2 =8Z∞dx1Z0π 3x2 + 1sin φ 1 4dφ−1= · .(x2 + 2x cos φ + 1)x8 9(5.59)Кроме того, симметрийный коэффициент для данной диаграммы равен1/2, поэтому окончательноA2 ≡ Aξ2 =1 4 11· · = .8 9 2 36(5.60)Рассматривая аналогичным образом свертку J22 (5.40) с симметризующей структуройS1 = Sym[δαa δβb ] = (δαa δβb + δαb δβa )/2(5.61)и учитывая (5.45), получаем1A′1 = Pxz (q) · Pcd(k) · (kxδαc − qc δαx ) · (kz δβd − qd δβz ) · kakb · (δαa δβb + δαb δβa ) =2= k 2q 2 sin4 φ.Соответственно,ZZ1dkdq11k 2 q 2 sin4 φA1 =···.4(2π)d(2π)d q d+ξ k d+ξ k 2 (k + q)2(5.62)(5.63)Учитывая (5.53) при n = 2, (5.55), и то, что выражение (5.63) не являетсясимметричным по k и q, получаемZZ ∞ Z π1 ∞sin4 φq2A1 =·=dkdqdφ sin φ ·2 k 1+ξ q 1+ξ4 m(k+q)m0Z ∞ Z π sin5 φ 1 8x2 + 11−1 ·= · ,dxdφ=8 1(x2 + 2x cos φ + 1)x8 750где снова рассматривается только полюс первого порядка по ξ.

Симметрийный коэффициент для диаграммы D22 равен 1/2, поэтому окончательноA1 =1 8 11·· =.8 75 2 150(5.64)145Рис. 5.3. Двухпетлевая диаграмма D23 .Рассмотрим диаграмму D23 , представленную на рисунке (5.3).Аналитическое выражение для данной диаграммы имеет видI23 =Z+∞−∞·dω2πZ+∞−∞dω ′2πZdk(2π)dZdq1··(2π)d −i(ω + ω ′ ) + ν(k + q)2111D0D0·· ′· d+ξ · d+ξ × J23,2′22iω + νk −iω + νq iω + νq qk(5.65)где индексная структураJ23 = Pβe (k + q) · Pαd (k) · Pin (q) · Pγj (q) · Pxz (k) · Pyt (q)··Vd,xa (k) · Ve,zn (−k − q) · Vj,tc (q) · Vi,yb (−q).(5.66)Поперечность вершины (2.54) приводит к следующим упрощениям:Pβe (k + q) · Ve,zn(k + q) → δβe ,Pαd (k) · Vd,xa (k) → δαd ,Pin (q) · Vi,yb(k) → δin ,Pγj (q) · Vj,tc (q) → δγj .(5.67)146Таким образом выражение для индексной структуры (5.66) упрощается:J23 = Pxz (k) · Pyt (q) · Vβ,zn (k + q) · Vn,yb(q) · Vγ,tc (q) · Vα,xa (k) == −Pαz (k) · Pnγ (q) · (qz δβn − kn δβz ) · qbqc ka .(5.68)Интегралы по частотам равныZ +∞Zdω +∞ dω ′1111···=2′2′2′2−∞ 2π −∞ 2π iω + νk −i(ω + ω ) + ν(k + q) −iω + νq iω + νq=1,2ν 2 q 2 (q 2 + k 2 + (k + q)2)(5.69)соответственно,ZZdkdq1 2111I23 = ·g ····×J23.

(5.70)2(2π)d(2π)d q 2 (q 2 + k 2 + (k + q)2 ) q d+ξ k d+ξВычислим свертку J23 с симметризующими структурами S1 и S2 . Всоответствии с (5.10b), для трехлучевой диаграммыS1 = Sym[δaα δbβ δcγ ] ==1· (δαa δβb δγc + δαb δβc δγa + δαc δβa δγb+6+δαb δβa δγc + δαc δβb δγa + δαa δβc δγb) .(5.71)ka · δαa · Pαz (k) = 0,(5.72a)qc · δcγ · Pnγ (q) = 0,(5.72b)qb · δbγ · Pnγ (q) = 0,(5.72c)Посколькуиз шести слагаемых структуры S1 ненулевыми оказываются только два:S1 =1· [δαbδβc δγa + δαc δβb δγa].6(5.73)147Тогда1A′1 = − Pαz (k)·Pnγ (q)·(qz δβn −knδβz )·qbqc ka ·[δαb δβc δγa + δαc δβb δγa ] . (5.74)6Учитывая (5.45), получаем выражение для A′1:1A′1 = k 2 q 2 sin4 φ.3(5.75)Подставляя (5.75) в (5.70), используя усреднение по углам (5.50), операцию Dm (5.55) и учитывая, что симметрийный коэффициент для даннойдиаграммы равен 1, получаемZZ1dkdq11 1 2 2 41 2··· k q sin φ =A1 = g ·2(2π)d(2π)d q 2 (q 2 + k 2 + (k + q)2 ) k d+ξ q d+ξ 3Z ∞Z πdqdk1dφ· k 2 q 2 sin5 φ =1+ξ1+ξ2222q (q + k + (k + q) )m q0m kZ ∞ Z ∞ Z π1 1sin5 φk2=· ··=dkdqdφ 212 2 mq + k 2 + kq cos φ k 1+ξ q 1+ξm0 5Z ∞ Z π 1 1sin φx2 + 1=· ·−1=dxdφ2 + x cos φ + 1)24 2 1(xx0√821−π 3 +.(5.76)=30151 1 1= · · ·3 2 2Z∞Теперь необходимо рассмотреть свертку J23 с симметризующей структурой S2 :S2 = Sym [δab δαβ δcγ ] ==1· (δαβ δab δγc + δαβ δac δγb + δαβ δbc δγa +9+ δαγ δab δβc + δαγ δac δβb + δαγ δbc δβa ++ δβγ δab δαc + δβγ δac δαb + δβγ δbc δαa ) .(5.77)148Используя формулы (5.45) и (5.46) получаем, что свертка (5.68) с (5.77)дает следующее:A′2 = [−Pαz (k) · Pnγ (q) · (qz δβn − kn δβz ) · qb qc ka ] · S2 ==12 (2 − d) (kq) q 2 sin2 φ + (d − 1) k 2q 2 sin2 φ − 4 (kq)2 sin2 φ .9(5.78)Учитывая все необходимые коэффициенты, из (5.70) и (5.78) имеем:Z ∞Z ∞ Z π1 1 1 12 (2 − d) kq sin3 φ cos φA2 = · · ·dk+dqdφ9 2 2 2 m(q 2 + k 2 + kq cos φ) k 1+ξ q 1+ξm0(d − 1) k 2 sin3 φ − 4 k 2 sin3 φ cos2 φ,(5.79)+(q 2 + k 2 + kq cos φ) k 1+ξ q 1+ξчто после применения операции Dm переходит вZ ∞ Z π12 (2 − d) sin3 φ cos φ+A2 =dxdφ72 1x2 + x cos φ + 101 1+·72 2Z∞dx1Zπ0dφ1x2 + 1−1·×x2 + x cos φ + 1x× (d − 1) sin3 φ − 4 sin3 φ cos2 φ .(5.80)Вычисляя данный интеграл при d = 3, получаемA2 =172√ !3136 38π 3−.22515(5.81)149Четырехлучевая диаграмма D24 , изображенная на рисунке 5.4, содержит только полюс второго порядка по ξ, и, как следствие, не дает вкладав аномальную размерность γF∗ (см.

(5.29)).Рис. 5.4. Двухпетлевая диаграмма D24.Из (2.41) и (2.46a) следует, что диаграмма D5 , изображенная на рисунке 5.5, тождественно равна нулю из–за замкнутого цикла запаздывающихпропагаторов.Рис. 5.5. Двухпетлевая диаграмма D5 .1505.3.3.Аномальная размерность γF∗ N, lВышеприведенный результат вычисления диаграмм представим в видеai = g ·ÃiĀi+ g2 · ,ξξ(5.82)где Āi – результат вычисления однопетлевых диаграмм, Ãi – результатвычисления двухпетлевых диаграмм. Учитывая (5.17), получаем, что константа ренормировки ZF имеет видZF = 1 +Xpi ai ,(5.83)iгде pi определены в (5.18) и (5.19).Используя определение аномальной размерности γF и учитывая, чтов первом порядке по g β–функция β(g) = −ξg, находим!XX2γF = β∂g ln ZF = β∂g ln 1 +piai = −gpiĀi + 2g piÃi .

(5.84)iiПодставляя значение неподвижной точки (см. (3.54))g∗ =2d· ξ,d−1(5.85)получаем значение аномальной размерности в неподвижной точке:γF∗=Xiгде c = −ξ · 2d/(d − 1).(piĀi c · ξ + 2c2 piÃi · ξ 2 ),(5.86)151В результате из (5.18), (5.19), (5.36), (5.60), (5.64), (5.76), (5.81) и (5.86)получаем значение аномальной размерности оператора FN, l с произвольными N и l при d = 3:(1)(2)γF∗ N, l = ∆N, l · ξ + ∆N, l · ξ 2,(5.87)∆N, l = −N (N + 3)/10 + l(l + 1)/5,(5.88)где(1)2N (N − 2) N (N + 3) 22 l(l + 1)(2)−+−∆N, l = −12530375i√3(N − 2)82 h−2N (N − 4) + 3l(l + 1) −− 3π +17515i√19(N − 2)1568 h− 3π +N (N + 3) − 2l(l + 1) .−350285(5.89)(1)Из выражения (5.88) для ∆N, l — первого порядка по ξ — следует,что аномальные размерности γF∗ N, l (5.87) удовлетворяют условию иерархии ∆N, l > ∆N, l′ при l > l′, которое удобно записать в виде неравенства∂∆N, l /∂l > 0.Данный факт, впервые установленный в [28] для МГД модели Крейчнана, имеет глубокий физический смысл: в присутствии крупномасштабной анизотропии ведущий вклад в асимптотику корреляционных функцийвида (5.2) в инерционном интервале Mr → 0 дает изотропная «сфера» сl = 0.

Поэтому соответствующие аномальные показатели являются такимиже, как и в изотропном случае; анизотропия влияет только на поправки, убывающие при Mr → 0 тем быстрее, чем больше порядок анизотропии l. Данный эффект является подтверждением гипотезы Колмогорова о152локальном восстановлении изотропии, что наблюдается как в настоящихэкспериментах с турбулентностью в жидкости [71, 72], так и в модели пассивного скалярного поля [73].Из (5.89) следует, что член O ξ 2 в разложении (5.87) также удовле-творяет этому неравенству:(2)∂∆N, l /∂l ≃ (2 l + 1)(0.0053 N + 0.0482) > 0.(5.90)Это означает, что при включении в расчет второго члена разложения по ξиерархия анизотропных вкладов не только сохраняется, но и усиливается.Для наиболее важного случая скалярных операторов FN, l с l = 0аномальная размерность равна(2)∆N, 0 ≃ −0.0041 N 3 − 0.0474 N 2 − 0.0553 N(5.91)и является отрицательной для всех N .

Из этого следует, что при включени в рассмотрение члена порядка O ξ 2 аномальный скейлинг становит-ся только сильнее. Этим данная магнитная задача отличается от моделиКрейчнана для скалярного поля, в которой поправки высших порядковк члену O (ξ) являются положительными, что, в свою очередь, являетсяпричиной исчезновения аномального скейлинга при ξ → 2, см. [21].1535.3.4.Сравнение результатов с точным решением в частном случае парной корреляционной функцииВ работе [30] получено точное решение для парной корреляционнойфункции задачи (2.39) — (2.41).Согласно [30],Cαβ (r) ≡ hθα (ω, k) θβ (−ω, −k)i ∝ rζj .(5.92)Из замкнутой системы уравнений на Cαβ (r) и разложения по полиномамЛежандра следует, чтоζj± = −12ξ + d2 − d − −2d3ξ − 2d2ξ 2 − 6d3 + 4ξ 2d + 8 + 10dξ+2(d − 1)+20dj − 20d − 8ξ − 8j + 4d2j 2 + 2ξ 2 − 4ξj 2 + 17d2 − 8dj 2 + 8ξj + 4d3j+i1/2√22224,+4d jξ + 4dj ξ + 4j − 16d j − 12dξj + d ± K(d − 1)(2 − ξ)(5.93)гдеK = (d − 1) d3 + 4d2j − 5d2 + 2d2ξ + ξ 2 d + 4dξj − 6dξ + 8d−−12dj + 4dj 2 − ξ 2 + 4ξ + 8j − 8ξj − 4 − 4j 2 + 4ξj 2 .(5.94)Здесь j — номер полинома Лежандра, при этом выполняется неравенствоζ0 < ζ1 < .

. . .Раскладывая (5.93) в ряд по ξ при j = 2, получаемζ2−22(d3 + 3d2 − 8d − 16) 23=,ξ+ξ+Oξ(d − 1)(d + 2)d(d − 1)2(d + 2)3(5.95)что при d = 3 равно7 21ξ ;ζ2− = ξ +5375(5.96)154аналогично для j = 0 при d = 3 получаем1ζ0+ = −ξ − ξ 23(5.97)(знак + или − выбирается однозначно в зависимости от номера j).Для вычисления аномальной размерности γF∗ N, l (5.87) парного коррелятора Cαβ (5.92) необходимо учитывать операторы F2, 2 = (θiθi ) иF2, 0 = (θiθj ). Для Cαβ решение уравнения РГ и операторное разложениеимеют структуру (5.6), при этом исходные операторы FN, l = θα , FK, j = θβ .При подстановке соответствующих значений в (5.87), получаем1γF∗ 2, 0 = −ξ − ξ 2;3(5.98)7 21γF∗ 2, 2 = ξ +ξ ,5375(5.99)что полностью согласуется с (5.96), (5.97).

Данный факт подтверждает взаимную согласованность методов РГ + ОР и метода нулевых мод.5.4.Модель №35.4.1.Аномальный скейлинг и аномальные показатели в однопетлевом приближенииВ данном разделе будет представлен однопетлевой расчет аномальных размерностей γF∗ N, l составных операторов FN, l (5.1) для модели (2.77),определяющих асимптотическое поведение (5.6) корреляционных функцийсоставных операторов.Однопетлевая диаграмма D1 имеет тот же вид, что и для моделей №1и №2, и представлена на рисунке (5.6).155Рис. 5.6. Однопетлевая диаграмма D1 .Аналитическое выражение для данной диаграммы имеет видI=Zdω2πZdk11DF (k)··· 2× J1 ,d22(2π) −iω + κk iω + κk ω + ν 2 k 4(5.100)гдеJ1 = Pαi (k) · Pβj (k) · Pxz (k) · Vi,xa (k) · Vj,zb(−k) == A2 · Pαβ (k)kakb ,(5.101)а Vc,ab (k) = i(kaδbc − Akb δac ) — вершина (2.12).

Характеристики

Список файлов диссертации