Диссертация (1150694), страница 19
Текст из файла (страница 19)
(3.5)) и ренормированномудействию (3.6). При этом из связи функционалов S и SR вытекает связьG = ZG · GR(C.1)между функциями Грина данной модели.eµ оператор µ · ∂/∂µ при фиксированных заОбозначим символом Dтравочных параметрах e0 . В силу того, что e = e (e0, µ, ξ), левая часть ра-венства (C.1) не зависит от ренормировочной массы µ, поэтому, действуяeµ на правую и левую части данного равенства, получаем, чтооперетором D[DRG + γG ] GR = 0,(C.2)гдеDRGXeµ e)∂e= µ∂µ +(De(C.3)178eµ , выраженным через неренормированные переменявляется оператором Dные e0 .По определению для любой величины F (поля или параметра) аномальная размерность γF равнаeµ ln ZF ;γF = D(C.4)для любого заряда g (в общем случае зарядом является любой безразмерный параметр, от которого зависят константы Z) β–функция равнаeµ g.βg = D(C.5)γF = β∂g ln ZF .(C.6)Учитывая (C.5), получаем, что для любой величины Feµ e в выражении (C.3), необДля того, чтобы найти коэффициенты Deµ к правой и левой частям равенстваходимо применить операцию Dx0 = x Zx ,(C.7)где x — любая из переменных e.
Поскольку x0 6= x0(µ),вследствие чегоeµ x · Zx = −x · Deµ Zx ,Deµ Zx = −x · Deµ ln Zx = −x γx.eµ x = −x · 1 · DDZx(C.8)(C.9)Поэтому для набора параметров e0 = {g0, ν0, f0, u0, A0} оператор DRG имеетвидDRG = µ∂µ + βg − νγν − f γf − uγu − AγA .(C.10)179C.2.Связь констант ренормировки Z, β– и γ–функцийC.2.1.Вычисление констант ренормировки ZИз уравнения Дайсона (3.4) следует, что для устранения расходимостей необходимо с помощью ренормировки параметров f0 , u0 и g0 обеспечить конечность выраженийd − 2 + A m−ξ·T 1 = f 0 · 1 + g0 ·2(d − 1)ξи(A − 1)2 m−ξT 2 = f 0 · 1 + g0 u 0 ··2(d − 1)ξ· (pn)2 · δαβ· (pn)2 · nα nβ ;(C.11)(C.12)параметры f0, u0 и g0 ренормируются при этом следующим образом:f0 = f Zf ,u0 = uZu ,g0 = gµξ Zg ,Zg = Zf−1.(C.13)Рассмотрим структуру T1.
Поскольку в схеме MS константы ренормировки имеют видZx = 1 +g· Cx + O g 2 ,ξ(C.14)учитывая (C.11) и (C.13), получаем−ξd−2+AmT1 = f Zf · 1 + gµξ Zg ··=2(d − 1)ξ=fg1 + Cfξ−ξξ1 + gµ · d − 2 + A · m .2(d − 1)ξ1 + gξ Cf(C.15)Данное выражение должно быть УФ–конечно в первом порядке по g,соответственно µ ξ d − 2 + A 1g· Cf = −g ··· .ξm2(d − 1) ξ(C.16)180Учитывая, что µ ξmполучаем, что= 1 + O (ξ) ,(C.17)d−2+A.2(d − 1)(C.18)Cf = −В результате из (C.14) и (C.18) следует, чтоZf = 1 −d−2+A g· + O g2 .2(d − 1) ξ(C.19)Константа Zu может найдена аналогичным способом из требования отсутствия полюсов по ξ в структуре T2.
При этом для нахождения координатнеподвижной точки необходимо знать не сами константы Z, а β–функциизарядов g и u. Поэтому непосредственный расчет константы Zu производить не обязательно — зная βg , γg и γf , можно сразу вычислить аномальнуюразмерность и β–функцию заряда u; см. раздел C.2.3.C.2.2.Вычисление аномальной размерности и β–функции заряда gПо определениюeµ g.βg = D(C.20)Прологарифмировав равенство g0 = gµξ Zg и применив к полученномуeµ , учитывая определение аномальной размерновыражению операцию Dсти γ (C.4), получаем1· βg + ξ + γg = 0,g(C.21)βg = g · (−ξ − γg ).(C.22)т. е.181Из последнего равенства (C.13) и определения аномальной размерности (C.4) следует, чтоγg = −γf .(C.23)Рассмотрим произвольную функцию F (g).
Применяя к ней операциюeµ и учитывая (C.5), получаемD∂g∂F (g)eDµ F (g) = µ = β(g) · ∂g F (g),·∂µ g0 ,ν0∂g(C.24)следовательноe ln Zf = β(g) · ∂g ln Zf = g(−ξ + γf ) · ∂g ln Zf .γf = D(C.25)Из (C.25) следует, чтоγf · (1 − g · ∂g ln Zf ) = −ξ g · ∂g ln Zf ,(C.26)т. о.γf = −ξ ·Dg ln Zf.1 − Dg ln Zf(C.27)Раскладывая в полученном выражении Zf в ряд, в первом порядке по gполучаемγf = −ξ ·= −ξ ·gξ· CfDg ln(1 + gξ · Cf )1 − Dg ln(1 + gξ · Cf )1 + gξ · Cf=·= −g · Cf ,1 + gξ · Cf 1 + gξ · Cf − gξ · Cf(C.28)где Cf определено в (C.18).Учитывая (C.22), (C.23) и (C.28), для β–функции заряда g получаем:d−2+A.(C.29)βg = g · (−ξ + γf ) = g −ξ + g ·2(d − 1)182C.2.3.Вычисление аномальной размерности и β–функции заряда uОтсутствие расходимостей в структуре T2 (C.12) означает, что послезамены затравочных параметров u0, f0 и g0 на их ренормированные аналогиu, f и g (см. (C.13)), в выражении2−ξ1(A−1)mTe2 = u0f0 · 1 + g0 ···u0 2(d − 1)ξ(C.30)должны отсутствовать полюса по ξ.
В первом порядке по g это означает,что1 (A − 1)2 m−ξeT2 = Zu Zf · uf · 1 + g · ··u 2 (d − 1)ξ.(C.31)Учитывая (C.18), из (C.31) следует, что(A − 1)2 g· + O g2 .Zu · Zf = 1 −2(d − 1) u(C.32)Таким образом, в первом порядке по gγu + γf =(A − 1)2 1· · g.2(d − 1) u(C.33)Поскольку из (C.5) и (C.9) следует, чтоeµ u = −uγu,βu = D(C.34)учитывая значение аномальной размерности γf (C.28), для β–функции параметра u получаем:βu = g ·1(d − 2 + A) − (A − 1)2 .2(d − 1)(C.35)183C.3.ИК–асимптотика функций Грина. Инвариантный заряд,неподвижная точкаC.3.1.Уравнение РГ как дифференциальное уравнение в частных производныхРассмотрим уравнение РГ (3.45), (3.46) для модели №2, обладающейодним зарядом g и одним размерным параметром ν:DRG + γF FR = 0,DRG = Dµ + β∂g − γν Dν ,(C.36)(C.37)где γF является аномальной размерностью F , а F — некоторая корреляционная функция полей Φ; для определенности будем считать, что F —парный коррелятор двух составных операторов.
Тогда размерное представление для F имеет видωF = ν dF µdF · R(Mr, mr, µr, g, ν),(C.38)где dωF — частотная размерность F , dF — каноническая размерность F , аR — функция от безразмерных аргументов.Введем переменнную s = k/µ ≡ 1/µr, где k — волновое число, µ —ренормировочная масса. Тогда оператор DRG принимает видDRG = −Ds + β∂g − γν Dν .(C.39)Учитывая (C.39), уравнение РГ (C.36) принимает вид[−Ds + β∂g − γν Dν + γF ] R = 0.(C.40)184Сделаем подстановку R = exp Ψ:[−Ds + β∂g − γν Dν ] Ψ = −γF ,C.3.2.(C.41)Решение однородного дифференциального уравнения.Инвариантный зарядРассмотрим однородное дифференциальное уравнение[−Ds + β∂g − γν Dν ] Ψ = 0.(C.42)Набор его первых интегралов будем называть инвариантными переменными ḡ, ν̄. Будем искать их в виде ḡ = ḡ (s, g), ν̄ = ν̄(s, g, ν). Тогда[−Ds + β∂g ] ḡ = 0,(C.43a)ḡ(1, g) = g.(C.43b)Решением данного дифференциального уравнения является функцияZ ḡdx,(C.44)ln s =g β(x)неявно определяющая ḡ через s.
Действительно, применяя к (C.43a) операции ∂g и Ds , получаем∂g ḡ ·11−= 0,β(ḡ) β(g)(C.45a)1= 1.β(ḡ)(C.45b)Ds ḡ ·Комбинируя (C.45a) и (C.45b), нетрудно получить исходное уравнение (C.43).Из (C.45b) следует, чтоDs ḡ = β(ḡ).(C.46)185Рассмотрим точку g ∗ , определяемой из требования β(g ∗) = 0. В окрестности этой точкиβ(ḡ) = β ′ (g ∗) · (ḡ − g ∗ ) + . . .
,(C.47)поэтому в окрестности неподвижной точки g ∗ уравнение (C.46) имеет видDs [ ḡ (s, g ∗ ) − g ∗ ] = β ′ (g ∗) · (ḡ − g ∗ ).(C.48)Данное уравнение является уравнением Эйлера и решается подстановкойḡ (s, g ∗ ) = sω , где ω = β ′(g ∗ ). Таким образом асимптотика инвариантногозаряда вблизи неподвижной точки g ∗ имеет видḡ (s, g ∗ ) ∼= g ∗ + const · sω .(C.49)Из (C.49) следует, что при ω > 0 ḡ → g ∗ при s → 0; такая неподвижнаяточка является ИК–притягивающей.
При ω < 0 ḡ → g ∗ при s → ∞ (УФ–притягивающая неподвижная точка).Уравнение на инвариантный заряд ν̄ имеет вид[−Ds + β∂g − γν Dν ] ν̄ = 0,(C.50a)ν̄(1, ν) = ν,(C.50b)где ν̄ = ν̄(s, g, ν), γν = γν (g, ν).Решением данного уравнения является функция Z ḡγν (x)ν̄ = ν · exp −dx .g βg (x)(C.51)Подставляя (C.51) в левую часть (C.50) и учитывая (C.43a), получаем тождество[−γν (g) + γν (g)] · ν̄ = 0,т.
о. (C.51) действительно является решением уравнения (C.50).(C.52)186C.3.3.Решение неоднородного дифференциального уравненияУчитывая, что βg = βg (g), γν = γν (g), будем искать частное решениенеоднородного дифференциального уравнения (C.41) в виде Ψ0 = Ψ0(g).Тогда (C.41) принимает видβ∂g Ψ0(g) = −γF ;(C.53)решение данного уравнения есть функцияZ gγF (x)dx,Ψ0(g) = −β(x)a(C.54)где a — произвольный нижний предел. Учитывая (C.54), общее решениенеоднородного дифференциального уравнения (C.41) имеет вид Z gγF (x)R(s, g, ν) = exp −dx · F (ḡ, ν̄),β(x)a(C.55)где F (ḡ, ν̄) — произвольная функция первых интегралов.
РассмотримR(1, g, ν): ZR(1, g, ν) = exp −agγF (x)dx · F (g, ν)β(x)в силу нормировки (C.43b), (C.50b). Из (C.56) следует, чтоZ gγF (x)F (g, ν) = expdx · R(1, g, ν).β(x)aКомбинируя(C.55)и(C.57)получаем,чторешение(C.56)(C.57)уравненияРГ (C.36), (C.37) имеет видR(s, g, ν) = expZḡgγF (x)dx · R(1, ḡ, ν̄),β(x)(C.58)при этом асимптотики инвариантных зарядов ḡ и ν̄ известны, см.
(C.49)и (C.51). Выражение (C.58) является конечным ответом для решения дифференциального уравнения (C.36), (C.37). Проанализируем его: обозначим187выражение, стоящее под экспонентой, как E:Z ḡZ ḡγF∗γF∗γF (x)γF (x)dx =−+dxE=,β(x)β(x) β(x)gg β(x)(C.59)где γF∗ = γF (g ∗). Учитывая (C.44), получаем, что Z ḡZ g∗∗∗γ(x)−γγ(x)−γFFFFE = γF∗ · ln s +dxdx+=β(x)β(x)∗gg= γF∗ · ln s + f (g, ξ).(C.60)Подставляя (C.60) в (C.58), получаем, что первый член в (C.60) дает∗поправку sγF в асимптотике функции R (C.38); второй член есть некотораяфункция exp [f (g, ξ)], являющаяся конечным амплитудным множителем,которым мы впредь интересоваться не будем; а третий член является некоторой конечной функцией ḡ и, как следствие, конечной при s → 0 функциейs, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
