Диссертация (1150694), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Интеграл по частотеZ1111dω··=,(5.102)2π −iω + κk 2 iω + κk 2 ω 2 + ν 2k 42ν 3 · u(1 + u)k 6где u = κ/ν. Симметризующие структуры S1 и S2 для двухлучевой диаграммы имеют вид (5.10a).Таким образом,1A′1 = (δαaδβb + δαb δβa ) · J1 = 0;2(5.103a)A′2 = δαβ δab · J1 = A2 · (d − 1)k 2.(5.103b)156Учитывая (1.18) и (1.19), получаем, чтоA1 = 0;A2 (d − 1)·A2 = 32ν u(1 + u)Zdk k 2 dη (k) A2 (d − 1)m−ξ=·g·,(2π)d k d+ξ2 u(1 + u)ξ(5.104a)(5.104b)где g ≡ ĝ · Cd . Учитывая симметрийный коэффициент данной диаграммы,равный 1/2, и обозначения разделов 5.3.2 и 5.3.3, получаемA1 = 0;(5.105a)A2 (d − 1)A2 =.4 u(1 + u)(5.105b)Пользуясь (5.18) и (5.83) находим, что константа ренормировкиZN, lгдеgA2 QN, l 1=1−· + O g2 ,u(u + 1) 4d (d + 2) ξ(5.106)QN, l = 2N (N − 1) − (d + 1)(N − l)(d + N + l − 2) == −(d − 1)(N − l)(d + N + l) + 2l(l − 1),(5.107)Стоит отметить, что такие же полиномы QN, l возникают и в скалярномслучае [73], и в модели Крейчнана для МГД [30, 45, 74].Из (5.106) следует, что аномальные размерности γN, l равныγN, lA2 QN, lg=+ O g2 .u(u + 1) 4d (d + 2)(5.108)Подставляя значение неподвижных точкек {g ∗ , u∗}, см.
раздел 3.3.3.2, получаем∗γN,lA2QN, l= ∗ ∗· ξ + O ξ2 ,u (u + 1) 3d (d − 1)(5.109)где u∗ — решение уравнения (3.96). Если функция βA тождественно равнанулю, то u∗ = u∗(A), и в выражении (5.109) сохраняется зависимость от157свободного параметра A. Если же βA содержит вклады старших порядковпо g, то в уравнение (5.108) необходимо подставлять весь набор неподвижных точек {g ∗ , u∗, A∗ }.В частности, для A∗ = 1 значение неподвижной точки u∗ являетсяположительным решением квадратного уравнения u(u + 1) = 2(d + 2)/d.В этом случае (5.109) принимает видγN, l =QN, l· ξ + O ξ2 ,6(d − 1)(d + 2)(5.110)что согласуется с результатом, полученным в [75] для МГД.
Кроме того, при подстановке ξ → ξ/3 значение аномальной размерности (5.110)совпадает с аналогичным выражением, полученным для модели Крейчнана [30, 45, 74].При A = 0 операторы FN, l являются УФ–конечными и не требуютренормировки, поэтому аномальная размерность γN, l тождественно равнанулю во всех порядках по ξ, см.
обсуждение в разделе 5.1. В этом случаеинтересными объектами являются не парные корреляционные функции, аструктурные функции Sijn (r) = h[θi (t, x) − θj (t, x′)]n i; их поведение в инерционном интервале определяется операторами, построенными из производных полей θ; см. [68, 76, 77].Во всех остальных случаях амплитуда A2 /u(u + 1) в (5.109) является положительной для любой физической неподвижной точки. Такимобразом для наиболее важного случая скалярного оператора с l = 0 аномальная размерность γN, l является отрицательной, и при фиксированномN монотонно возрастает с ростом l.Из соотношения (5.109) следует, что также как и в модели №2, кри-158тические размерности удовлетворяют условию иерархии ∆N, l > ∆N, l′ приl > l′. Данный факт означает, что в присутствии крупномасштабной анизотропии ведущий вклад в асимптотику корреляционных функций вида (5.2)в инерционном интервале Mr → 0 дает изотропная «сфера» с l = 0.159Основные результаты и выводыВ даннной работе методы ренормгруппы и операторного разложениябыли применены к трем моделям переноса пассивного бездивергентного(поперечного) векторного поля: модели турбулентного переноса пассивного векторного поля в случае, когда поле скорости описывается сильно анизотропным ансамблем Авельянеды–Майда с одним выделенным направлением (модель №1), модели магнитной гидродинамики (турбулентного динамо) при наличии крупномасштабной анизотропии в случае, когда полескорости описывается изотропным ансамблем Казанцева–Крейчнана (модель №2), а также модели турбулентного переноса пассивного векторногополя при наличии крупномасштабной анизотропии в случае, когда полескорости обладает конечным временем корреляции и подчиняется стохастическому уравнению Навье–Стокса для несжимаемой жидкости (модель№3).
Целью работы являлось изучение асимптотики инерционного интервала корреляционных функции пассивного поля θ. Основные результатысформулированы в 4 пунктах и представлены ниже:(1) Установлено, что все три модели являются ренормируемыми иобладают неподвижной ИК–притягивающей точкой, определяющей асимптотику корреляционных функций в инерционном интервале.(2) Показано, что если поле θ удовлетворяет стохастическим уравнениям модели №2, то в асимптотике инерционного интервала корреляционные функции таких полей обладают аномальным скейлингом, что свя-160зано с наличием в данной модели «опасных» составных операторов, целиком построенных из самих полей и обладающих отрицательными размерностями. Данные аномальные размерности вычислены во втором порядкеξ–разложения (включая анизотропные сектора в присутствии крупномасштабной анизотропии), см.
(5.87) — (5.89). Установлено, что при учете поправок порядка ξ 2 как аномальный скейлиг, так и иерархия анизотропныхвкладов усиливаются.Проведено сравнение полученных результатов с точным решением вчастном случае парной корреляционной функции.(3) Для поля θ, удовлетворяющего стохастическим уравнениям модели №3, установлено, что в асимптотике инерционного интервала корреляционные функции также обладают аномальным скейлингом. Данные аномальные размерности вычислены в ведущем порядке ξ–разложения (включая анизотропные сектора в присутствии крупномасштабной анизотропии),см. (5.109).Как и в случае МГД, где A = A0 = 1, аномальные показатели удовлетворяют условию иерархии, связанному с анизотропией: чем меньшеранг тензорного оператора, тем меньше его размерность, и, как следствие,тем бо́льший вклад он дает в асимптотику в инерционном интервале.
Таким образом в присутствии крупномасштабной анизотропии ведущие члены асимптотики, как в изотропном, так и в анизотропном случаях, определяются скалярными операторами, что полностью согласуется с гипотезойо локальном восстановлении изотропии.Открытым остается вопрос, является ли множитель A перед «растягивающим членом» (θ∂)v в уравнении диффузии свободным параметром,161от которого зависят аномальные показатели, или в действительности онстремится к некоторой неподвижной точке. Этот вопрос находится за рамками однопетлевого приближения.(4) В отличии от моделей №2 и №3, а также большинства обобщений модели Крейчнана, где корреляционные функции обладают аномальным скейлингом с бесконечным набором показателей, в модели №1 зависимость от внешнего масштаба L является логарифмической: аномалиипроявляются в виде полиномов от логарифмов безразмерного отношенияL/r, где r является расстоянием между пространственными аргументами составных операторов, см.
(4.66) — (4.67). Степени логарифмов N1 иN2 связаны с канонической размерностью скалярных составных операторов (4.10), целиков построенных из самих полей θ, и определяют семействооператоров, смешивающихся при ренормировке только между собой.Такое поведение является следствием нетривиального смешивания всемействах составных операторов, в результате которого матрица аномальных размерностей γ̂F оказывается нильпотентной. Как следствие, матрицакритических размерностей не диагонализуется, а приводится к жордановой форме.
Данный факт строго доказан для РГ–семейства произвольнойразмерности. Кроме того, в силу тождественного равенства нулю всех многопетлевых диаграмм, данный результат является точным.162БлагодарностиАвтор диссертации благодарит Антонова Николая Викторовича занаучное руководство, терпение и неоценимую помощь в ходе выполнениянастоящей работы.Автор выражает благодарность Аджемяну Лорану Цолаковичу, атакже благодарит преподавателей и сотрудников кафедры физики высоких энергий и элементарных частиц Санкт–Петербургского Государственного Университета и преподавателей школы №292 г. Санкт–Петербурга, вособенности Дворсона Александра Наумовича, за воспитание любви и интереса к физике в целом и теоретической физике в частности.
Кроме того,автор благодарит своих родителей и друзей за участие и моральную поддержку.163A. Приложения к Главе 1A.1.Галилеева инвариантность и ее следствияA.1.1.Галилеево–ковариантная производнаяРассмотрим действие (2.78) для стохастической задачи (2.75) — (2.76):Sv (v′, v) = vi′ Dv vk′ /2 + vk′ −∂t vk − (vi∂i)vk + ν0∂ 2vk .(A.1)Преобразования Галилея имеют видxi → xi + ui t,(A.2a)vi(t, x) → vi(t, x + u t) − ui .(A.2b)Взяв полную производную по времени от правой части (A.2b), получаемdvi(t, x + u t) = ∂t vi(t, x + u t) + uk ∂k vi (t, x + u t).dt(A.3)Из (A.2) и (A.3) следует, что при преобразованиях Галилея(∂t + vk (t, x) ∂k ) · vi (t, x) →→ [∂t + (vk (t, x + u t) − uk ) ∂k ] · [vi(t, x + u t) − ui ] == (∂t + vk (t, x + u t) ∂k ) · vi(t, x + u t),(A.4)т.
е. производная ∇t = ∂t + vk ∂k не меняет вид действия (A.1). Благодаряэтому свойству такая производная называется галилеево–ковариантной.164Из этого следует, что при присутствии в задаче галилеевой симметрии, член с ∇t в действии (A.1) ренормируется следующим образом:vk′ (∂t + (vi∂i))vk → Z · vk′ (∂t + (vi∂i))vk .(A.5)Если галилеева инвариантность нарушена, тоvk′ (∂t + (vi∂i))vk → Z1 · vk′ ∂t vk + Z2 · vk′ (vi∂i )vk .(A.6)В частности (A.5) означает, что если реальный индекс расходимости некоторой функции d′Γ ≤ 1, то из требования отсутствия контрчленов с ∂t (поразмерности, поскольку ∂t ∝ ∂ 2) следует требование отсутствия контрчлена vk′ (vi∂i)vk , т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
