Диссертация (1150694), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Модели №2 и№35.1.Аномальный скейлинг для корреляционных функций винерционном интервале, составные операторы и операторное разложениеДля моделей №2 и №3 тензорные составные операторы, построенныецеликом из полей θ, имеют видFN, l = θi1 (x) · · · θil (x) (θi (x)θi(x))p + . . . ,(5.1)где l ≤ N является числом свободных векторных индексов, а N = l + 2p —полным числом полей, входящих в данный оператор; тензорные индексы иаргумент x величины FN, l подразумеваются. Многоточие отвечает вычитанию тензорных структур с дельта–символами Кронекера, обеспечивающеенеприводимость данного тензора, т.
е. равенство нулю свертки по любойпаре значков (например, оператор F2, 2 = θi θj − δij [θk θk /d]).Стоит отметить, что в случае скалярного поля (либо в A–моделипри A = 0) вместо члена ∂k (vk θi − vi θk ) в функционале действия (2.42)присутствует член ∂k (vk θ), благодаря чему существует симметрия сдвигаθi → θi + consti . Поэтому вместо операторов (5.1) необходимо рассматривать операторы вида Fn = (∂iθ∂i θ)n, построенные из градиентов поля (∂iθ).Объектами изучения являются одновременные парные корреляционные функции операторов (5.1).
В соответствии с разделом 4.2 и приложе-132нием C.3.3, решение уравнения РГ для таких корреляторов имеет видhFN, l (t, x) FK, j (t, x′ )i ≃ (µr)−∆N, l −∆K, j · ζN,l; K,j (Mr),(5.2)где r = |x − x′ |, а ζ(Mr) — некоторая неизвестная функция.Данная асимптотика верна при Λr ≫ 1 и произвольных значениях Mr; вид скейлинговой функции ζ(Mr) в инерционном интервалеl ≪ r ≪ L изучается с помощью операторного разложения.
Из раздела 4.3(см. (4.62) — (4.63)) следует, что искомая асимптотика для скейлинговыхфункций ζ(Mr) РГ–представления (5.2) в области Mr ≪ 1 имеет видζ(Mr) ≃XAF (Mr)∆F ,(5.3)Fгде коэффициенты AF = AF (Mr) регулярны по (Mr)2 . Т. к. сущетвует оператор F , обладающий наименьшей размерностью, главный вклад вразложение (5.3) имеет видζ(Mr) ∼= const · (Mr)∆min .(5.4)Поскольку для любой мультипликативно ренормируемой величиныF = ZF · FR критическая размерность ∆F = dkF + ∆ω dωF + γF∗ (см.
(3.79)),учитывая (3.61) и (3.101), находим, что∆min = ∆FN, l = N (−1 + O (ξ)) + γF∗ N l .(5.5)Это означает, что в случае операторов (5.1) — благодаря отрицательным каноническим размерностям — аномальный скейлинг присутствуетнезависимо от знака поравки γF∗ N l ; в случае операторов Fn = (∂iθ∂iθ)nналичие или отсутствие аномального скейлинга определяется знаком γF∗ n .Поскольку вклады операторов (5.1) в операторное разложение расходятсяпри Mr → 0, их принято называть «опасными».133Таким образом, асимптотическое поведение коррелятора (5.2) имеетвидhFN, l (t, x)FK, j (t, x′)i ≃ (µr)−∆N, l −∆K, j · (Mr)∆N +K, x ,(5.6)где ∆N +K, x — критическая размерность оператора FN +K, x , обладающегоминимальной размерностью.5.2.Скаляризация диаграммРассмотрим составной тензорный операторFN, l = θi1 ...θil (θiθi)p ,N = l + 2p.(5.7)Данный оператор ренормируется мультипликативно, FN l = ZN l · FNRl .
Каки в разделе 4.1.1 константы ренормировки ZN l = ZN l (g, ξ, d) определяютсяиз требования УФ–конечности 1–неприводимых корреляционных функций RFN l (x)θ(x1) . . . θ(xn) 1-непр == ZN−1l FN l (x)θ(x1) . . . θ(xn) 1-непр ≡ ZN−1p ΓN p (x; x1, . . . , xn).(5.8)На рисунках 5.1 — 5.5 изображены все необходимые диаграммы длявычисления ΓN l во втором порядке.Вклад отдельной диаграммы в функционал ΓN l имеет вид (4.4). Таккак вершина Vαβ...
и произведение θa θb . . . симметричны по индексам αβ . . .ab...автоматически оказывается симметризованнойи ab . . . , то величина Iαβ...по отношению к любым перестановкам верхних (латинских) и нижних (греческих) индексов.Обозначим такую симметризацию символом Sym. Тогда для диаграммы с любым фиксированым числом лучей k величина Sym[I] пред-134ставляет собой сверткуSym[I] =XB i Si(5.9)iбазисных структур Si = (Si )ab...αβ...
с некоторыми коэффициентами Bi . Дляk = 2 и k = 3 базисные структры имеют видS1 = Sym[δαa δβb ],S1 = Sym[δaα δbβ δcγ ],S2 = Sym[δab δαβ ] для k = 2,(5.10a)S2 = Sym[δab δαβ δcγ ] для k = 3.(5.10b)При этом непосредственно из диаграмм вычисляются не сами величины Bi , а связанные с ними скалярные величины Ai :ab...Ai = tr[(Si)ab...αβ... Sym[Iαβ... ]] = tr[Si · SymI],(5.11)где символ tr означает свертку по всем повторяющимся индексам.
Связьвеличин Ai и Bi чисто комбинаторная и выполнена в работе [21]. В результатеB1 = 2α2[dA1 − A2],(5.12a)B2 = α2 [−2A1 + (d + 1)A2](5.12b)B1 = 6α3 [(d + 2)A1 − 3A2],(5.13a)B2 = 9α3 [−2A1 + (d + 1)A2](5.13b)для k = 2,для k = 3.В выражениях (5.12) — (5.13)α2 = [(d − 1) d (d + 2)]−1 для k = 2,(5.14a)α3 = [(d − 1) d (d + 2)(d + 4)]−1 для k = 3.(5.14b)135ab...с верСледующим шагом является свертка внутреннего блока Iαβ...шиным множителем (составным оператором) Vαβ... и произведением полейθaθb . . .
. В результате ответ имеет вид (комбинаторный вывод см. в работах [21, 70])ΓN l = FN l Γ,где Γ =Xki Bi ,(5.15)iа коэффициенты ki равныk1 = N (N − 1),k2 = l N l(5.16a)для k = 2,k1 = N (N − 1)(N − 2),k2 = (N − 2)lN l(5.16b)для k = 3, аlN l = (N − l)(d + N + l − 2).(5.16c)Окончательно, учитывая (5.12) — (5.13) и (5.16), получаем, что Γ̄ равноΓ=Xpi Ai ,(5.17)iгдеp1 = 2α2 [N (N − 2)(d − 1) + λl ],(5.18a)p2 = α2 [N (N + d)(d − 1) − (d + 1)λl ](5.18b)p1 = 6α3 (N − 2)[N (N − 4)(d − 1) + 3λl ],(5.19a)p2 = 9α3 (N − 2) [N (N + d)(d − 1) − (d + 1)λl ](5.19b)для k = 2,для k = 3, множители A1,2 представлены в (5.11), α2,3 — в (5.14), аλl = l (l + d − 2).(5.20)136В работе [21] показано, что при данном выборе коррелятора (2.41) (аименно при жестком обрезании k > m) и точном ответе для операторасобственной энергии Σ (см.
рисунок 2.7) вклады диаграмм со вставкамиоператора собственной энергии автоматически взаимно сокращаются. Этосвязяно с тем, что для учета таких поправок можно перейти от коэффициента вязкости ν0 к эффективной вязкостиνэфф.d − 1 m−ξ·,= ν0 + g ·2dξ(5.21)см. (3.48), и ввести множитель Q:(1)Γ1 = Γ ,где(2)Γ2 = Γ(1)−Q·Γ ,(5.22)id−1 1hξ·(µ/m) − 1 .Q=g·2d ξ(5.23)При разложении Q в ряд по ξ возникают члены вида ln µ/m, при этомблагодаря жесткому обрезанию k > m члена O(1) в разложении нет; такиеже логарифмические члены возникают и при разложении по ξ выражения (µ/m)lξ , стоящего множителем перед любой l–петлевой диаграммой.Поскольку в схеме MS константы ренормировки зависят только от заряда и не зависят от массовых параметров m и µ, данные вклады обязанывзаимно сократиться.
Это означает, что при вычислениях можно сразу положить Q = 0 (т. е. не учитывать вставки оператора собственной энергии)и µ/m = 1; как следствие,(2)Γ2 = Γ .(5.24)1375.3.Модель №2В данном разделе будет представлен двухпетлевой расчет аномаль-ных размерностей γF∗ N, l составных операторов FN, l для модели (2.42). Данные аномальные размерности входят в критические показатели (5.6), определяя таким образом асимптотическое поведение корреляционных функций составных операторов.По определению аномальная размерность γF равнаγF = βg ∂g ln ZF .(5.25)Поскольку γF является одним из слагаемых в уравнении РГ (3.45) для конечных (ренормированных) операторов (5.1), она не может иметь полюсовпо ξ.
Раскладывая выражение (5.25) в ряд и учитывая вид констант ZF всхеме MS, получаем111ln ZF = ln 1 + · C1(g) + 2 · C2(g) + 3 · C3(g) + . . . =ξξξ 1111= · C1(g) + 2 · B2(g) + 3 · B3(g) + O 4 .ξξξξ(5.26)Посколькуβg (g) = −g · (ξ + γg ),(5.27)из (5.26) следует, что111γF = −g(ξ + γg ) ·· C1 (g) + 2 · B2 (g) + 3 · B3 (g) + ... .ξξξ(5.28)В силу требования конечности γF при ξ → 0 все члены кроме первогов (5.28) должны взаимно сократиться, в результате чегоγF = −g · C1 (g).(5.29)138Таким образом вклад в аномальную размерность дают лишь коэффициенты при полюсе первого порядка по ξ.5.3.1.Однопетлевая диаграммаОднопетлевая диаграмма D1 представлена на рисунке (5.1).Рис. 5.1.
Однопетлевая диаграмма D1 .Аналитическое выражение для данной диаграммы имеет видI=Zdω2πZdk11D0···× J1 ,(2π)d −iω + νk 2 iω + νk 2 k d+ξ(5.30)гдеJ1 = Pαi (k) · Pβj (k) · Pxz (k) · Vi,xa (k) · Vj,zb(−k) == Pαβ (k)kakb.(5.31)Здесь Vc,ab(k) ≡ Vc ab (k) = i(kaδbc − kb δac) — вершина (2.44).
Интеграл почастоте равенZ111dω=,2π −iω + νk 2 iω + νk 22νk 2(5.32)симметризующие структуры S1 и S2 для двухлучевой диаграммы представлены в (5.10a).139Таким образом,1A′1 = (δαaδβb + δαb δβa ) · J1 = 0;2(5.33a)A′2 = δαβ δab · J1 = (d − 1)k 2.(5.33b)Учитывая (1.4) получаем, чтоA1 = 0;A2 |d=3d−1=·g·2Z(5.34a)m−ξ1d−1m−ξ dk=g·=·g·, (5.34b)(2π)d k d+ξ2ξ d=3ξгде g ≡ ĝ · Cd . Учитывая, что симметрийный коэффициент для даннойдиаграммы равен 1/2, окончательно получаем, чтоA2 |d=31m−ξ= ·g·.2ξ(5.35)Здесь и далее все интегралы для модели №2 вычислены для физическинаиболее интересного случая трехмерного пространства (d = 3).В обозначениях последующих разделов 5.3.2 и 5.3.3 ответ для диаграммы D1 имеет видA1 = 0;(5.36a)1A2 = .2(5.36b)1405.3.2.Двухпетлевые диаграммыДвухпетлевая диаграмма D22 представлена на рисунке (5.2).Рис.
5.2. Двухпетлевая диаграмма D22 .Аналитическое выражение для данной диаграммы имеет видI22 =·Z+∞−∞dω2πZ+∞−∞dω ′2πZdk(2π)dZ1dq··(2π)d −i(ω + ω ′ ) + ν(k + q)2111D0D0····× J22,i(ω + ω ′ ) + ν(k + q)2 −iω + νk 2 iω + νk 2 q d+ξ k d+ξ(5.37)где индексная структураJ22 = Pβj (k + q) · Pαi (k + q) · Pdm (k) · Pck (k) · Pxz (q) · Pyt (k)··Vi, xc (k + q) · Vj,zd (−k − q) · Vk, ya (k) · Vm,tb (−k).(5.38)Поперечность вершины (2.54) дает следующее упрощение:Pβj (k + q) · Vj,zd (k + q) → δβj ,Pαi (k + q) · Vi,xc (k + q) → δαi ,Pdm (k) · Vm,tb (k) → δdm ,Pck (k) · Vk,ya (k) → δck .(5.39)141Таким образом выражение для индексной структуры (5.38) принимает видJ22 = Pxz (q) · Pyt (k) · Vα,xc (k + q) · Vβ,zd (−k − q) · Vc,ya (k) · Vd,tb (−k) == Pxz (q) · Pcd (k) · (kx δαc − qc δαx ) · (kz δβd − qd δβz )ka kb.(5.40)Интегралы по частотам равныZ +∞Zdω +∞ dω ′11··′2 i(ω + ω ′ ) + ν(k + q)2−∞ 2π −∞ 2π −i(ω + ω ) + ν(k + q)1111·=·,−iω + νk 2 iω + νk 24ν 2 k 2(k + q)2(5.41)Z(5.42)·соответственно,I221= · g2 ·4dk(2π)dZdq111···× J22.(2π)d k 2 (k + q)2 q d+ξ k d+ξТеперь необходимо произвести свертку J22 с симметризующими структурами S1 и S2.
В соответствии с (5.10a),S2 = Sym[δab δαβ ] = δab δαβ ,(5.43)поэтомуA′2 = k 2 · Pxz (q) · Pcd (k) · (kx δαc − qc δαx ) · (kz δβd − qd δβz )δαβ == k 2 · {(d − 1) · [kx Pxz (q)kz + qx Pxz (k)qz ] − 2kx Pxα (q)Pαd (k)qd} .(5.44)Учитывая, чтоkx Pxz (q)kz = k 2 sin2 φ,(5.45)kx Pxα (q)Pαd (k)qd = −(k · q) sin2 φ,(5.46)где φ — угол между векторами k и q, получаем, чтоA′2 = k 2 · (d − 1)(k 2 + q 2 ) sin2 φ + 2(kq) sin2 φ ,(5.47)1421A2 =4Zdk(2π)dZ11 (d − 1)(k 2 + q 2 ) + 2(kq)dq· sin2 φ, (5.48)(2π)d q d+ξ k d+ξ(k + q)2где A2 представляет собой выражение (5.42) после свертки со структуройS2 .Интегрирование выражения (5.48) выполняется с помощью усреднения по углам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
