Диссертация (1150694), страница 10
Текст из файла (страница 10)
. . ) = 0.(3.76)Учитывая уравнения масштабной инвариантности (3.56) и размерноти полей и параметров из таблицы 2.3, получаем уравнение критического скейлинга задачи (2.78):[−Dx + ∆tDt + ∆mDm − ∆G ] GR = 0,(3.77)где∆t = −∆ω = −2 + γν∗,∆m = 1,(3.78)а∆[G] ≡ ∆G = dkG + ∆ω dωG + γG∗(3.79)является соответствующей критической размерностью.Учитывая точное равенство γν∗ = ξ/3, а также то, что в данной моделиполя не ренормируются, получаем, что критические размерности исходных83полей равны∆v = 1 − ξ/3,∆v′ = d − 1 + ξ/3.(3.80)В силу точного равенства γν (g∗) = ξ/3 вклады порядков ξ 2 и выше в выражения (3.80) отсутствуют.3.3.2.Ренормировка параметра A0Как следует из раздела 2.4.6, однопетлевое разложение для функцииhθα′ θγ vβ i1-непр имеет видhθα′ θγ vβ i1-непр = Vαβγ + (∆1 + ∆2 + ∆3),(3.81)где Vαβγ — вершина (2.79), а ∆1, ∆2 и ∆3 изображены на рисунках 2.16а —2.16в.Данный контрчлен может быть воспроизведен мультипликативнойренормировкой параметра A0 :A0 = A · ZA .(3.82)При этом из (2.120), (2.127) и (2.134) следует, что∆1 + ∆2 + ∆3 = 0.(3.83)Это означает, чтоZA = 1 + O g 2 ,eµ A = −AγA = 0.βA = D(3.84)В работе [33] рассматривалась A–модель (2.73), при этом перемешивающее поле скорости описывалось моделью Крейчнана с нулевым временем корреляции.
При этом все нетривиальные фейнмановские диаграммы1–неприводимой функции Грина hθ′ θvi оказывались равными нулю из-за84замкнутых циклов запаздывающих пропагаторов. Как следствие, ZA = 1 иγA = 0. В данной задаче ZA = 1 + O g 2 по причине сокращения нетривиальных вкладов трех однопетлевых диаграмм ∆1, ∆2 и ∆3. Для контрчленаθ′(v∂)θ такое сокращение гарантировано во всех порядках по g галилеевской симметрией, в то время как для контрчлена θ′(θ∂)v данный фактвыглядит случайным и может быть всего лишь следствием простой структуры однопетлевых диаграмм.
Нет оснований полагать, что этот механизмбудет работать и для многопетлевых диаграмм, поэтому ZA и γA могутсодержать члены порядка g 2 или выше.3.3.3.Стохастическое уравнение конвекции–диффузии. Ренормировка параметра κ03.3.3.1.Уравнение РГ. β– и γ–функцииУравнение Дайсона для парной корреляционной функции пассивныхполей θ, θ ′ (см. (2.103)) имеет видΓ2, θ (ω, p) = −iω + κ0 p2 − Σθ (ω, p).Подставляя Σθ из (2.112), получаем2Γ2, θ = −iω + ν0u0p 1 +g0·u0 (u0 + 1)(3.85)d−1+2d11u0+(A − 1)++2d u0 + 1 d(d + 2)u0m−ξSd12 1+(A − 1)+·.·2 u0 + 1 d(d + 2)(2π)dξ(3.86)Из уравнения Дайсона следует, чтоκ0 = ν0u0 = νuZκ.(3.87)85Поскольку поле θ является пассивным, константы ренормировки Zν и Zg ,найденные в разделе 3.3.1.1, не зависят от параметров A и u, являющихся характеристиками пассивного поля.
Поэтому, учитывая (3.64) и (3.69),получаем, что в первом порядке по gΓ2, θ = −iω + νu · Z2 · pгде2 m−ξ,1 − gµ · C ·ξξ(3.88)d−11u1+ (A − 1)+·+2d2d u + 1 d(d + 2)u1Sd2 1.(3.89)+··+(A − 1)2 u+1d(d + 2)(2π)d1C=−·u(u + 1)Ренормированный функционал действия имеет видSR (Φ) = SRv (v, v′) + θi′ Dθ θk′ /2++θk′ −∂t θk − (vi∂i )θk + AZA (θi∂i)vk + κZκ ∂ 2θk ,(3.90)где SRv (v, v′) — функционал действия (3.65).УчитываяявныйвидоператораDRG={Dµ − γν Dν + βg ∂g + βu ∂u + βA ∂A }, находим, чтоγκ = −g · C,(3.91)где C определено в (3.89).
Из (3.87) следует, что Zκ = Zν · Zu , поэтомуγκ = γν + γu .(3.92)Учитывая, что βu = −uγu, из (3.92) получаем, чтоβu = u(γν − γκ ).(3.93)863.3.3.2.ИК–притягивающая неподвижная точкаВ соответствии с приложением C.3, главный член ИК–асимптотикидается подстановкой g → g ∗ , u → u∗, где g ∗ , u∗ определяются из условийна β–функцию:βg (g ∗ ) = 0,βu(u∗) = 0,(3.94)при этом тип неподвижной точки определяется матрицей Ωik=∂βi/∂gk |g=g∗ .Из раздела 3.3.3.1, а также выражений (3.91) и (3.93) следует, чтопри ξ > 0 модель имеет нетривиальную ИК–притягивающую неподвижнуюточку {g ∗ , u∗}, гдеg∗ =4 (d + 2)· ξ,3 (d − 1)(3.95)а u∗ является корнем кубического уравнения41A2 + Ad + d2 − 3+ u · · A(A − 1) = u(u + 1)2.
(3.96)(u + 1) ·d−12ddТретьим уравнением (на точку A∗ ) является условие βA = 0. Из (3.84)следует, что в первом порядке по g данное условие удовлетворяется автоматически. При этом в однопетлевом приближении невозможно установить,верно ли подобное равенство и в старших порядках тоже.Если данное равенство верно во всех порядках по g (как, например, вA–модели с нулевым временем корреляции, см.
[33]), то уравнение βA = 0в действительности является тождеством и не налагает дополнительныхусловий на координаты неподвижных точкек, а уравнение (3.96) определяет точку u∗ как функцию свободного параметра A0 = A.Анализ уравнения (3.96) показывает, что в наиболее интересном с физической точки зрения случае d = 3 положительное решение u∗ существует87и единственно при всех A. Как функция от A оно обладает минимумомпри A ≃ −0.5, при этом u∗ ≃ 0.94, и возрастает как u∗ = |A| + O(1) приA → ±∞. В случае магнитной гидродинамики, при A = 1, неподвижная точка u∗ ≃ 1.393 и согласуется с результатами работы [66, 67]. ПриA = 0 неподвижная точка u∗ = 1 и согласуется с [68]; при A = −1 неподвижная точка u∗ = 1.
Кроме того, данная неподвижная точка являетсяИК–притягивающей: ∂uβu > 0, ∂A βA = ∂uβA = 0.Подобное поведение функции u∗(A) наблюдается при всех d > 2. Какфункция d, данное решение монотонно убывает и стремится к единице приd → ∞. Для d ≤ 2 полученные результаты неприменимы, т. к. сама процедура ренормировки действия (2.78) для стохастического уравнения Навье–Стокса должна быть иной (см. [65]).Если ZA = 1 + O g 2 и имеет неисчезающие вклады порядка g 2 либостарших порядков, то уравнения βu = 0, βA = 0 определяют набор неподвижных точек u∗ и A∗ .
При этом точки A∗ = 0 и A∗ = 1 удовлетворяютданным уравнениям во всех порядках по g: в первом случае существуетдополнительная симметрия по отношению к сдвигу θi → θi + consti (в стохастическое уравнение (2.73) входят только производные поля θ), во втором — нелинейный член Vi = (vk ∂k )θi − (θk ∂k )vi = ∂k (vk θi − θk vi ) в (2.73)является поперечным (∂i Vi = 0), т. о. нелокальный член ∂iP, отвечающийдавлению, исчезает.
Оба этих свойства сохраняются процедурой ренормировки.Существование других неподвижных точек нельзя определить без явного двухпетлевого расчета; при этом такие точки существуют для пассивного векторного поля, переносимого сжимаемым крейчнановым полем88скорости, см. [69].3.3.3.3.Критические размерностиДля любой мультипликативно ренормируемой величины GR главныйчлен ИК–асимптотики уравнения РГ (3.45), (3.46) удовлетворяет этому жеуравнению в неподвижной точке g ∗ , u∗ , т. е.[Dµ − γν∗Dν + γG∗ ] GR (e, µ, . .
. ) = 0.(3.97)Учитывая уравнения масштабной инвариантности (3.56) и размерноти полей и параметров из таблицы 2.3, получаем уравнение критического скейлинга задачи (2.77):[−Dx + ∆t Dt + ∆m Dm + ∆M DM − ∆G ] GR = 0,(3.98)где∆t = −∆ω = −2 + γν∗,∆m = ∆M = 1,(3.99)а∆[G] ≡ ∆G = dkG + ∆ω dωG + γG∗(3.100)является соответствующей критической размерностью.Учитывая точное равенство γν∗ = ξ/3, а также то, что в данной моделиполя не ренормируются, получаем, что критические размерности исходныхполей равны∆v = 1 − ξ/3,∆v′ = d − 1 + ξ/3,∆θ = −1 + ξ/6,∆θ′ = d + 1 − ξ/6.(3.101)В силу точного равенства γν (g∗) = ξ/3 вклады порядков ξ 2 и выше в выражения (3.101) отсутствуют.894.
Ренормировка составных операторов. Модель №14.1.Критические размерности составных операторов4.1.1.Общая схемаПри вычислении аномальных показателей ключевую роль играюткритические размерности ∆F неприводимых тензорных полей («локальныхсоставных операторов» в квантово–полевой терминологии), построенныхцеликом из самих полей θ, взятых в одной и той же точке пространства–времени x = (t, x). Будем рассматривать скалярные операторыFN, p, m = (θiθi )p (nsθs )2m,N = 2(p + m).(4.1)Они ренормируются мультипликативно, FN p = ZN p FNRp, и константыренормировки ZN p = ZN p (g, ξ, d) находятся из условия конечности 1–неприводимых функцийFNRp(x)θ(x1) .
. . θ(xn)1-непр== ZN−1p FN p (x)θ(x1) . . . θ(xn) 1-непр ≡ ZN−1p ΓN p (x; x1, . . . , xn),(4.2)т. е. отсутствия в них полюсов по ξ, будучи выраженными через ренормированные параметры (3.5). Данное требование эквивалентно конечностипроизведения ZN−1p · ΓN p (x; θ), где901ΓN p (x; θ) =n!Zdx1 . . .Zdxn ΓN p (x; x1, . . . , xn)××θ(x1) . . . θ(xn)(4.3)является функционалом от поля θ(x) и определяет ZN l с точностью до произвольной сходящейся части, выбор которой диктуется выбранной схемойвычитаний.
Наиболее удобной для вычислений является схема минимальных вычитаний (MS), в которой константы ренормировки имеют вид 1 +полюса по ξ.Вклад отдельной диаграммы в функционал ΓN p (4.3) для любого оператора FN p представим в видеab...θa θb . . . ,ΓN p = Vαβ... Iαβ...(4.4)ab...— «внутренний блок»,где Vαβ... является вершинным множителем, Iαβ...вычисляемый непосредственно по диаграмме, а произведение θa θb .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
