Диссертация (1150694), страница 14
Текст из файла (страница 14)
е. для семейства операторов с произвольным N .Поскольку в обозначениях (4.69) строка матрицы A соответствуетоператору с некоторым фиксированным номером p (см. (4.1)), элемент nkна самом деле равен Cp , где C является номером столбца, а нумерацияначинается с нуля.4.4.4.ДоказательствоДоказательство данной гипотезы разделено на несколько этапов. Вначале будет доказана ее справедливость для первых двух столбцов, затем —для трех нижних диагоналей, после чего — для всех остальных элементов.1204.4.4.1.Столбец №1 (C = 0)В соответствии с (4.71),1X∗γN,p+i = 0.(4.86)i=−2Из этого следует, что если первый столбец матрицы UN 0 0 первый столбец матрицы A · U равен . ..
. 04.4.4.2. 1 1 равен , то .. . 1Столбец №2 (C = 1)Последним элементом во втором (первом нетривиальном) столбце,для матрицы U18 он равен 1/306 (см. (4.85)), является элемент, определяемый последним элементом нижней диагонали матрицы A (для матрицыA18 он равен −306, см. (4.84)). Поскольку данный элемент находится нанижней диагонали, он, в свою очередь, определяется выражением (4.71a);поскольку он является последним, он отвечает оператору с p = 0 и 2m = N ;т. о. необходимый элемент матрицы AN равен N (N − 1) для любой размерности матрицы AN .Из данных утверждений следует, что уравнение, определяющее искомый элемент X матрицы UN , имеет вид121N (N − 1) · X = 1.(4.87)Как следствие,X=1,N (N − 1)(4.88)что согласуется с (4.85): при N = 18 правая часть (4.88) равна 1/306.Уравнение того же типа, что и (4.87), но отвечающее второму элементу в столбце, имеет вид(N − 2)(N − 3) · X +2 + (N − 2)(7 − N )=1N (N − 1)(4.89)и следует из требования равенства единице суммы двух членов, один из∗∗которых отвечает переходу γN,p+1 (4.71a), а второй переходу γN, p (4.71b),а также того факта, что данные элементы отвечают оператору с p = 1.
Изуравнения (4.89) следует, чтоX=2.N (N − 1)(4.90)Уравнение для третего элемента в столбце имеет тот же вид, что иуравнения (4.87) и (4.89), но содержит три члена. Поскольку мы поднялисьеще на одну позицию вверх, параметры оператора FN, p = (θiθi )p (ns θs)2mстали равны p = 2 и 2m = N − 4. Таким образом(N − 4)(N − 5) · X++ [4 + 8(N − 4) − (N − 4)(N − 5)] ·+ [8 − 4 − 8(N − 4)] ·2+N (N − 1)1= 1,N (N − 1)(4.91)122следовательноX=3.N (N − 1)(4.92)Выражения (4.87), (4.89) и (4.91) состоят из различного числа членов, поэтому их необходимо рассматривать отдельно от общего уравнения (4.93). Другим выделенным с этой точки зрения элементом являетсяпервый элемент в столбце, для матрицы (4.85) он равен 9/306. Для этого элемента необходимо поверить тождество; это будет сделано в (4.95).Уравнение для всех остальных элементов второго столбца всегда содержитчетыре члена; учитывая (4.88), (4.90) и (4.92), получаемk+2+N (N − 1)k+1k+ [4p (p − 1) − 2p − 8pm] ·− 4p (p − 1) ·= 1, (4.93)N (N − 1)N (N − 1)2m(m − 1) · X + [2p + 8pm − 2m(2m − 1)] ·где k является номером элемента в столбце и начинается с 1.
Из (4.93)следует, чтоX=k+3.N (N − 1)(4.94)Таким образом выражения (4.88), (4.90), (4.92) и (4.94) определяютвсе элементы второго столбца. Теперь необходимо проверить тождестводля первого («самого верхнего») элемента. Данный элемент отвечает оператору с m = 0; p = N/2, поэтому из (4.71) следует, что аналог уравнения(4.93) для него имеет вид1[4p (p − 1) + 2p] ·= 1.N (N − 1) p=N/2(4.95)При подстановке p = N/2 правая и левая части (4.95) действительно равныдруг другу, т. о. тождество выполняется.123Данное утверждение заканчивает доказательство элементов второгостолбца. Из (4.88), (4.90), (4.92) и (4.94) следует, что все элементы данногостолбца имеют одинаковые знаменатели, а именно N (N − 1), а числительлюбого из них равен k, причем k = 1 отвечает второму элементу с конца.Данные выражения найдены из требования, сформулированного в концераздела 4.4.2: необходимо найти такую невырожденную матрицу UN , чтобыпроизведение AN ·UN состояло из тех же столбцов, что и сама матрица UN ,но их положение было бы сдвинуто на одну позицию вправо.
При этом всеэлементы предыдущего столбца равны 1, см. раздел 4.4.4.1.Длядальнейшегонампотребуетсяобъединитьформулы(4.88), (4.90), (4.92) и (4.94) с помощью сочетаний: поскольку дляданного столбца C = 1, 1pX=·.N (N − 1)14.4.4.3.(4.96)Три нижние диагоналиСледующим этапом в доказательстве данной гипотезы являются элементы, находящиеся на трех нижних диагоналях. Данные три диагоналинеобходимо рассматривать отдельно от всех остальных по той же причине,по которой уравнения (4.87), (4.89) и (4.91) необходимо рассматривать отдельно от общего выражения (4.93) — первые три уравнения, отвечающиеоператорам с p = 0, p = 1 или p = 2, являются «выделенными» и содержатразное число членов.Начнем рассмотрение с нижней диагонали. Произведение любого ееэлемента с соответствующим элементом матрицы AN должно быть равно124элементу матрицы UN , находящемуся в той же строке, но в предыдущемстолбце.
Поскольку элементы первых двух столбцов уже известны, рассмотрим последний (нижний) элемент столбца C = 1 и построим последовательность всех остальных элементов данной диагонали.Все элементы, находящиеся на нижней диагонали, связаны междусобой условием∗X · γN,p+1 = Y,(4.97)где X и Y являются элементами рассматриваемой диагонали, причем Y —уже известный элемент из столбца с номером CY = i, а X — искомыйэлемент, находящийся в столбце с номером CX = i + 1.∗В соответствии с (4.71a), коэффициент γN,p+1 равен 2m (2m − 1).
Рас-сматривая элементы двух первых столбцов, для которых CY = 0 (т. е.Y = 1, см. раздел 4.4.4.1), CX = 1, а 2m = N , имеем:X=1.N (N − 1)(4.98)Номер строки для каждого последующего элемента данной диагона∗ли возрастает, поэтому число 2m, входящее в выражение (4.71a) для γN,p+1 ,убывает от N (столбец C = 1) до 2 (последний столбец).
Таким образом из(4.97) следует, что последовательность элементов данной (нижней) диагонали равна1; ...N (N − 1)(N − 2)(N − 3)1.N (N − 1)(N − 2)(N − 3) · . . . · 2 · 11;N (N − 1)...(4.99)125Уравнение, аналогичное (4.97) и связывающее между собой элементы,находящиеся на второй снизу диагонали, имеет вид∗X · γN,p+1 +=1∗· γN,p =N (N − 1)...(N − 2p + 2)(N − 2p + 1)p,N (N − 1)...(N − 2p + 4)(N − 2p + 3)(4.100)∗∗где X является искомым элементом, а γN,p+1 и γN, p определены в (4.71a)и (4.71b). Числитель выражения, находящегося в правой части, следуетиз явного вида данных уравнений: при C = 1 искомый элемент отвечаетоператору с p = 2, причем в соответствии с (4.90) его правая часть равна2/N (N − 1).
Решение данного уравнения (см. (4.101)) пропорциональноp + 1 и является отправной точкой для следующего элемента диагонали,который соответствует оператору с p = 3, и т. д. Необходимо иметь в виду,что в уравнении (4.100) правая часть является не искомой, а известнойвеличиной. Из (4.100) следует, чтоX=p+1,N (N − 1) . . .
(N − 2p + 1)(4.101)что находится в согласии с (4.85). Поскольку данные элементы находятсяна второй снизу диагонали, числитель (4.101) может быть записан какp+1=p+1.p(4.102)Для элементов, находящихся на третьей снизу диагонали, уравнениемвида (4.97) и (4.100) является уравнение126p∗· γN,p+N (N − 1) . . . (N − 2p + 4)(N − 2p + 3)1∗+· γN,p−1 =N (N − 1) . . . (N − 2p + 4)(N − 2p + 3)α,(4.103)=N (N − 1) . . . (N − 2p + 6)(N − 2p + 5)∗X · γN,p+1 +∗∗∗где X является искомым элементом, а γN,p+1 , γN, p и γN, p−1 определеныв (4.71a), (4.71b) и (4.71c). Кроме того,α=3+p−1Xn=n=31p (p − 1).2(4.104)Из (4.103) и (4.104) следует, чтоX=12p (p + 1),N (N − 1) .
. . (N − 2p + 3)(4.105)что также может быть записано с помощью сочетаний:1p+1X=·.N (N − 1) . . . (N − 2p + 3)p−1(4.106)Таким образом, на данном этапе гипотеза, сформулированная в разделе 4.4.2, доказана для элементов, находящихся в двух первых столбцах итрех нижних диагоналях — данные элементы удовлетворяют тому требованию, чтобы произведение матриц AN · UN состояло из тех же столбцов, чтои сама матрица UN , но их положение было бы сдвинуто на одну позициювправо.4.4.4.4.Все остальные элементыДля завершения доказательства необходимо ввести некоторые обозначения, которые будут использоваться только в текущем разделе. Обо-127значим номер столбца символом C, причем первому столбцу сопоставимзначение C = 0. Символом CL обозначим элемент, находящийся в столбце сномером C и строке с номером L (нумерация строк идет снизу вверх и начинается также со значения L = 0). Гипотеза состоит в том, что для любыхC и L числитель элемента CL является сочетанием LC .
Для доказательствавоспользуемся комбинаторными соотношениями между сочетаниями: LLL+1−C=·;CC −1C L+CL+C−1L+C;=·1+CCC−1 LL−1L.=·L−CCC(4.107a)(4.107b)(4.107c)Выражения (4.107a) — (4.107c) позволяют передвигаться в горизонтальном,вертикальном и диагональном направлениях матрицы UN .В общем случае элементы матрицы UN связаны между собой уравнением(N − 2p)(N − 2p − 1) · X ++2p + 4p(N − 2p) − (N − 2p)(N − 2p − 1)· CL+2+N (N − 1) .
. . (N − 2C + 1)4p (p − 1) − 2p − 4p(N − 2p)−4p (p − 1)· CL+1 +· CL =N (N − 1) . . . (N − 2C + 1)N (N − 1) . . . (N − 2C + 1)=(C − 1)L+3,N (N − 1) . . . (N − 2C + 3)(4.108)где X — искомый элемент. Для доказательства гипотезы раздела 4.4.2 необходимо проверить два утверждения:(1) Знаменатели элементов X равны произведению N (N − 1) . .
. (N −2C + 1).128(2) Числители элементов X, обозначенные как CL+3 , являются соответствующими сочетаниями. При этом необходимо иметь в виду, что элементы трех нижних диагоналей уже известны (см. (4.99), (4.101) и (4.105)),и их числители являются сочетаниями.Таким образом необходимо проверить, выполняется ли уравнение (4.108), если X удовлетворяет требованиям (1) и (2), т.
е. еслиX=CL+3,N (N − 1) . . . (N − 2C + 1)(4.109)а все числители C в (4.108) являются сочетаниями.Подставим X из (4.109) в уравнение (4.108):(N − 2p)(N − 2p − 1)· CL+3 +(N − 2C + 2)(N − 2C + 1)+2p + 4p(N − 2p) − (N − 2p)(N − 2p − 1)· CL+2 +(N − 2C + 2)(N − 2C + 1)++4p (p − 1) − 2p − 4p(N − 2p)· CL+1+(N − 2C + 2)(N − 2C + 1)[−4p (p − 1)]· CL = (C − 1)L+3 .(N − 2C + 2)(N − 2C + 1)(4.110)Используя (4.107), выразим CL+3, CL+2 , CL+1 и (C − 1)L+3 через CL :129(L + 2 + C) (L + 1 + C) (L + C)· CL ;(L + 2)(L + 1)L(L + 1 + C) (L + C)=· CL ;(L + 1)L(L + C)=· CL ;LC (L + 1 + C) (L + C)=· CL .(L + 2)(L + 1)LCL+3 =(4.111a)CL+2(4.111b)CL+1(C − 1)L+3(4.111c)(4.111d)Подставляя (4.111) в (4.110), получаем выражение, не содержащее произвольного параметра CL :(L + 2 + C) (L + 1 + C) (L + C)(N − 2p)(N − 2p − 1)·+(N − 2C + 2)(N − 2C + 1)(L + 2)(L + 1)L++2p + 4p(N − 2p) − (N − 2p)(N − 2p − 1) (L + 1 + C) (L + C)·+(N − 2C + 2)(N − 2C + 1)(L + 1)L4p (p − 1) − 2p − 4p(N − 2p) (L + C)[−4p (p − 1)]·+=(N − 2C + 2)(N − 2C + 1)L(N − 2C + 2)(N − 2C + 1)=C (L + 1 + C) (L + C).(L + 2)(L + 1)L(4.112)Кроме того, числа L, C и p не являются независимыми:1 + L + C = p.(4.113)При подстановке связи (4.113) в уравнение (4.112) правая и левая частидействительно равны друг другу.
Это означает, что предположение (4.109)является верным!1304.4.5.ЗаключениеВ разделах 4.4.4.1 – 4.4.4.4 была доказана гипотеза, что для любойразмерности N существует матрица UN , приводящая матрицу критическихразмерностей к жордановой форме.Как следствие, матрица критических размерностей (4.20) являетсявырожденной, поэтому решение уравнения РГ, описывающее асимптотическое поведение среднего значения операторов (4.10), содержит не толькостепенную зависимость, обусловленную канонической размерностью, но илогарифмические поправки; см. (4.34).1315. Ренормировка составных операторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
