Диссертация (1150694), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

к. они входят только в галилеево–ковариантной комбинации∂t + (vi∂i).A.1.2.Наличие δ–функции как следствие требования галилеевой инвариантностиРассмотрим преобразования Галилеяx → x + u t,(A.7a)x′ → x′ + u t′ .(A.7b)x − x′ → x − x′ + u (t − t′ ).(A.8)ТогдаРассмотрим член действия vDv−1v/2. Поскольку Dv = Dv (x − x′ , t − t′ ), топри преобразованиях ГалилеяDv (x − x′ , t − t′ ) → Dv (x − x′ + u (t − t′ ), t − t′ ).(A.9)165Из (A.9) следует, что если Dv (x − x′ , t − t′ ) = δ(t − t′ ) · Dv (x − x′ ), то припреобразованиях ГалилеяDv (x − x′ ) → Dv (x − x′ ),(A.10)т.

е. является инвариантным. По этой причине корреляторы скорости (1.3), (1.13) и (1.17) содержат некоторую зависимость от k и δ–функциюпо времени.A.2.Модель магнитной гидродинамики Казанцева–КрейчнанаУравнения Максвелла для электромагнитного поля имеют вид1 ∂B rot E = −c ∂t 4π∂D rot H =j+c∂tdiv B = 0div E = 4πρ(A.11)Здесь E — напряженность электрического поля, B — вектор магнитной индукции, H — напряженность магнитного поля, D — вектор электрическойиндукции, j — плотность электрического тока, ρ — плотность электрического заряда, c — скорость света в вакууме.Воспользуемся законом Ома для движущейся среды:1j=σ E+ v×B ,c(A.12)где σ — удельная проводимость, v — скорость среды.

Если удельная проводимость среды велика, то можно пренебречь током смещения ∂D/∂t, тогда14πσ(A.13)E+ v×B .rot H =cc166Положим относительную магнитную проницаемость µ = 1, как следствиеB = H. Выражая из (A.13) E через B и подставляя в уравнения Максвелла,получаем∂Bc2− rot [v × B] = −rot rot B,∂t4πσ(A.14)где c2 /4πσ = ν0 — коэффициент диффузии. Ипользуя поперечность поляB, т. е. условие ∂i Bi = 0, преобразуем полученное уравнение:rot rot B i = ∂i (∂j · Bj ) − ∂ 2B = −∂ 2B;(A.15a)rot {v × B} i = εijk ∂j εkmn vmBn = (δimδjn − δinδjm ) ∂j vm Bn == ∂ j v i Bj − ∂ j v j Bi .(A.15b)Раскладывая магнитное поле B в сумму B0 , меняющегося на больe испытывающего флуктуации на малыхших масштабах (порядка L), и B,расстояниях, используя условие поперечности поля v, получаем уравнениеМГД в видеei + ∂j (vj Bei − viBej ) = Bj0 · ∂j vi + ν0 ∂ 2Bei,∂t B(A.16)где i = 1, .

. . , d, а Bj0 · ∂j vi = fi играет роль случайной силы. Предполагается, что она обладает гауссовым распределением, а ее корреляторравенhfi (x)fj (x′)i = δ(t − t′ )Cij (r/L)(A.17)(подробнее см. монографии [78–80]).Поле скорости среды v′ (x) должно удовлетворять уравнению Навье–Стокса с дополнительным лоренцевым членом, пропорциональным (∂ ×B)×B и описывающим влияние магнитного поля на поле скорости. Вместо167этого в данной постановке задачи рассматривается пассивное поле — предполагается, что на начальных стадиях поле B мало и не влияет на движениепроводящей жидкости, что является естественным предположением прирассмотрении динамики, линейной по силе магнитного поля (см.

[79, 80]).Поэтому вместо поля v′ (x), удовлетворяющего уравнению Навье–Стокса, рассматривается поле v(x) — несжимаемое, изотропное, обладающее гуссовым распределением с нулевым средним и δ–коррелирующее повремени:′′hvi (x)vj (x )i = δ(t − t )Z1dkik·(x−x′ )P(k)De,ij0dk d+ξk>m (2π)(A.18)где Pij (k) = δij − ki kj /k 2 — поперечный проектор, k ≡ |k| — волновоечисло, d — размерность пространства, D0 > 0 — амплитудный множитель,e (радивеличина 1/m, являющаяся внешним масштабом турбулентности Lус корреляций поля скорости), обеспечивает ИК–регуляризацию, ξ — произвольный показатель (с наиболее реалистичным «колмогоровским» знаe связанный счением ξ = 4/3).

Кроме того, данный внешний масштаб L,полем скорости, отождествляется с внешним масштабом случайной силыL, упоминавшимся в (A.17).A.3.Согласование динамики с условием поперечностиРассмотрим уравнение Навье–Стокса (1.16) без вкладов случайнойсилы и давления:∂tvi = −(vk ∂k )vi + ν0 ∂ 2vi.(A.19)Поле скорости v(t, x) является несжимаемым (поперечным), т. е.∂k vk (t, x) = 0.(A.20)168Рассмотрим поле скорости v в момент времени t + ∆t,vi(t + ∆t) = vi(t) + ∆t · ∂t vi(t) + . . . ,(A.21)и потребуем, чтобы для него также было выполнено условие (A.20).

Поскольку в силу (A.20) ∂k vk (t) = 0, данное требование означает, что должновыполняться равенство∂i [∂tvi(t)] = 0.(A.22)Выразим ∂i [∂t vi(t)] из (A.19). Учитывая, что в силу (A.20) ∂i [∂ 2vi (t)] = 0,имеем:∂i [∂tvi (t)] = −∂i [vk (t)∂k ]vi(t) = −∂i vk (t) ∂k vi (t) = −∂i ∂k vivk .(A.23)Из (A.21) и (A.23) следует, что в правую часть уравнения Навье–Стокса (A.19) должен входить член ∂i ℘, где ∂ 2℘ является решением уравнения Пуассона∂ 2℘ = −∂i ∂k vivk .(A.24)Таким образом уравнение (A.19) принимает вид∂t vi = −(vk ∂k )vi + ν0 ∂ 2vi − ∂i ℘,где ℘ — удельное по массе давление.(A.25)169B. Приложения к Главе 2B.1.Доопределение Θ(0)Рассмотрим для простоты скалярное поле. Тогда уравнение на функ-цию Грина имеет вид[∂t − ν∆]G = δ(x − x′).(B.1)Выполнив преобразование Фурье, получаем[−iω + νk 2]G = 1,1.−iω + νk 2G=Как следствие,G(t) =т.

е.Таким образом,Zdω e−iωt,2π −iω + νk 2G(t) = 0, t < 0 G(t) = e−νk2 t , t > 0.2G(t) = θ(t) · e−νk t .(B.2)(B.3)(B.4)(B.5)(B.6)Учитывая δ–корреляцию по времени (см. (1.3)) и (B.6), находим, чтоΣαβ ∝ G(t) · hvvi ∝ θ(t − t′ ) · δ(t − t′ ) = θ(0)(B.7)Поскольку коррелятор (1.3) симметричен по t и t′ , G должна бытьопределена при t = t′ как полусумма своих пределов при t → t′ справа и170слева. Это и эквивалентно доопределениюZ11dω= .22π −iω + νk2B.2.(B.8)О невозможности существования двух пространственныхмасштабов в модели №1Рассмотрим функционал действия (2.10), а именноS(Φ) =−θk′ih22−∂t θk − (vi∂i)θk + A0 (θi∂i )vk + ν0 (∂⊥ + f0∂k )θk ++θi′ Dθ θk′ /2 + viDv−1 vk /2.(B.9)Поскольку поля θ и θ ′ являются поперечными,∂iθi = ∂i θi′ = 0.(B.10)Условием (B.10) данная модель отличается от модели со скалярным полем,рассматривавшейся в работе [59] — с точностью до вершины функицоналы являются идентичными, но в скалярном случае условие поперечностиотсутствует.Предположим, что также как и в скалярном случае, в данной моделиимеется две пространственные масштабные шкалы с разными размерностями и одна временная:ω⊥k[F ] ∼ [T ]−dF [L⊥]−dF [Lk]−dF ,условия нормировки имеют вид(B.11)171⊥d⊥k⊥ = −dx⊥ = 1,kdkk = −dkxk = 1,kdk⊥ = −dkx⊥ = 0,(B.12a)⊥d⊥kk = −dxk = 0,(B.12b)а полная каноническая размерность дается выражениемdkF = d⊥ + dk ,dF = dk + 2dω .(B.13)Пусть поле θ имеет вид {ϕ, θ⊥ }.

Из (B.12) следует, что ∂⊥ и ∂k имеютразные размерности, поэтому условие (B.10) может быть удовлетворено,только если компоненты поля θ — ϕ и θ⊥ — также будут иметь разныеразмерности.Рассмотрим член действияθi′ ∂t θi=ZdtZdx θi′ ∂t θi.(B.14)Из требования безразмерности выражения (B.14) (по отдельности по двумпространственным размерностям) следует, что−1 + dk ϕ + dkϕ′ = 0,(B.15a)′−1 + dk θ⊥ + dk θ⊥= 0,(B.15b)1 − d + d⊥ ϕ + d⊥ϕ′ = 0,(B.15c)′1 − d + d⊥ θ ⊥ + d⊥ θ ⊥= 0.(B.15d)Условия поперечности (B.10) означают, чтоd⊥ ϕ = 1 + d⊥ θ ⊥ ,(B.16a)1 + dk ϕ = dk θ ⊥ ,(B.16b)172′d⊥ ϕ ′ = 1 + d⊥ θ ⊥,(B.16c)′1 + dk ϕ ′ = dk θ ⊥.(B.16d)Учитывая (B.15a) — (B.15d), из (B.16a) и (B.16b) следует, что′d⊥ϕ′ = −1 + d⊥ θ⊥,(B.17a)′1 + dk ϕ ′ = 2 + dk θ ⊥,(B.17b)что является несовместимым с (B.16c) и (B.16d).Это означает, что поля ϕ и θ ⊥ должные иметь одинаковые размерности, также как и поля ϕ′ и θ ′⊥ и производные ∂k и ∂⊥. Как следствие,константа f0 является безразмерной.B.3.Вычисление канонических размерностей в модели №3Рассмотрим действие модели №3 (см.

(2.77)), а именноS(Φ) = Sv (v, v′) + θi′ Dθ θk′ /2++θk′ −∂t θk − (vi∂i)θk + A0 (θi∂i )vk + κ0 ∂ 2θk ;Sv (v′ , v) = vi′ Dv vk′ /2 + vk′ −∂t vk − (vi∂i )vk + ν0 ∂ 2vk .(B.18)(B.19)Здесь Dθ — корреляционная функция случайной силы fi ,hfi(x) fk (x′)i = δ(t − t′ ) Cik (r/L),а Dv — корреляционная функция случайной силы ηi ,(B.20)173 δ(t − t′ )′ηi (x)ηj (x ) =(2π)dZk≥mdk Pij (k) dη (k) exp ik (x − x′ ) .(B.21)Функция dη (k) в корреляторе (B.21) определена в (1.18):dη (k) = D0 k 4−d−ξ ,(B.22)где D0 > 0 является положительным амплитудным множителем,D0 = ĝ0 · ν03.Из требования безразмерности членаZZvk′ ∂t vk = dt dx vk′ ∂t vk(B.23)(B.24)следует, что−d + dkv′ + dkv = 0,(B.25a)−1 + dωv′ + dωv = 0.(B.25b)Из требования безразмерности членаZZ′vk (vi∂i )vk = dt dx vk′ (vi∂i)vk(B.26)следует, что−d + dkv′ + dkv + 1 + dkv = 0,(B.27a)−1 + dωv′ + 2dωv = 0.(B.27b)Из (B.25) и (B.27) следует, чтоdkv = −1,(B.28a)dωv = 1,(B.28b)174dkv′ = d + 1,(B.28c)dωv′ = −1.(B.28d)Из требования безразмерности членаZZ′ 2ν0 vk ∂ vk = ν0 · dt dx vk′ ∂ 2vk(B.29)следует, что−d + dkv′ + dkν0 + dkv + 2 = 0,(B.30a)−1 + dωv′ + dωv + dων0 = 0.(B.30b)dkν0 = −2,(B.31a)dων0 = 1.(B.31b)Таким образомИз (B.21) и (B.22) следует, чтоdk [Dv ] = 4 − d − ξ + d = 4 − ξ,(B.32a)dω [Dv ] = dω [ δ(t − t′ ) ] = 1.(B.32b)Учитывая (B.32), из требования безразмерности членаZZZ′′v Dv v = dt dx dx′ v ′ (t, x′ ) Dv (x − x′ ) v ′ (t, x)(B.33)следует, что−2d + 2(d − 1) + 4 − ξ + dk [D0 ] = 0,(B.34a)−1 − 2 + dω [D0 ] = 0.(B.34b)Из (B.23) и (B.34) получаем, чтоdk [ ĝ0 ] = ξ,(B.35a)175dω [ ĝ0] = 0.Требования безразмерности членаZZ′θk ∂t θk = dt dx θk′ ∂t θkи членаθk′ (vi∂i )θkдают одинаковые условия:=ZdtZdx θk′ (vi∂i )θk(B.35b)(B.36)(B.37)−d + dkθ′ + dkθ = 0,(B.38a)−1 + dωθ′ + dωθ = 0.(B.38b)В соответствии с (B.20),dk [Dθ ] = 0,(B.39a)dω [Dθ ] = 1.(B.39b)Учитывая (B.39), из требования безразмерности членаZZZ′′θ Dθ θ = dt dx dx′ θ′(t, x′ ) Dθ (x − x′ ) θ′ (t, x)(B.40)следует, что−2d + 2dkθ′ = 0,(B.41a)−1 + 2dωθ′ = 0.(B.41b)Учитывая (B.38), это означает, чтоdkθ = 0,(B.42a)dωθ = −1/2,(B.42b)dkθ′ = d,(B.42c)dωθ′ = 1/2.(B.42d)176Из требования безразмерности членаZZκ0 θk′ ∂ 2θk = κ0 · dt dx θk′ ∂ 2θk(B.43)следует, что−d + dkθ′ + dkθ + dkκ0 + 2 = 0,(B.44a)−1 + dωθ′ + dωθ + dωκ0 = 0.(B.44b)Учитывая (B.38), получаем, чтоdkκ0 = −2,(B.45a)dωκ0 = 1.(B.45b)Из требования безразмерности членаZZ′A0 θk (θi∂i )vk = A0 dt dx θk′ (θi∂i )vk(B.46)следует, что−d + dkθ′ + dkθ + dkv + dkA0 + 1 = 0,(B.47a)−1 + dωθ′ + dωθ + dωv + dωA0 = 0.(B.47b)Это означает, что константа A0 является безразмерной:dkA0 = 0,(B.48a)dωA0 = 0.(B.48b)Выражения (B.28), (B.31), (B.35), (B.42), (B.45) и (B.48) дают искомые канонические размерности полей и параметров модели №3.177C.

Приложения к Главе 3C.1.Оператор DRGДанный раздел построен на применении РГ–оператора DRG к кон-кретному действию S — действию модели №1, но все полученные результаты носят общий характер и полностью применимы к моделям №2 и №3.Устраняющая УФ–расходимоти функций Грина процедура мультипликативной ренормировки состоят в переходе от затравочных параметров e0 = {g0 , ν0, f0, u0, A0} и неренормированного действия (2.10) к ренормированным парамертам e = e (e0 , µ, ξ) (см.

Характеристики

Список файлов диссертации