Диссертация (1150694), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

(4.46), (4.61) и приложение C.3.3. Это означает, что матрица (M/µ)∆Fα ,eпредставленная в (4.33), переходит в матрицу (Mr)∆Fα . Кроме того, прирешении уравнения РГ для hFei РГ–переменная s = M/µ, поэтому условиеs → 0 эквивалентно условию Mr ≪ 1 и описывает, таким образом, вторуюграницу инерционного интервала.Таким образом из операторного разложения (4.62) следует, что функция Φ Mr, mr, f rξ из представления парного коррелятора (4.61) предста-вима в виде суммыΦ̂ (Mr) =XαAα (Mr)∆Fα ,Mr ≪ 1,(4.64)в которой коэффициенты Aα = Aα (Mr), являющиеся коэффициентами Вильсона Cα в формуле (4.62), регулярны по (Mr)2.

Здесь и далеемы не различаем большие масштабы M и m, введенные в (2.4) и (2.7)(считается, что отношение M/m есть некоторое фиксированное число), иξ .Φ̂ (Mr) ≡ Φ Mr, f r ξf r =constВ соответствии с общей теоремой, в ОР входят все операторы, воз-никающие в разложении Тейлора, а также все те, которые примешиваются к ним в результате ренормировки [26, 27].

Из (4.34) следует, чтоглавный вклад в сумму (4.64) дается оператором Fe1R , обладающим мак-симальной сингулярностью. Таким образом, подставляя операторное разложение (4.64) в РГ–представление (4.61), получаем искомую асимптотикупарной корреляционной функции G (4.35) в инерционном интервале:111G = hFN1, p1 FN2 , p2 i ∝e f rξ =∝ (srg )λ1 +λ2 · (sope )λ1 +λ2 · P(N1 +N2)/2 [ln srg ] · P(N1 +N2)/2 [ln sope ] · Φe f rξ ,= (µr)N1+N2 · (Mr)−N1−N2 · P(N1 +N2 )/2 [ln (1/µr)] · P(N1 +N2 )/2 [ln Mr] · Φ(4.65)где srg = 1/µr, sope = Mr, λ1(2) = −N1(2), а P(N1 +N2)/2 — полином степени (N1 + N2 )/2.

Учитывая размерное представление (4.36), а также то,что каноническая размерность dG = −N1 − N2, восстанавливая размерныемножители в (4.65), получаемG = hFN1, p1 FN2 , p2 i ∝ωe f rξ .∝ ν dG · M −N1 −N2 · P(N1 +N2)/2 [ln µr] · P(N1 +N2)/2 [ln Mr] · Φ(4.66)При этом главный член в выражении (4.66) равенωe f rξ ,G ∝ ν dG · M −N1 −N2 · [ln µr](N1 +N2 )/2 · [ln Mr](N1 +N2 )/2 · Φ(4.67)e f rξ — неизвестная безразмерная скейлинговая функция, огранигде Φченная в интервале l ≪ r ≪ L.4.4.Нильпотентность матрицы аномальных размерностейВ данном разделе будет доказана нильпотентность матрицы аномаль-ных размерностей γF∗ (4.19). Благодаря этому свойству матрица критиче-112ских размерностей ∆N p, N p′ (4.20) не является диагонализуемой, а приводится к жордановой форме.4.4.1.Определения и целиПриведем еще раз некоторые определения и утверждения из разделов 4.1.4 и 4.1.5.Введем вектор F (см.

(4.21)):N(θiθi )(θiθi )N −2 · (nsθs )2F=;...N(nsθs )(4.68)учитывая (4.68), соотношение Fi = Zik FkR между наборами неренормиро ванных операторов {F } и ренормированных операторов F R имеет видN(θiθi )(θiθi)N −2 · (nsθs )2(θ θ )N −4 · (n θ )4 i is s ...=...2N −2 (θiθi) · (ns θs)N(nsθs )113a11a 210= . .. . ..0a12 a130...a22 a23 a24a32 a33 a34...............0ann−10a43... ...N R(θiθi)R N −22(θθ)·(nθ) i is s  RN−44  (θiθi )· (ns θs) 0  ..·.. an−2n .. .an−1n 2N −2 R   (θiθi ) · (ns θs)annN R(ns θs)0...(4.69)При данных определениях исходному неренормированному оператору отвеRчает строка матрицы Ẑ, а степень p оператора FN,p убывает слева направо.Обозначим общий множитель в (4.19) как y,A2 · fy=−· ξ.2(d − 2 + A)(4.70)При данных обозначениях элементы матрицы аномальных размерностейγ̂F = ẐF−1Dµ ẐF в неподвижной точке g ∗ равны∗γN,p+1 = 2m(2m − 1) · y;∗γN,p = (2p + 8pm − 2m(2m − 1)) · y;(4.71a)(4.71b)∗γN,p−1 = (4p (p − 1) − 2p − 8pm) · y;(4.71c)∗γN,p−2 = (−4p (p − 1)) · y.(4.71d)Матрица критических размерностей оператора FN, p имеет вид∆N p, N p′ = −2(p + m) · δpp′ + γ̂N∗ p, N p′ ,(4.72)где −2(p + m) — его каноническая размерность, δpp′ — дельта–символ Кро-114некера, а γ̂N∗ p, N p′ — значение матрицы аномальных размерностей в неподвижной точке.Целью данного раздела является доказательство нильпотентностиматрицы аномальных размерностей γ̂F∗ (4.71) и жордановой формы матрицы критических размерностей ∆N p, N p′ (4.72).

Будет представлено явноевыражение для диагонализующей матрицы UN , которая с помощью преобразованияe F U −1.∆F = UN ∆N(4.73)eF.приводит матрицу ∆F к жордановой форме ∆Поскольку параметр N в определении вектора F (4.68) является про-извольным, размерности матриц ẐF , γ̂F и UN , равные (N/2+1)×(N/2+1),также являются произвольными. Это означает, что выражения (4.71) дляматричных элементов матрицы γ̂F∗ дают нам алгоритм построения данной матрицы для набора исходных операторов {F } с любым N . Поэтомусложность данной задачи состоит в том, чтобы найти алгоритм построения диагонализующей матрицы UN для произвольного N , т. е.

найти явныйвид преобразования, приводящего к жордановой форме матрицы ∆F произвольной размерности.Необходимо учитывать, что если бы матрица ∆F была диагонализуемой, диагонализующая матрица UN была бы единственной для любогоконкретного значения N . Поскольку в нашем случае матрица критическихразмерностей обладает жордановой формой, матрица UN , приводящая еек жордановой форме, не является единственной. В результате доказательства будет предъявлен только один из возможных вариантов, который приводит матрицу ∆F к жордановой форме и таким образом решает постав-115ленную задачу.Поскольку каждый из элементов матрицы γ̂F∗ содержит как множитель коэффициент y, нильпотентность матрицы γ̂F∗ означает нильпотентность матрицы ǫ̂∗F , где y · ǫ̂∗F = γ̂F∗ .4.4.2.Основная идеяНапишем в явном виде 3 × 3 (N = 4) матрицу ǫ̂∗F :ǫ̂∗ F N =48 4 4= A4 = 2 8 −10 .0 12 −12(4.74)Данная матрица является вырожденной, ее собственные значения совпадают и равныλ1 = λ2 = λ3 = 0.(4.75)Матрица U4, приводящая матрицу A4 к жордановой форме, может бытьпостроена из ее собственных векторов 1 V1 = 1 ; 1 1/6 V2 = 1/12 ;01/24V3 =  0 .0(4.76)При этом каждый из них находится из условия (A4 −λI)Vi+1 = Vi , решениекоторого единственно с точностью до произвольной аддитивной постоянной.Таким образом матрица U4 имеет вид1161 1/6 1/24;U4 = 11/1201 000 1 0.J4 = U4−1A4U4 = 0010 0 0(4.77)При этом существует интересное свойство: произведение A4 · U4 являетсяматрицей U4, все столбцы которой сдвинуты на одну позицию вправо, т.

е.0 1 1/6 .A4 · U 4 = 011/120 1 0(4.78)Поэтому при умножении матрицы U4−1 на произведение A4 · U4 в ответевозникает жорданова форма: 1 1/6 1/24 1 0 0 U4−1 · =1 1/12 0  0 1 0 , 1 000 0 10 1 1/6  0 1 0 =U4−1 · 0 1 1/12 0 0 1 . 0 0 00 1 0(4.79)(4.80)Данное свойство является не особенностью матриц конкретного вида,c является M ×а верно для произвольных невырожденных матриц.

Если M117M матрицейa a 11 12 a21 a22cM = .. .an1 an2. . . a1n. . . a2n ,. . . ... . . . annc 6= 0,det M(4.81)f является матрицей Mc, все столбцы которой сдвинуты на одну позиаMцию вправо, а все элементы первого столбца равны нулю, то произведениеc−1 и Mf будет иметь жорданову форму:матриц M0 a110 a21−1 f−1 ccM ·M =M · ...0 an1. . . a1n−1  . . . a2n−1  =..  ....   . .

. ann−101... ... ,. . . 10(4.82)где отсутствующие элементы обозначают нули. Действительно, умножениеc−1 на первый (пустой) столбец дает пустой столбец в правой части, умноMc−1 на остальные столбцы с номерами 2, . . . , n дает единичнуюжение Mматрицу, но начинающуюся не с элемента с номером 11, а с элемента с номером 12 — т. е.

единичную матрицу, элементы которой находятся не наглавной диагонали, а на диагонали над ней.Таким образом идея состоит в том, чтобы найти такую невырожденную матрицу UN , det UN 6= 0, чтобы произведение AN · UN состояло из техже столбцов, что и сама матрица UN , но их положение было бы сдвинуто наодну позицию вправо, i → i + 1, а все элементы первого столбца равнялисьбы нулю. Если такая матрица будет найдена, то118−1UN · [AN · UN ] = 4.4.3.01... ... .. . . 10(4.83)Явный вид матрицы UNДля того чтобы понять, как устроена матрица UN , напишем в явномвиде 10×10 матрицу ǫ̂∗F , обозначенную как A18, и матрицу U18, приводящуюее к жордановой форме и найденную с помощью прямых вычислений:18A181U181111=11112=270−28878144−2241211442−16830126−36−12056114−90−809078−120−4813218−126−24182−66−108240−174306,−8 −66 (4.84)−3069/30636/7344084/III · 182126/IV · 132126/V · 9084/VI · 5636/VII · 309/VIII · 128/30628/7344056/III · 18270/56/28/8/1/7/30621/7344035/III · 18235/21/7/1/6/30615/7344020/III · 18215/6/1/5/30610/7344010/III · 1825/1/4/3066/734404/III · 1821/3/3063/734401/III · 1822/3061/734401/IX · 21/3061(4.85).119В выражении (4.85) римскими цифрами обозначены знаменатели предыдущих столбцов, т.

е. III = 73440, IV = 73440 · 182 = 13366080, и т. д.Знаменатели всех элементов, находящихся в одном столбце, одинаковы;символом «/» обозначено деление числителя элемента на его знаменатель,написанный явно только для первого элемента столбца.Из выражения (4.85) видно, что знаменатели элементов матрицыU18 являются произведением элементов нижней диагонали матрицы A18(см. (4.84)), а числители — элементами треугольника Паскаля, т. е. сочетаниями Cnk = nk , где n является номером строки (нумерация идет снизувверх), а k — номером столбца (нумерация идет слева направо).Предположение состоит в том, что данные правила являются универсальными, т. е. позволяют строить искомую матрицу UN для любойисходной матрицы AN , т.

Характеристики

Список файлов диссертации