Диссертация (1150694), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

. . отвечает внешним полям.В соответствии с правилами универсальной диаграммной техники(см. [26]), для любого оператора F (x), построенного из полей θ, вершинеVαβ... с k ≥ 0 выходящими линиями отвечает выражениеVNk p (x; x1 , . . . , xk ) ≡ δ k FN p(x)/δθ(x1) . . . δθ(xk ).(4.5)Аргументы x1 . . . xk в выражении (4.5) сворачиваются с аргументами линийθθ′, присоединяющихся к вершине.4.1.2.Однопетлевая диаграммаОднопетлевая диаграмма со вставкой составного оператора (чернаяточка в вершине диаграммы), дающая в обозначениях (4.4) ответ для внут-91ab..., показана на рисунке (4.1).ренней структуры Iαβ...Рис.

4.1. Однопетлевой вклад в функционал ΓN p .abравнаИндексная структура диаграммы YαβabYαβ= Vxai (k) Vzjb(−k) · Pαi (k) Pβj (k) · nx nz == −A2 · nx Pxα (k) · nz Pzβ (k) · ka kb,(4.6)где буквами i, j, x и z обозначены внутренние индексы диаграммы. Даннуюabнеобходимо проинтегрировать по частоте и по импульсу сструктуру Yαβучетом множителей вида (2.6) и (2.15a):ab=IαβZdk(2π)dZ1dω1·×·222(2π) −iω + νk⊥ + νf kk iω + νk⊥ + νf kk2×δ(kk )d−1+ξk⊥ab· D0 · Yαβ.Усредняя по углам с помощью (2.36), получаем следующий ответ:abIαβA2=· D0 ·2νZ1ka⊥kb⊥dk⊥· 2 · nα nβ =d−1+ξ(2π)d k⊥k⊥(4.7)92m−ξA2 · f· Pab (n) · nα nβ · g ·.=2 (d − 1)ξ4.1.3.(4.8)Многопетлевые диаграммыЛюбая многопетлевая диаграмма содержит как часть структуру,изображеннную на рисунке (4.2).Рис.

4.2. Фрагмент произвольной многопетлевой диаграммы.Как следствие интеграл, соответствующий расходящейся части произвольной многопетлевой диаграммы, содержит в качестве множителя следующеевыражение:I0 = δ(kk )δ(qk)na Vbac (k)nαVβαγ (k + q)Pγb(k),(4.9)где Vc ab является вершиной (2.12), а δ–функции появляются из коррелятора скорости (2.7).

Поскольку I0 пропорционально сумме kk и qk с некоторыми коэффициентами, после интегрирования с δ–функциями все данныедиаграммы оказываются равными нулю.Единственным исключением являются диаграммы типа «песочныечасы», являющиеся произведением более простых диаграмм. Но они содержат только полюса более высоких порядков по ξ и в схеме MS вклада93в аномальную размерность не дают (см. раздел 5.3).Таким образом однопетлевое приближение (4.8) дает точный ответ.4.1.4.Аномальные размерностиОбъектами изучения являются корреляционные функции GFi Fj =hFi Fj i, построенные из операторов FN p вида (4.1). Таким образом длявычисления асимптотики инерционного интервала функции G необходимо знать асимптотическое поведение средних значений самих операторовFi.

Рассмотрим операторFN, p, m = (θiθi)p (ns θs)2m ,(4.10)где N = 2(p + m) — полное число полей θ, входящих в оператор.В соответствии с (4.4), (4.5) и точным ответом для диаграмм (4.8),свертка по значкам в функционале Γ равнаδ2[FN, p, m] · nα nβ · Pab (n) θa θb =Γ∝δθα · δθβ= 2m(2m − 1) · FN, p+1, m−1 + (2p + 8pm − 2m(2m − 1)) · FN, p, m ++(4p (p − 1) − 2p − 8pm) · FN, p−1, m+1 − 4p (p − 1) · FN, p−2, m+2.(4.11)Выражение (4.11) означает, что составные операторы смешиваютсяпри ренормировке. Таким образом УФ–конечный оператор F R имеет видF R = F + контрчлены, где контрчлены являются линейной комбинациейсамого оператора F и прочих операторов с тем же полным числом полейN , примешивающихся к F при ренормировке.94Обозначим символом F ≡ {Fi } замкнутый набор операторов с одними тем же числом полей θ, т.

е. одним и тем же числом N , смешивающихсяпри ренормировке только между собой. Тогда матрица констант ренормировки ẐF ≡ {Zik } и матрица аномальных размерностей γ̂F ≡ {γik } имеютвидFi =XZik FkR ,kγ̂F = ẐF−1Dµ ẐF .(4.12)Уравнения масштабной инвариантности (3.24) и уравнение РГ (3.7), примененные к оператору FN, p, дают матрицу критических размерностей∆F ≡ {∆ik } в форме, аналогичной выражению (3.28). При этом dkF , dωF и dFпонимаются как диагональные матрицы канонических размерностей (диагональные элементы которых являются суммой соответствующих размерностей полей и производных, составляющих оператор F ), а γ̂ ∗ = γ̂(g ∗, u∗)является матрицей (4.12) в неподвижной точке.В схеме MS матрица ренормировки Ẑ имеет видẐ = Ê + Â,(4.13)где Ê является диагональной матрицей канонических размерностей, а любой элемент матрицы Â имеет видgAik = aik · .ξ(4.14)Для решения уравнений РГ необходимо диагонализолвать матрицуγ̂, т.

о. критическими размерностями операторов F ≡ {Fi} являются собственные числа матрицы ∆ik . Это означает, что мы переходим от набоn o Rк набору «базисных» операторов Fe R , обладающихра операторов F95определенными критическими размерностями и имеющих формуFlR = UlpFepR ,(4.15)e F = U −1∆F UF∆F(4.16)где матрица Ulp является диагонализующей для матрицы ∆ik — матрицаявляется диагональной либо жордановой.Т. к.

матрица констант ренормировки Ẑ имеет вид (4.13), матрицааномальных размерностей γ̂ равнаγik = −aik · g,(4.17)где коэффициенты aik определены в (4.14). Собирая вместе (4.11) — (4.17) иучитывая скалярный множитель, опущенный в (4.11), но представленный в(4.8), а также то, что симметрийный коэффициент для данной диаграммыравен 1/2, получаем следующий ответ для матричных элементов матрицыаномальных размерностей γ̂:γN,p+1γN,pγN,p−1γN,p−2A2 · f· 2m(2m − 1) · g;4(d − 1)A2 · f· (2p + 8pm − 2m(2m − 1)) · g;=−4(d − 1)A2 · f· (4p (p − 1) − 2p − 8pm) · g;=−4(d − 1)A2 · f=−· (−4p (p − 1)) · g.4(d − 1)=−Подставляя значение неподвижной точки g ∗ =2(d−1)d−2+A(4.18a)(4.18b)(4.18c)(4.18d)· ξ (см.

(3.19)), полу-96чаем∗γN,p+1=−∗γN,p =−∗γN,p−1 = −∗γN,p−2 = −A2 · f2(d − 2 + A)A2 · f2(d − 2 + A)A2 · f2(d − 2 + A)A2 · f2(d − 2 + A)· 2m(2m − 1) · ξ;(4.19a)· (2p + 8pm − 2m(2m − 1)) · ξ;(4.19b)· (4p (p − 1) − 2p − 8pm) · ξ;(4.19c)· (−4p (p − 1)) · ξ.(4.19d)Таким образом матрица критических размерностей оператора FN, p имеетвид∆N p, N p′ = −2(p + m) · δpp′ + γ̂N∗ p, N p′ ,(4.20)где −2(p + m) является его канонической размерностью, δpp′ — дельта–символ Кронеккера, а γ̂N∗ p, N p′ является матрицей аномальных размерностей в критической точке.4.1.5.Матрица критических размерностей и ее собственные значенияНа данном этапе нашей задачей является диагонализация матрицы∆N p, N p′ .

В соответствии с (4.18), она является 4–диагональной для любого N ; кроме того, поскольку из данных 4 диагоналей одна находится нижеглавной диагонали, а две другие — выше, обращение такой матрицы нетривиально.В соответствии с (4.11), замкнутый набор операторов F ≡ {Fi }, которые смешиваются при ренормировке только между собой, состоит из операторов, построенных из одного и того же числа полей θ, т. е.

обладающих одинаковым числом N . Поэтому для дальнейшего рассмотрения будет97удобно ввести вектор F:N(θiθi )(θiθi )N −2 · (nsθs )2F=....(nsθs )N(4.21)Учитывая (4.21), связь Fi = Zik FkR неренормированных операторов {F } с ренормированными операторами F R принимает видN(θiθi )(θiθi)N −2 · (nsθs )2(θ θ )N −4 · (n θ )4 i is s ..=....2N −2 (θiθi) · (ns θs)(nsθs )Na11a 210= . .. . ..0a12 a130...a22 a23 a24a32 a33 a34...............0ann−10a43...

...NR(θiθi)0  N −22 R· (ns θs) (θiθi ).. .    (θiθi )N −4 · (ns θs)4 R 0  .·... an−2n ... an−1n R 2N−2  (θiθi ) · (ns θs)annN R(ns θs)(4.22)Необходимо отметить, что при данных определениях исходному неренормированному оператору отвечает строка матрицы Ẑ, а степень p оператора98RFN,p убывает слева направо.Обозначим общий множитель в (4.19) как y,y=−A2 · f· ξ.2(d − 2 + A)(4.23)Используя (4.19), (4.20) и (4.22), построим матрицу критических размерностей ∆N p, N p′ для некоторых конкретных наборов операторов.

Для N = 2имеем:∆N p, N p′−2y −2 + 2y=;2y−2 − 2y(4.24)собственные значение данной матрицы равны λ = {−2; −2}.Для N = 8∆N p, N p′40y−48y00−8 + 8y 2y−8 + 28y−6y−24y0= 0 ; (4.25)12y−8+24y−28y−8y 0030y−8 − 4y−26y 00056y−8 − 56yсобственные значения матрицы (4.25) равны λ = {−8; −8; −8; −8; −8}.Данный факт оказывается справедливым для любого набора операторовс произвольным N . Доказательство вышеприведенного утверждения находится в разделе 4.4.Таким образом, для любого N матрица аномальных размерностей(4.19) является нильпотентной, а матрица критических размерностей (4.20)вырождена, т. к.

все ее собственные значения равны N :99λ1 = . . . = λN/2+1 = −2(p + m) = −N.(4.26)Из (4.26) следует, что матрица критических размерностей (4.20) не являетeFся диагонализуемой, а приводится к жордановой форме, т. е. матрица ∆в (4.16) имеет вид10 ...0−2(p + m)...0−2(p + m) 1...e...∆F = ...0.0.....1.0...0 −2(p + m)(4.27)Диагонализующая матрица UF при этом является верхнетреугольной,u12 u13 . . . . . . u1n u11 uu22.

. . . . . u1n−1 0  21........ . u31,UF =  ........ . ....u..u n−1 1 n−1 2un10... ... ...0(4.28)причем все элементы uik 6= 0 для любых i, k (см. раздел 4.4).4.1.6.Асимптотика среднего значения оператора FN, pПоскольку объектами изучения являются одновременные корреляционные функции G = hF1F2 i, в результате операторного разложения будут появляться средние значения самих операторов F R .100Из соображений размерностиD EMωbb 0.e R ∝ ν dF µdF · Φ,f · CFµ(4.29)Т. к. оператор F ренормируется мультипликативно, его ИК–асимптотика удовлетворяет уравнениям (3.26) — (3.27), описывающим ИК–скейлинг. Поскольку среднее значение не зависит от времени t и координатx, решение данного уравнения имеет видD Efee R ∝ M ∆F · ΦF· C0 .∗M γf(4.30)Учитывая размерное представление (4.29), получаемD EωeF∆RddeF∝ ν F µ F · (M/µ) · Φf(M/µ)ξ· C0,(4.31)где Φ является некоторой неизвестной функцией безразмерного аргуменe R — вектор, построенный из «базисных»та, γf∗ = ξ (см.

Характеристики

Список файлов диссертации