Диссертация (1150694), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В частности, вместо поперечного проектора Pij (k) в коррелятор скорости (1.2) можно ввести оператор Tij (k)видаTij (k) = a(ψ)Pij (k) + b(ψ)nsnl Pis (k)Pjl (k),(1.10)где ψ — угол между векторами n и k, а a(ψ) и b(ψ) — некоторые скейлинговые функции. Этот путь использовался в работах [44–47] и отвечал случаюанизотропии на малых пространственных масштабах. Видно, что даннаяпостановка задачи содержит изотропную модель как частный случай: приa(ψ) = 1 и b(ψ) = 0 оператор Tij (k) превращается в поперечный проекторPij (k).«Сильно анизотропная» модель Крейчнана (ансамбль Авельянеды–Майда) не содержит в себе изотропную модель как частный случай и описывается полем скорости v, обладающим выделенным направлением n:v(t, x) = n · v(t, x⊥ ).(1.11)Статистический ансамбль выбирается гауссовым, с нулевым средним и кор-25реляционной функциейhvi(t, x) vk (t′ , x′ )i = ni nk · hv(t, x⊥ ) v(t′ , x′⊥)i ,(1.12)Z(1.13)где′hv(t, x⊥ ) v(t ,x′⊥ )i′= δ(t − t )dk ik(x−x′ )eDv (k),dk>m (2π)аDv (k) = 2πδ(kk) D01d−1+ξk⊥.(1.14)Все параметры в уравнениях (1.12) — (1.14) идентичны параметрам из ансамбля (1.3), а именно: d — размерность пространства, k⊥ ≡ |k⊥ | — волновое число, m — обратный радиус корреляций поля скорости, D0 > 0 —амплитудный фактор, ξ — произвольный показатель, являющийся параметром РГ–разложения.
Такая формулировка может рассматриваться какd–мерное обобщение анизотропного ансамбля скорости, впервые введенного в [48], а затем рассматривавшегося в работах [49–59]. Как и в разделе 1.2,соотношенияD0 /ν0 = ĝ0 ≡ Λξ(1.15)определяют константу взаимодействия ĝ0 и характерный УФ–масштаб Λ.1.5.Стохастическое уравнение Навье–СтоксаКромеразличныхмодификациймоделиКрейчнана((1.3), (1.10), (1.12) и т.
д.), в которых поле v обладает гауссовойстатистикой с заданной парной (степенной) корреляционной функцией,поле скорости в (1.7) может быть задано с помощью стохастическогоуравнения Навье–Стокса:26∇ t v i = ν0 ∂ 2 v i − ∂i ℘ + ηi ,∇ t ≡ ∂t + v i ∂i ,(1.16)где ℘ и ηi — удельные по массе давление и поперечная случайная сила.Для η предполагается гауссово распределение с нулевым средним и корреляционной функцией δ(t − t′ )′ηi (x)ηj (x ) =(2π)dZk≥mdk Pij (k) dη (k) exp ik (x − x′ ) .(1.17)Все параметры в уравнении (1.16) идентичны параметрам из ансамблей (1.3) и (1.12); dη (k) — некоторая функция от k ≡ |k| и параметровмодели. Величина 1/m, являющаяся внешним масштабом турбулентностиe обеспечивает ИК–регуляризацию.L,Задача (1.16), (1.17) допускает решение методами РГ в том случае,если коррелятор случайной силы имеет степенной вид, см.
[60–63], а такжеобзор [64]:dη (k) = D0 k 4−d−ξ ,(1.18)где D0 > 0 является положительным амплитудным множителем, а показатель 0 < ξ ≤ 4 играет роль параметра РГ–разложения. Наиболее реалистическим значением для него является ξ = 4: при ξ → 4 и соответствующем выборе амплитуды функция (1.18) стремится к дельта–функции,dη (k) ∝ δ(k), что отвечает накачке системы энергией через взаимодействиес крупномасштабными турбулентными вихрями; см. [26, 64, 65].В отличии от (1.4) и (1.15), характерный УФ–масштаб Λ и константавзаимодействия ĝ0 определяются соотношениямиD0 /ν03 = ĝ0 ≡ Λξ .(1.19)272. Квантово–полевая формулировка моделей,УФ–расходимости и уравнение Дайсона2.1.Функционал действия SИзвестно [26, 27], что любая стохастическая задача вида∂t θ = U (x, θ) + f (x),(2.1a)hfi (x)fk (x′)i = Dθ (x, x′),(2.1b)эквивалентна квантовополевой модели с удвоенным числом полей Φ =θ, θ ′ и функционалом действияS(Φ) = θ ′ Dθ θ ′ /2 + θi′ [−∂tθi + U (θ)] .(2.2)Здесь U (x, θ) — заданный t–локальный функционал, не содержащий производных θ по времени, f (x) — случайная внешняя сила, обладающая гауссовым распределением с нулевым средним и коррелятором (2.1b).В общем случае функционал U содержит линейную и нелинейнуюпо θ части: U (θ) = Lθ + n(θ).
Это означает, что действию (2.2) отвечает стандартная диаграммная техника с вершиной, содержащей одно полеθ ′ и несколько (в зависимости от конкретного вида n(θ)) полей θ и двумя пропагаторами: hθiθk′ i = (∂t − L)−1 и hθiθk i = hθi θl′ i · Dθ · hθl θk′ iT , гдесимвол транспонирования означает перестановку аргументов: M T (x, x′) ≡M(x′, x), ∂tT = −∂t . Пропагатор hθi′ θk′ i тождественно равен нулю.
Здесь и28далее интегрирование по x = {t, x} и суммирование по повторяющимсяиндексам подразумевается, напримерZZθ ′ ∂t θ = θi′ ∂t θi = dt dx θi′ (x)∂tθi (x),vDv−1 v=ZdtZdxZ−1′′dx′ vi(t, x)Dv,ij (x − x )vj (t, x ).Такая формулировка означает, что статистическое усреднение в стохастической задаче (2.1) совпадает с функциональныи интегрированием свесом exp S(Φ).2.2.Перенос пассивного векторного поля сильно анизотропнымполем скорости (модель №1)2.2.1.Постановка задачиРассмотрим стохастическую задачу, определяемую уравнениями (1.7), (1.9) и (1.12) — (1.14), а именно пассивное векторное поле, эволюция которого описывается уравнением конвекции–диффузии∂t θi + ∂k (vk θi − A0 viθk ) + ∂iP = ν0∂ 2θi + fi,(2.3)где fi — случайная гауссова сила с нулевым средним и заданной парнойкорреляционной функцией:hfi (t, x) fk (t′ , x′ )i = δ(t − t′ ) Cik (r/L).(2.4)Здесь r = x − x′ , r = |r|, параметр L ≡ M −1 является внешним масштабом турбулентности, связанным со сторонней силой, а Cik — безразмерныефункции, конечные при r/L → 0 и убывающие при r/L → ∞.29Поле скорости v выбирается анизотропным,v(t, x) = n · v(t, x⊥ ),(2.5)гауссовым, с нулевым средним и заданной парной корреляционной функциейhvi(t, x) vk (t′ , x′ )i = ni nk · hv(t, x⊥ ) v(t′ , x′⊥)i ,(2.6)где′hv(t, x⊥ ) v(t ,x′⊥ )i′= δ(t − t )Zdk ik(x−x′ )eDv (k),dk>m (2π)(2.7)а1.(2.8)d−1+ξk⊥В силу условия (2.5) поле скорости не является Od –симметричным, аDv (k) = 2πδ(kk) D0обладает симметрией Od−1 ⊗Z2.
Поэтому в уравнении конвекции — диффузии (2.3) необходимо нарушить Od –симметрию оператора Лапласа, введяновый параметр f0:∂tθi + ∂k (vk θi − A0 vi θk ) + ∂P = ν0 (∂ 2⊥ + f0 ∂k2)θi + fi .(2.9)Введние данного параметра можно рассматривать как чисто техническийприем, переводящий Od –симметрию оператора Лапласа в Od−1 ⊗Z2 симметрию и необходимый для осуществления процедуры ренормировки, а можно как следствие необходимости наличия в модели всех ИК–существенныхчленов, разрешенных симметрией задачи.Как поле θ, так и поле v являются поперечными, ∂iθi = ∂iυi = 0, ачлен ∂P необходим для согласования условий поперечности с динамикой,подробнее см.
приложение A.3.302.2.2.Квантово–полевая формулировкаВ соответствии с разделом 2.1, данная стохастическая задача эквивалентна квантовополевой модели для набора из 3 полей Φ = θ, θ′ , v сфункционалом действияS(Φ) =−θk′hi22−∂t θk − (vi∂i)θk + A0 (θi∂i )vk + ν0 (∂⊥ + f0∂k )θk ++θi′ Dθ θk′ /2 + viDv−1 vk /2,(2.10)где первые четыре члена представляют собой действие (2.2) для стохастической задачи (2.4), (2.9) при фиксированной v, а последний член естьгауссово усреднение по v.Такой модели соответствует тройная вершинаVc ab = (∂a θc′ ) (va θc − A0 · υc θa ) ,(2.11)а также три затравочных пропагатора: hθiθk′ i0 , hθi θk i0 и hvivk i0 , диаграммное представление для которых представлено на рисунках (2.1) — (2.4):Рис.
2.1. Диаграммное представление тройной вершины Vc ab .Рис. 2.2. Диаграммное представление пропагатора hθiθk′ i0 .31Рис. 2.3. Диаграммное представление пропагатора hθiθk i0 .Рис. 2.4. Диаграммное представление пропагатора hvivk i0 .Здесь и далее перечеркнутый конец соответствует полю θ ′ , конец без черты — полю θ.В импульсно–частотном представлении вершине соответствует множитель′′Vc ab = iδbc pθa − iA0 · δac pθb ,(2.12)′где pθ — импульс поля θ ′ . Пользуясь поперечностью поля θ, с помощьюинтегрирования по частям можно перебросить производную в вершинномчлене действия (2.10) с поля θ на поле θ ′ :−θi′ [∂k (vk θi − A0 · viθk )] = (∂k θi′ ) · (vk θi − A0 · viθk ).(2.13)Для того, чтобы убедиться в верности явного вида вершинного множителя, необходимо рассмотреть свертку θc′ Vabc va θb и воспользоваться фурье–преобразованием ipa → ∂a :θc′ Vabc vaθb = θc′ · i[paδbc − A0 · pb δac ] · vaθb == iθc′ pa va θc − iA0 · θc′ pb vcθb = (∂a θc′ ) · (vaθc − A0 · vc θa ).(2.14)Из действия (2.10) следует, что в импульсно–частотном представлении пропагаторам отвечают выражения32hθi θk′ i0 =hθiθk i0 =Pik (k),−iω + ν0 (k2⊥ + f0kk2 )ω2+hCik (k)ν0(k2⊥+f0kk2 )i2 ,(2.15a)(2.15b)где Cik (k) является фурье–образом функции Cik (r/L) из (2.4).
Пропагаторhvi vk i0 дается выражением (2.6).Вимпульсно–временномпредставлениипропагаторам(2.15a)и (2.15b) отвечают выраженияhθiθk′ i0 = Pik (k) · Θ(t − t′ ) exp {−(t − t′ )ǫk } ,(2.16a)hθiθk i0 = {Cik (k)/2ǫk} · exp {−|t − t′ | ǫk } ,(2.16b)где ǫk = ν0 (k2⊥ + f0kk2 ); в выражении для пропагатора hθi θk′ i0 символ t является временны́м аргументом поля θ, символ t′ — поля θ ′ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
