Диссертация (1150694), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Были получены аналитические выражения для членов первого (см. [30, 31]) и второго(см. [32]) порядков ξ–разложения. В рамках метода нулевых мод были получены точные ответы для парной корреляционной функции магнитныхполей, см. [28, 34, 35].Целью диссертационной работы является изучение аномальногоскейлинга в моделях магнитогидродинамической (МГД) турбулентностиметодами теоретико–полевой ренормгруппы и операторного разложения.Рассматривается приближение, в котором влиянием магнитного поля надинамику жидкости можно пренебречь («кинематическая модель динамо»), тогда проблему можно рассматривать как описание турбулентногопереноса пассивного векторного (магнитного) поля в заданном турбулент-10ном течении. Для описания движения проводящей среды привлекаютсястатистический ансамбль Казанцева–Крейчнана (поле скорости гауссово иимеет нулевое время корреляции), его обобщение на случай сильной анизотропии с одним выделенным направлением (ансамбль Авельянеды–Майда)и стохастическое уравнение Навье–Стокса для несжимаемой вязкой жидкости.
Также рассматривается обобщенная модель для динамики пассивноговекторного поля, в которой нелинейность имеет наиболее общий вид, совместимый с галилеевой симметрией (т. н. A–модель). В качестве частныхслучаев она содержит кинематическую модель динамо и линеаризованноеуравнение Навье–Стокса, а также позволяет обсуждать влияние нелокальных вкладов давления. Для общности две модели из трех рассматриваютсяв произвольной размерности пространства.
Необходимо установить наличие либо отсутствие аномального скейлинга в асимптотике инерционногоинтервала парной корреляционной функции, а также вычислить соответствующие аномальные показатели.В соответствии с целью исследования для каждой из трех моделейбыли поставлены следующие основные задачи:(1) Построить квантово–полевую формулировку данной модели иустановить ее ренормируемость.(2) Установить наличие ИК–притягивающей неподвижной точки,определяющей асимптотику инерционного интервала.(3) Используя технику РГ и ОР, вычислить аномальные размерностисоставных операторов, определяющих асимптотическое поведение парнойкорреляционно функции.Научная новизна.
Все основные результаты диссертации получены11впервые, что подтверждается их публикацией в ведущих отечественных имеждународных журналах, и включают следующее:(1) Для модели МГД в случае, когда поле скорости описывается статистическим ансамблем Казанцева–Крейчнана, установлен аномальный скейлинг парной корреляционной функции в инерционном интервале, проверено сохранение иерархии анизотропных вкладов при включении в рассмотрение второго члена ξ–разложения; вычислены аномальные показатели вовтором порядке разложения по константе связи g.(2) Для A–модели с полем среды, описываемым с помощью уравненияНавье–Стокса, аномальные показатели вычислены в первом порядке разложения по константе связи g; установлено наличие аномального скейлингадля парной корреляционной функции и иерархия анизотропных вкладов.(3) Для A–модели в случае, когда поле скорости обладает анизотропией и описывается статистическим ансамблем Авельянеды–Майда, обнаружено нарушение аномального скейлинга.
Вместо степенной асимптотикиинерционного интервала корреляционные функции обладают логарифмической зависимостью. Показано, что в силу тождественного равенства нулюстарших членов асимптотика корреляционных функций полностью определяется первым членом ξ–разложения.Теоретическая и практическая значимость. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы при описании различныхпроцессов в солнечной короне, ионосфере и межзвездном газе. Результатыработы должны стимулировать экспериментальные исследования по аккуратному измерению аномальных показателей в МГД турбулентности.
Развитые методы могут быть применены к другим подобным стохастическим12задачам, таким как турбулентный перенос тензорных полей, описание турбулентного переноса с помощью стохастического уравнения Навье–Стоксапри наличии анизотропии и сжимаемости и т. п.Методология и методы исследования.
В работе активно используются метод ренормализационной группы, в частности для вычислениякоординат ИК–притягивающих неподвижных точек и асимптотическогоповедения парной корреляционной функции, и операторного разложения,позволяющий связать асимптотическое поведение парной корреляционнойфункции составных операторов с асимптотическим поведением самих составных операторов; см. [18].Достоверность результатов обеспечивается использованием мощного и хорошо развитого математического аппарата квантовой теории поляи сравнением с результатами, известными ранее для различных частныхслучаев.Основные положения, выносимые на защиту:(1) Для модели турбулентного переноса пассивного векторного поляпри наличии крупномасштабной анизотропии в случае, когда поле скоростей обладает конечным временем корреляции и описывается стохастическим уравнением Навье–Стокса для несжимаемой вязкой жидкости, установлено существование аномального скейлинга в инерционном интервале масштабов, а соответствующие показатели вычислены явно в главном(однопетлевом) приближении ренормгруппы, включая показатели анизотропных вкладов.
Как и для случая скалярного поля, они демонстрируютиерархию, связанную со степенью анизотропности вклада: чем она выше,тем больше показатель и тем быстрее вклад убывает в глубине инерци-13онного интервала. Ведущий член асимптотики в инерционном интервалеопределяется изотропным вкладом, что согласуется с гипотезой Колмогорова о локально изотропной турбулентности.(2) В кинематической модели турбулентного динамо при наличиикрупномасштабной анизотропии для случая, когда поле скоростей описывается статистическим ансамблем Казанцева–Крейчнана, аномальныепоказатели явно вычислены в двухпетлевом приближении ренормгруппы(второй порядок эпсилон–разложения).
Показано, что в отличие от скалярного случая, учет двухпетлевого вклада приводит к усилению аномальногоскейлинга и иерархии анизотропных вкладов по сравнению с ведущим (однопетлевым) приближением.(3) Для модели турбулентного переноса пассивного векторного поля вслучае, когда поле скоростей описывается сильно анизотропным статистическим ансамблем Авельянеды–Майда с одним выделенным направлением, показано, что соответствующие уравнения ренормализационной группы имеют инфракрасно–притягивающую неподвижную точку в широкоминтервале параметров, в том числе для частных случаев кинематическоймодели динамо, линеаризованного уравнение Навье–Стокса и т.
н. линейной модели с давлением, то есть в модели реализуется скейлинговое поведение. Найдены точные значения соответствующих критических размерностей полей и основных параметров модели.(4) Установлено, что в модели турбулентного переноса пассивноговекторного поля в случае, когда поле скоростей описывается статистическим ансамблем Авельянеды–Майда, аномальный скейлинг проявляется влогарифмической зависимости корреляционных функций от внешнего (ин-14тегрального) масштаба, в отличие от степенной зависимости для ансамбляКазанцева–Крейчнана и большинства его модификаций.
Это является результатом специального случая смешивания в семействах составных операторов, при котором матрица смешивания оказывается нильпотентной.Апробация работы. Результаты и положения работы докладывалисьи обсуждались на следующих научных конференциях и школах:1.
Международная студенческая конференция «Физика и Прогресс —2010» (Санкт-Петербург, Россия, 2010 г.).http://www.phys.spbu.ru/grisc/science-and-progress/archive.html2.Международная конференция «Математическое моделирование и вычислительная физика» MMCP — 2011 (Кошице, Словакия, 2011 г.).http://www.informatik.uni-trier.de/l̃ey/db/conf/mmcp/mmcp2011.html3. Международная студенческая конференция «Физика и Прогресс —2013» (Санкт-Петербург, Россия, 2013 г.).http://www.phys.spbu.ru/grisc/science-and-progress/archive.html4.XLVIII Зимняя школа Петербургского института ядерной физики(Санкт-Петербург, Россия, 2014 г.).http://dbserv.pnpi.spb.ru/WinterSchool/school_program.html5.52я Международная школа по субатомной физике (Эричи, Италия,2014 г.).http://www.ccsem.infn.it/issp2014/index.html6.XI Международная конференция «Кварки, конфайнмент и спектр адронов» (Санкт-Петербург, Россия, 2014 г.).http://onlinereg.ru/confXI/list.pdf15Публикации.
По теме диссертации опубликовано 4 научные работы визданиях, рекомендованных ВАК РФ и входящих в базы данных РИНЦ,Web of Science и Scopus, а также тезисы докладов 2 международных конференций:1. Н.В. Антонов, Н.М. Гулицкий, тезисы международной студенческойконференции «Физика и Прогресс — 2010».2. N.V. Antonov, N.M. Gulitskiy, Lecture Notes in Comp. Science Vol. 7125,p. 128–135, 2012.3. N.V. Antonov, N.M. Gulitskiy, Phys. Rev. E Vol. 85, 065301(R), 2012;Erratum, Phys. Rev. E Vol. 87, 039902, 2013.4.
Н.В. Антонов, Н.М. Гулицкий, тезисы международной студенческойконференции «Физика и Прогресс — 2013».5. Н.В. Антонов, Н.М. Гулицкий, ТМФ Т. 176. №1, с. 22–34, 2013.6. Н.В. Антонов, Н.М. Гулицкий, Вестник СПбГУ, Сер. 4 Т. 1 (59)Вып. 3, с. 299–317, 2014.Личный вклад автора. Все основные результаты получены соискателем лично либо при его прямом участии в неразделимом соавторстве.Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, 5глав, заключения, приложений и списка литературы из 80 наименований.Работа изложена на 198 страницах и содержит 24 рисунка и 3 таблицы.Первая глава содержит введение в проблематику задач данного типа, а также описание ансамблей скорости и постановку задачи с помощьюстохастических дифференциальных уравнений.16Вторая глава посвящена переформулировке данных задач в виденекоторых квантово–полевых моделей с заданными функционалами действия; для каждой из моделей устанавливается ренормируемость и вычисляется оператор собственной энергии, входящий в уравнение Дайсона.В третьей главе вычисляются РГ–функции — аномальные размерности γ и β–функции полей и параметров; будет показано, что в некоторых интервалах значений параметров данные модели обладают ИК–притягивающей неподвижной точкой, определяющей ИК–асимптотикукорреляционных функций.Червертая глава посвящена ренормировке составных операторов вмодели №1 (ансамбль скорости Авельянеды–Майда).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
