Диссертация (1150597), страница 6
Текст из файла (страница 6)
å. â Ëåììå 3 X èãðàåò ðîëü {|vt |} è Y âêëþ÷àåòäðóãèå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû), è ïîëó÷åíî ñâîéñòâî áåçóñëîâíîãî îäíîðîäíîãî óïîðÿäî÷åíèÿ kH0 (ϑ)? k.Òåîðåìà 2.1 äîêàçàíà.Ñðàçó ñòîèò äîïîëíèòü âûøåïðèâåäåííóþ òåîðåìó ñëåäóþùèì çàìå÷àíèåì.Çàìå÷àíèå 1.Íèæíÿÿ ãðàíèöà M − 1 äëÿ ÷èñëà ãåíåðèðóåìûõ íà-áîðîâ ñëó÷àéíûõ çíàêîâ îïðåäåëÿåòñÿ ñòåïåíüþ äîñòîâåðíîñòè p âû÷èñëÿåìîãî èíòåðâàëà: M > 1/(1 − p).2.5Ìîäèôèöèðîâàííûé ìåòîäçíàêî-âîçìóùåííûõ ñóìì.Åäèíñòâåííûì ñóùåñòâåííûì îãðàíè÷åíèåì ïðèìåíèìîñòè ìåòîäàSPS ÿâëÿåòñÿ ïðåäïîëîæåíèå î ñèììåòðè÷íîñòè îòíîñèòåëüíî íóëÿ âåðîÿòíîñòíûõ ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíûõ ïîìåõ.
Ðàíåå â [26], [28] çà ñ÷åòðàíäîìèçàöèè âõîäíûõ âîçäåéñòâèé óäàëîñü â ëèíåéíîì ñëó÷àå îñëàáèòüóñëîâèÿ íåçàâèñèìîñòè è ñèììåòðè÷íîñòè ïîìåõ íàáëþäåíèÿ. Äàëåå ýòîòïîäõîä îáîáùàåòñÿ íà íåëèíåéíóþ ïîñòàíîâêó çàäà÷è, ïðè ýòîì äåëàåòñÿëèøü îäíî óïðîùåíèå, îá îäíîìåðîíñòè ïàðàìåòðà âõîäà ut .Ðàññìàòðèâàåòñÿ áîëåå ñëîæíàÿ ìîäåëü íàáëþäåíèé ïî ñðàâíåíèþ ñèñõîäíîé ìîäåëüþ (2.1). Ïóñòü ∆t , t = 1, 2, . . . , T ïðîáíîå ðàíäîìèçèðîâàííîå âîçìóùåíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâîðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ðàâíûõ ±1 ñ îäèíàêîâîé âåðîÿòíîñòüþ 1/2. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (·, ·) äèôôåðåíöèðóåìà íå37òîëüêî ïî âòîðîìó àðãóìåíòó, íî è ïî ïåðâîìó, è ïðè ôèêñèðîâàííîìïëàíå íàáëþäåíèé ut äëÿ êàæäîãî ìîìåíòà âðåìåíè t = 1, 2, .
. . , T êðîìå íàáëþäåíèé (2.1) ñäåëàíû åùå äîïîëíèòåëüíûå íàáëþäåíèÿ:(2.19)?+yt+ = f (u+t , ϑ ) + vt ,â âîçìóùåííûõ òî÷êàõ âõîäîâ u+t = ut + ∆t .Ïî òðåì èçìåðÿåìûì âåëè÷èíàì yt , yt+ , ∆t äëÿ êàæäîãî ìîìåíòà âðåìåíè t = 1, 2, . . . , T îïðåäåëèì íîâîå íàáëþäåíèå:ȳt := ∆t (yt+ − yt ).Äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàáëþäåíèé {ȳt } â ñèëó (2.1) è (2.19) èìååì:ȳt = f¯(ut , ∆t , ϑ? ) + v̄t ,(2.20)+??ãäå f¯(ut , ∆t , ϑ? ) = ∆t (f (u+t , ϑ ) − f (ut , ϑ )) è v̄t = ∆t (vt − vt ). Ïî òåîðåìåî ñðåäíåì ôóíêöèþ f¯(ut , ∆t , ϑ? ) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:f¯(ut , ∆t , ϑ? ) = ∆t ∇u f (u0 t , ϑ? )∆t = ∆2t ∇u f (u0 t , ϑ? ) = ∇u f (u0 t , ϑ? ),ãäå u0 t íåêîòîðàÿ òî÷êà ìåæäó ut è u+t .
Èç ïîñëåäíåé ôîðìóëû âèäíî,÷òî ìîäåëü íàáëþäåíèé (2.20) ìîæåò áûòü ëåãêî ïåðåïèñàíà â âèäå (2.1),è ê íåé ìîãóò áûòü ïðèìåíåíû âñå ðàññóæäåíèÿ èç ðàçäåëîâ 2.22.4, íîäëÿ âûïîëíåíèÿ Ïðåäïîëîæåíèé 14 äîñòàòî÷íî ñäåëàòü î ïîìåõàõ vtáîëåå ñëàáûå ïðåäïîëîæåíèÿ:Ïðåäïîëîæåíèå 1'.Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîìåõ {vt } è{∇u f (u0 t , ϑ? )} íåçàâèñèìû ñ {∆t }.Ïðåäïîëîæåíèå 2'. Íåâûðîæäåííîñòü ñëåäóþùåé ñóììû ìàòðèö, ôîð-ìèðóåìûõ èç ãðàäèåíòîâ èññëåäóåìîé ôóíêöèè â òî÷êàõ âõîäîâT X1+0∇ϑ f (u+R+ (ϑ) =t , ϑ)∇ϑ f (ut , ϑ ) +T t=1TT38+∇ϑ f (ut , ϑ)∇ϑ f (ut , ϑ0 ) −T0 T∇ϑ f (u+t , ϑ)∇ϑ f (ut , ϑ )−0 T∇ϑ f (ut , ϑ)∇ϑ f (u+t ,ϑ )>0ïðè ëþáîì ϑ ∈ Θ.Ïóñòü ãðàäèåíò ôóíêöèè ∇θ f¯(u, θ) ðàâíîìåðíîÏðåäïîëîæåíèå 3'.îãðàíè÷åí è ôóíêöèÿ f¯(·, ·) óäîâëåòâîðÿåò ïî âòîðîìó àðãóìåíòó óñëî-¯?αâèþ Ãåëüäåðà ñ ïàðàìåòðîì α ≤ 1, ò.
å. k∇j k ≤ M kϑ − ϑk , ãäå M > 0¯ = ∇ f (u+ , ϑ) − ∇ f (u , ϑ) f (u+ , ϑ? ) − f (u+ , ϑ) − f (u , ϑ? ) −è ∇jϑϑjjjjjf (uj , ϑ) , j ∈ {1, . . . , T }.Ïðåäïîëîæåíèå 4'.Ïóñòü äëÿ ïðîèçâîëüíûõ j, k ∈ {1, . . . , T } ïðè äî-ñòàòî÷íî äàëåêèõ ϑ îò ϑ? âûïîëíÿåòñÿ¯ ] R̄+[∇jT−1T¯ ≥ µkϑ? − ϑkρ > 0(ϑ)∇kñ íåêîòîðûìè êîíñòàíòàìè µ > 0 è ρ > 1: ρ > α. Ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöàTR̄+ (ϑ) òàêàÿ, ÷òî R+ (ϑ) R+ (ϑ) = R̄+ (ϑ)R̄+ (ϑ)TTTTTÇàìåòèì, ÷òî ïðåäïîëîæåíèÿ 1' è 2' âûïîëíÿþòñÿ, åñëè ôóíêöèÿf (·, ·) ëèíåéíà ïî ïåðâîìó àðãóìåíòó, à ïîìåõè {vt } âíåøíèå è íåçàâèñèìû ñ {∆t } (íàïðèìåð, ïîìåõè {vt } íåèçâåñòíàÿ äåòåðìèíèðîâàííàÿïîñëåäîâàòåëüíîñòü).
 ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ ðåãðåññèè f¯(ut , ∆t , ϑ? ) äëÿíîâîé ìîäåëè íàáëþäåíèé (2.20) ïîëíîñòüþ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿìÒåîðåìû 2.1. Òàêèì îáðàçîì, ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíà àíàëîãè÷íàÿòåîðåìà, íî òîëüêî äëÿ áîëåå îáùåãî ñëó÷àÿ ñ ïðîèçâîëüíûìè âíåøíèìèïîìåõàìè.Ò å î ð å ì à 2.2. Åñëèâûïîëíåíû ïðåäïîëîæåíèÿ 1' 4',òîb T } = 1 − q/M,Prob{ϑ? ∈ Θb T èç Øàãîâ 13 îïèñàííîãî âûøå ìåòîäà SPS, è ìíîæåñòâîãäå M , q , Θb T îãðàíè÷åíî.Θ39Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû íåîáõîäèìî óäîñòîâåðèòüñÿ, ÷òî ìîäèôèöèðîâàííàÿ ìîäåëü íàáëþäåíèé (2.20) ïîëíîñòüþ ñîîòâåòñòâóåò óñëîâèÿì Òåîðåìû 2.1.  ñàìîì äåëå, ïîìåõè v̄t = ∆t (vt+ − vt )ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè ñ ñèììåòðè÷íûìè îòíîñèòåëüíî íóëÿðàñïðåäåëåíèÿìè, òàê êàê â ñèëó íåçàâèñèìîñòè ∆t è (vt+ − vt ) ïîëó÷àåòñÿ Ev̄t = E∆t · E(vt+ − vt ) = 0 · E(vt+ − vt ) = 0.
Äàëåå íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðåäïîëîæåíèÿ 2'4' èç Òåîðåìû 2.1 âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ôóíêöèèf¯(ut , ∆t , ϑ) = ∆t (f (u+t , ϑ) − f (ut , ϑ)).Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ∆t · ∆t = 1, íåòðóäíî ïîëó÷èòü, ÷òî:+00∇ϑ f (u+t , ϑ)∇ϑ f (ut , ϑ ) + ∇ϑ f (ut , ϑ)∇ϑ f (ut , ϑ ) −TT0+0−∇ϑ f (u+t , ϑ)∇ϑ f (ut , ϑ ) − ∇ϑ f (ut , ϑ)∇ϑ f (ut , ϑ ) =TT= ∇ϑ f¯(ut , ∆t , ϑ)∇ϑ f¯(ut , ∆t , ϑ0 ) .TÒàêèì îáðàçîì, âûïîëíåíû âñå óñëîâèÿ Òåîðåìû 2.1, è Òåîðåìà 2.2äîêàçàíà. ÷àñòíîì ñëó÷àå íåëèíåéíîé ðåãðåññèè, â êîòîðîì èìååòñÿ ëèíåéíîñòü ïî àðãóìåíòó ϑ, òî åñòü:(2.21)f (u, ϑ) = g(u)ϑ,ìîæíî ïîëó÷èòü èíòåðåñíûé ðåçóëüòàò îòíîñèòåëüíî äîâåðèòåëüíîãî ìíî-b := {ϑ ∈ Rd SPS_indicator(ϑ) = 1}, ïîñòðîåííîãî ñîãëàñíîæåñòâà ΘTìåòîäó SPS.
Îí ïîìîæåò ñôîðìèðîâàòü ïðàêòè÷åñêèé àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ ãðàíèö ýòîãî ìíîæåñòâà.Èç (2.11)-(2.21) ïîëó÷àåì:(2.22)T1X1R (ϑ) =g (ut )g(ut ) = G G,T t=1TTT40Tãäå G = (g(u1 , . . . , g(ut )).  ñèëó ñèììåòðèè ìàòðèöû R èìååò ìåñòî:TR̄ = R (ìàòðèöû R è R̄ ââåäåíû íà ñ. 26). Ïîýòîìó H0 èç (2.7) ïðèíèìàåò âèä:TTTTH0 (ϑ) := R−1/2T=R−1/2T=R−1/2TT1Xg (ut )(yt − g(ut )ϑ) =(ϑ)T t=1TT1X(ϑ)g (ut )(g(ut )ϑ? + vt − g(ut )ϑ) =T t=1TTT1X1X?−1/2(ϑ)g (ut )g(ut )(ϑ − ϑ) + R(ϑ)g(ut )vt =T t=1T t=1TT=R−1/2TTT1X1X?−1/2(ϑ)G (ut )G(ϑ − ϑ) + R(ϑ)g(ut )vt .T t=1T t=1TTÇíàêî-âîçìóùåííûå ñóììû â Hi èç (2.8) ïðåîáðàçóþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:Hi (ϑ) := R−1/2TTT=RTT1X1X?−1/2βij g (ut )g(ut )(ϑ −ϑ)+Rβij g(ut )vt =(ϑ)(ϑ)T t=1T t=1−1/2TT11X?−1/2(ϑ) G Di G(ϑ)(ϑ − ϑ) + R(ϑ)βij g(ut )vt ,TT t=1TTãäå Di = diag(βi1 . .
. βit ), t = 1, . . . , T,i = 1, . . . , M − 1.Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:TQi := G Di G,i = 1, . . . , M − 1.Îòìåòèì, ÷òî êâàäðàòû íîðì ìàòðèö èç (2.12) è (2.13) Hi (ϑ) è H0 (ϑ)ÿâëÿþòñÿ êâàäðàòè÷íûìè ôîðìàìè îòíîñèòåëüíî ϑ ñ ìàòðèöàìè ÃåññåQi R−1 Qi è R ñîîòâåòñòâåííî.TTÑëåäóþùèé ðåçóëüòàò ñâÿçûâàåò ýòè ìàòðèöû.41(∀i ∈ {1, . . . , M − 1}) R Qi R−1 Qi ,ãäå áèíàðíîå îòíîøåíèå îçíà÷àåò, ÷òî ðàçíîñòü ëåâîé è ïðàâîé÷àñòåé ýòîãî áèíàðíîãî îòíîøåíèÿ ïîëîæèòåëüíî ïîëóîïðåäåëåíà.Ò å î ð å ì à2.3.TTÄîêàçàòåëüñòâî. Ìàòðèöà R ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ïîëîæèòåëüíî ïîëóîïðåTäåëåííûõ ìàòðèö g (ut )g(ut ), t = 1, .
. . , T . Ìàòðèöà Qi R−1 Qi ñóììàTT÷àñòèòàêèõæåïîëîæèòåëüíîïîëóîïðåäåëåííûõìàòðèö:g (ut )g(ut ), ãäå D0 = {1, . . . , T }, Di ⊆ D0 . È îò ýòîé ñóììûPâû÷èòàåòñÿ t∈Di g (ut )g(ut ). Ïîýòîìó óòâåðæäåíèå Òåîðåìû 3 î÷åâèäíî.PTt∈D0 \DiTÄëÿ àíàëèçà äîâåðèòåëüíîãî ìíîæåñòâà, ïîëó÷àåìîãî â ðåçóëüòàòåïðèìåíåíèÿ ìåòîäà SPS, îïðåäåëèì ïîíÿòèå çâåçäíîé îáëàñòè.X çâåçäíàÿ îáëàñòü ñ öåíòðîì â òî÷êå c,åñëè (∀x ∈ X) (∀ν ∈ [0, 1])νx + (1 − ν)c ∈ X .Î ï ð å ä å ë å í è å 5.Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî âñå âûïóêëûå îáëàñòè çâåçäíûå, ïðè÷åì â êà÷åñòâå èõ öåíòðà ìîæåò ñëóæèòü ëþáàÿ èõ òî÷êà.
Íî íå âñÿêîå çâåçäíîåìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì.Åñëè âûïîëíåíû Ïðåäïîëîæåíèÿ 1 è 2, òî ïîñòîb ÿâëÿåòñÿ çâåçäíîéðåííîå ìåòîäîì SPS äîâåðèòåëüíîå ìíîæåñòâî ΘÒ å î ð å ì à 2.4.Tîáëàñòüþ, öåíòðîì êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ îöåíêà, ïîëó÷åíàÿ ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ââåäåì ìíîæåñòâà κi = {ϑ ∈ Rd |kH0 (ϑ)k ≤ kHi (ϑ)k}.Ñîãëàñíî Òåîðåìå 2.3 H0 (ϑ) − Hi (ϑ) ïîëîæèòåëüíî ïîëóîïðåäåëåíà.Ñëåäîâàòåëüíî, kH0 (ϑ)k2 − kHi (ϑ)k2 âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ, èκi = {ϑ ∈ Rd | kH0 (ϑ)k2 − kHi (ϑ)k2 ≤ 0} âûïóêëîå ìíîæåñòâî. Áîëååòîãî, ìíîæåñòâî κi ñîäåðæèò îöåíêó ϑ̂ , ïîëó÷åííóþ ìåòîäîì íàèìåíübT )k = 0.øèõ êâàäðàòîâ, ïîñêîëüêó ïî îïðåäåëåíèþ âåðíî kH0 (ϑTÒàêæåìîæíîïîêàçàòü,÷òîìíîæåñòâî:κ̄i = {ϑ ∈ Rd | kH0 (ϑ)k2 < kHi (ϑ)k2 } ëèáî ïóñòîå, ëèáî âûïóêëîå. ÏðèbT .ýòîì, åñëè κ̄i íå ïóñòî, òî îíî îáÿçàòåëüíî áóäåò ñîäåðæàòü ϑ42Ïóñòü κ̄i íå ïóñòîå è ϑ̂ ∈/ κ̄i , òîãäà èç óñëîâèÿ kH0 (ϑ̂ )k = 0 ñëåTTb äîëæíî ïðèíàäëåæàòü κ̄i . Ïîñêîëüäóåò, ÷òî kHi (ϑ̂ )k = 0, èíà÷å ϑTTêó κ̄i 6= ∅, òî ∃ϑ̄ : kH0 (ϑ̄)k2 < kHi (ϑ̄)k2 . Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿkHi (ϑ)k2 − kH0 (ϑ)k2 ÿâëÿåòñÿ âîçðàñòàþùåé îò íóëÿ äî íåêîòîðîãî ïîëîæèòåëüíîãî çíà÷åíèÿ íà îòðåçêå, ñîåäèíÿþùåì ϑ̂ è ϑ̄.
Òàêæå ýòà ôóíêöèÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó ϑ̂T ñ íóëåâûì ãðàäèåíòîì. Cëåäîâàòåëüíî, íàéäåòñÿ òî÷êà ìåæäó ϑ̂ è ϑ̄, â êîòîðîé ãðàäèåíò áóäåò îòëè÷åí îò íóëÿ.Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ãåññèàí H0 (ϑ) áîëüøå, ÷åì ãåññèàí Hi (ϑ), à ýòî â ñâîþî÷åðåäü ïðîòèâîðå÷èò Ëåììå 3.TTγÎïðåäåëèì ìíîæåñòâî κi = {ϑ ∈ Rd | kH0 (ϑ)k2 ≺γ kHi (ϑ)k2 }, êîòîðîå â çàâèñèìîñòè îò îòîáðàæåíèÿ γ ñîâïàäàåò ëèáî ñ κi , ëèáî ñ κ̄i . Òîãäàìîæíî çàïèñàòü ïîëó÷åííîå ïî ìåòîäó SPS äîâåðèòåëüíîå ìíîæåñòâîbT =Θ[\I⊆M ∧ |I|=qi∈Iκγiãäå, M = {1, 2, . . . , M − 1}.Òàêèì îáðàçîì, áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ïîëó÷àåìîå â ðåçóëüòàòå ìåòîäàb .SPS äîâåðèòåëüíîå ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ çâåçäíûì ñ öåíòðîì â ΘT2.6Ïîñòðîåíèå ãðàíèöäîâåðèòåëüíîãî ìíîæåñòâàÄëÿ íåêîòîðîãî çàäàííîãî çíà÷åíèÿ ϑ ëåãêî, ïðîâåðèòü, ïðèíàäëåæèòëè îíî äîâåðèòåëüíîìó ìíîæåñòâó èëè íåò.
Âñå, ÷òî äëÿ ýòîãî íóæíîñäåëàòü ýòî âû÷èñëèòü ôóíêöèè {kHi (ϑ)k2 } è ñðàâíèòü èõ. Ñëåäîâàòåëüíî, äîâåðèòåëüíîå ìíîæåñòâî SPS, ìîæåò áûòü ïîñòðîåíî ïóòåì ïðîâåðêè êàæäîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà íà ÷èñëîâîé ðåøåòêå. Îäíàêî ýòîòñïîñîá âû÷èñëèòåëüíî ñëîæåí â ñëó÷àå, åñëè ðàçìåðíîñòü d áîëüøàÿ. Ïîýòîìó ïðåäëàãàåòñÿ àëüòåðíàòèâíûé àëãîðèòì àïïðîêñèìàöèè äëÿ ìåòîäà SPS, êîòîðûé ïîçâîëÿåò ýôôåêòèâíî âû÷èñëÿòü çà ïîëèíîìèàëüíîå43âðåìÿ äîâåðèòåëüíîå ìíîæåñòâî SPS â âèäå êîìïàêòíîãî ïðåäñòàâëåíèÿâ ýëëèïñîèäíîé ôîðìå. Àëüòåðíàòèâíûé ïîäõîä, îñíîâàííûé íà îöåíêåèíòåðâàëîâ, òàêæå áûë ïðåäëîæåí â [61].Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ãðàíèö äîâåðèòåëüíîãî ìíîæåñòâà:Äëÿ êàêèõ-òî i ∈ {1, .
. . , M − 1} íåêîòîðîå îñëîæíåíèå ìîæåò âûçûâàòüñÿ âûðîæäåííîñòüþ ìàòðèöû wi = R − Qi R−1 Qi .  ýòîì ñëóTT÷àå çâåçäíîå ìíîæåñòâî, êîíñòðóèðóåìîå â Òåîðåìå 2.4 ìîæåò îêàçàòüñÿíåîãðàíè÷åííûì íà íåêîòîðûõ ëó÷àõ, èñõîäÿùèõ èç θbT . Îïèøåì ýòè ëó÷èè ïðè äèñêðåòèçàöèè òåëåñíûõ óãëîâ óäåëèì èì îñîáîå âíèìàíèå.−1Îòìåòèì âíà÷àëå, ÷òî ïîñëå óïîðÿäî÷èâàíèÿ {Hi (θb )}Mi=0 â ïîñòðîTb ó÷àñòâóåò ëèøü çíàêî-âîçìóùåííûååíèè äîâåðèòåëüíîãî ìíîæåñòâà ΘTñóììû ñ òàêèìè èíäåêñàìè i, äëÿ êîòîðûõ Hi (θb ) γ H0 (θb ). Åñëè ðàíãTTH0 (θb ) ðàâåí r, òî òàêèõ èíäåêñîâ áóäåò M − r øòóê. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî îíè îáðàçóþò ìíîæåñòâî I = {1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
