Диссертация (1150597), страница 4
Текст из файла (страница 4)
 ðåçóëüòàòå áûëðàçðàáîòàí ìåòîä LSCR (Leave-out Sign-dominant Correlation Regions)[27, 5860]. Ïîçäíåå äëÿ ëèíåéíîãî ìíîãîìåðíîãî ñëó÷àÿ, îò÷àñòè êàêñëåäñòâèå ìåòîäà LSCR, áûë ïðèäóìàí ìåòîä çíàêî-âîçìóùåííûõ ñóììSPS (Sign Perturbed Sums) [25], ïîçâîëÿþùèé äåëàòü êîððåêòíóþ îöåíêóèñòèííîãî çíà÷åíèÿ öåëåâîãî ïàðàìåòðà, ïðè êîíå÷íîì ÷èñëå íàáëþäå21íèé. Îäíîâðåìåííî áûëà ïðåäëîæåíà åãî ìîäèôèêàöèÿ â ðàáîòàõ [26,28]íà ñëó÷àé íåñèììåòðè÷íûõ ïðîèçâîëüíûõ âíåøíèõ ïîìåõ. ðàáîòàõ [3437] ìåòîäû SPS è MSPS áûëè îáîáùåíû äëÿ ìîäåëåéñ íåëèíåéíûìè ôóíêöèÿìè ðåãðåññèè.22Ãëàâà 2Îöåíèâàíèå ïî êîíå÷íîìó÷èñëó íàáëþäåíèé2.1Ôîðìàëèçîâàííàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷èÏóñòü f (u, ϑ) èçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ äâóõ âåêòîðíûõ àðãóìåíòîâ:u ∈ Rk è ϑ ∈ Θ ⊆ Rd , ò.
å. f : Rk × Θ → R. Ïðåäïîëîæèì íàëè÷èå óf íåïðåðûâíîé ïðîèçâîäíîé Ôðåøå ïî âòîðîìó àðãóìåíòó âî âñåõ âíóòðåííèõ òî÷êàõ ìíîæåñòâà Θ. Ïóñòü êàêèìè-òî âíåøíèìè ñîîáðàæåíèÿìèóñòàíîâëåíî, ÷òî f ÿâëÿåòñÿ õîðîøåé àäåêâàòíîé ìîäåëüþ íåêîòîðîãîïðèðîäíîãî ÿâëåíèÿ ïðè åäèíñòâåííîì íåèçâåñòíîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà ϑ = ϑ? , ïîèñê ïðèáëèæåíèÿ ê êîòîðîìó è åñòü îñíîâíàÿ çàäà÷à ýòîéðàáîòû.Äëÿ ïîèñêà îöåíêè íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà ϑ? èñïîëüçóþòñÿ íàáëþäåíèÿ ñîãëàñíî ñëåäóþùåé ìîäåëè:(2.1)yt = f (ut , ϑ? ) + vt ,t = 1, . .
. , T,ãäå yt íàáëþäåíèÿ (âûõîäû), yt ∈ R, vt ñëó÷àéíûå âíåøíèå ïîìåõè, vt ∈ R; ut èçâåñòíûé ïëàí íàáëþäåíèé (âõîäû), êîòîðûé çàäàåòñÿýêñïåðèìåíòàòîðîì èëè âûáèðàåòñÿ êàê-òî ñëó÷àéíî èç íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà U ⊂ Rk ; ϑ? ∈ Θ èñòèííîå çíà÷åíèå íåèçâåñòíîãî âåêòîðíîãî23ïàðàìåòðà, ïðèíàäëåæàùåå íåêîòîðîìó çàäàííîìó ìíîæåñòâó Θ, t íîìåð ýêñïåðèìåíòà, T îáùåå êîëè÷åñòâî ýêñïåðèìåíòîâ.Òðåáóåòñÿ ïî çàäàâàåìîé (èëè ïî çàäàííîé) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âõîäîâ u1 , u2 , . .
. , u è íàáëþäåíèÿì y1 , y2 , . . . , y îïðåäåëèòü äîâåðèòåëüíîåTTb ⊆ Θ òàêîå, ÷òî P (ϑ? ∈ Θb ) ≥ p, ãäå p çàäàâàåìûéìíîæåñòâî ΘTTïîëüçîâàòåëåì óðîâåíü äîñòîâåðíîñòè.2.2Îñíîâíûå ïðåäïîëîæåíèÿÎáû÷íî ïðè ïðåäïîëîæåíèÿõ î ñëó÷àéíîé ïðèðîäå ïîìåõ {vt } çàäà÷óîá îöåíèâàíèè íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà θ? ðàññìàòðèâàþò êàê ñëåäóþùóþ çàäà÷ó î ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà ñðåäíåãî ðèñêà:(2.2)F (ϑ) = E(y − f (u, ϑ))2 → min .ϑ∈ΘÇäåñü è äàëåå E ñèìâîë ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. ñëó÷àå ìàëîãî ÷èñëà íàáëþäåíèé ñ íåèçâåñòíûì ðàñïðåäåëåíèåìñëó÷àéíûõ ïîìåõ ìèíèìèçàöèÿ ôóíêöèîíàëà ñðåäíåãî ðèñêà íå äàåò òî÷íîé îöåíêè.
Âìåñòî çàäà÷è î ïîèñêå òî÷íîé îöåíêè áóäåì ðàññìàòðèâàòüçàäà÷ó ïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëüíîãî ìíîæåñòâà äëÿ íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà ϑ? .  [25] äëÿ ïîõîæåé çàäà÷è â ëèíåéíîé ïîñòàíîâêå áûëî ïðåäëîæåíî èñïîëüçîâàòü ìåòîä çíàêî-âîçìóùåííûõ ñóìì (Sign Perturbed Sums,SPS). Ïðåèìóùåñòâîì ýòîãî ïîäõîäà ÿâëÿåòñÿ î÷åíü ñëàáûå îãðàíè÷åíèÿíà ñëó÷àéíûå ïîìåõè: ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îíè âñåãî ëèøü íåçàâèñèìûåè ñèììåòðè÷íî ðàñïðåäåëåííûå îòíîñèòåëüíî íóëÿ ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. [26, 28] ìåòîä SPS áûë ìîäåðíèçèðîâàí äëÿ åùå áîëåå ñëàáûõ îãðàíè÷åíèé íà âíåøíèå ïîìåõè ñ îòêàçîì îò óñëîâèÿ èõ ñèììåòðè÷íîñòè. ñëó÷àå ñóùåñòâîâàíèÿ ïðîèçâîäíîé Ôðåøå ôóíêöèè f ïî èñêîìîìóïàðàìåòðó θ íåîáõîäèìîå óñëîâèå ìèíèìóìà ýìïèðè÷åñêîãî ôóíêöèîíà-24ëà (1.2) çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:(2.3)T1X(yt − f (ut , ϑ))∇ϑ f (ut , ϑ) = 0.∇ϑ F (ϑ) = 2T t=1TÝòî óñëîâèå ñ ó÷åòîì ìîäåëè íàáëþäåíèé (2.1) ïðèíèìàåò âèä:T1Xf (ut , ϑ? ) − f (ut , ϑ) + vt ∇ϑ f (ut , ϑ) = 0.T t=1Ñ ó÷åòîì (1.4) óðàâíåíèå 2.3 ïðèíèìàåò âèä:(2.4)T1X∇ϑ f (ut , ϑ)∇ϑ f (ut , ϑ0 ) (ϑ? − ϑ) + ∇ϑ f (ut , ϑ)vtT t=1T!= 0.Îáîçíà÷èì ÷åðåç D0 ìíîæåñòâî èíäåêñîâ {1, .
. . , T }.Âûáåðåì M > 0 íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, è äëÿ êàæäîãîi = 1, . . . , M − 1 âûáåðåì èç D0 ïî ñõåìå Áåðíóëëè íàáîðû èíäåêñîâDi ñ âåðîÿòíîñòüþ âûáîðà êàæäîãî ýëåìåíòà p = 1/2. Îáîçíà÷èì ÷åðåçβi,t íàáîðû ñëó÷àéíî âûáðàííûõ çíàêîâ, ò. å.(βi,t =1, t ∈ Di ,−1, t ∈ D0 \Di ,i = 1, . . . , M − 1.Äëÿ êîððåêòíîãî ïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëüíîãî ìíîæåñòâà ìåòîäîì SPSíåîáõîäèìî, ÷òîáû áûëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî èññëåäóåìîé ôóíêöèè è ñëó÷àéíûõ ïîìåõ â ìîäåëè íàáëþäåíèé(2.20):Ïðåäïîëîæåíèå 1.Ïîìåõè íàáëþäåíèÿ vt ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïîñëå-äîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, êàæäàÿ èç êîòîðûõ èìååò ñèììåòðè÷íîå îòíîñèòåëüíî íóëÿ âåðîÿòíîñòíîå ðàñïðåäåëåíèå.25Ïðåäïîëîæåíèå 2.Ïðè ëþáîì ϑ ∈ Θ ìàòðèöà:T1X∇ϑ f (ut , ϑ)∇ϑ f (ut , ϑ0 )R (ϑ) =T t=1(2.5)TTíåâûðîæäåíà.Ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè Ïðåäïîëîæåíèÿ 2 ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà R (ϑ)R (ϑ) ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà, è êðîìå òîãî, îíàTTTìîæåò áûòü ôàêòîðèçîâàíà, ò.
å. ñóùåñòâóåò íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöàR̄ (ϑ) òàêàÿ, ÷òî R (ϑ)R (ϑ) = R̄ (ϑ)R̄ (ϑ).TTTTTTÏðåäïîëîæåíèå 3. Ïóñòü ãðàäèåíò ôóíêöèè ∇θ f (u, θ) ðàâíîìåðíî îãðà-íè÷åí è ôóíêöèÿ f (·, ·) óäîâëåòâîðÿåò ïî âòîðîìó àðãóìåíòó óñëîâèþ¯ j k ≤ M kϑ? − ϑkα , ãäå M > 0 èÃåëüäåðà ñ ïàðàìåòðîì α ≤ 1, ò. å. k∇¯ j = ∇ϑ f (uj , ϑ) f (uj , ϑ? ) − f (uj , ϑ) , j ∈ {1, . . . , T }.∇Ïðåäïîëîæåíèå 4.Ïóñòü äëÿ ïðîèçâîëüíûõ j, k ∈ {1, . . . , T } ïðè äî-ñòàòî÷íî äàëåêèõ ϑ îò ϑ? âûïîëíÿåòñÿ:¯ j ] R̄−1 (ϑ)∇¯ k ≥ µkϑ? − ϑkβ > 0[∇TTñ íåêîòîðûìè êîíñòàíòàìè µ > 0 è β > 1: β > α.Òàêæå îòìåòèì, ÷òî Ïðåäïîëîæåíèÿ 34 âûïîëíÿþòñÿ äëÿ öåëîãîðÿäà ïðàêòè÷åñêè âàæíûõ ïðèëîæåíèé, îïèñàííûõ â Ãëàâå 3.Îáîçíà÷èì îøèáêè ïðåäñêàçàíèÿ äëÿ ïðîèçâîëüíîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà ϑ ñëåäóþùèì îáðàçîì:(2.6)δt (ϑ) := yt − f (ut , ϑ),è ââåäåì íîðìèðîâàííóþ ñóììó íåâÿçîê ìåæäó èçìåðÿåìûìè è ïðåäñêàçûâàåìûìè çíà÷åíèÿìè:(2.7)−1/2H0 (ϑ) := R̄ (ϑ)TT1X∇ϑ f (ut , ϑ)δt (ϑ).T t=126Âìåñòå ñ H0 (ϑ) áóäåì ðàññìàòðèâàòü åùå M −1 çíàêî-âîçìóùåííûõ ñóììHi (ϑ), i = 1, .
. . , M − 1:(2.8)−1/2Hi (ϑ) := R̄ (ϑ)TT1Xβi,t ∇ϑ f (ut , ϑ)δt (ϑ).T t=1Åñëè äîîáîçíà÷èòü β0,t = 1, t = 1, . . . , T , òî âûðàæåíèå (2.7) ñòàíîâèòñÿ÷àñòíûì ñëó÷àåì îáîçíà÷åíèé (2.8).Ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî ìíîæèòåëü R̄ (ϑ)−1/2 â âûðàæåíèÿõ (2.7) è (2.8)Tââîäèòñÿ òîëüêî äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîâûñèòü ñòàáèëüíîñòü ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòîâ.Êàê âèäíî èç âûðàæåíèé (2.7)(2.8), âåëè÷èíû H0 (ϑ) è Hi (ϑ) âåêòîðíûå, ïîýòîìó â äàëüíåéøåì äëÿ èõ ñðàâíåíèÿ áóäåì èñïîëüçîâàòüåâêëèäîâó íîðìó âåêòîðîâ kxk :=√x x.TÈíòóèòèâíàÿ èäåÿ ìåòîäà SPS çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåé îñîáåííîñòè ïîñòðîåííûõ çíàêî-âîçìóùåííûõ ñóìì. Ïðè çíà÷åíèè ϑ = ϑ? ñóììûH0 (ϑ? ) è Hi (ϑ? ) áóäóò âûãëÿäåòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:(2.9)(2.10)? −1/2?H0 (ϑ ) = R̄ (ϑ )T? −1/2?Hi (ϑ ) = R̄ (ϑ )TT1X∇ϑ f (ut , ϑ? )vt ,T t=1T1Xβi,t ∇ϑ f (ut , ϑ? )vt ,T t=1ãäå i = 1, .
. . , M − 1, vt ïîìåõè èç ìîäåëè íàáëþäåíèé (2.1).Ïðè ýòîì H0 (ϑ? ) è Hi (ϑ? ) áóäóò èìåòü îäèíàêîâîå ðàñïðåäåëåíèå ïðèâûïîëíåíèè Ïðåäïîëîæåíèÿ 1, òàê êàê ïîìåõè {vt } íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ ñèììåòðè÷íûìè îòíîñèòåëüíî íóëÿ âåðîÿòíîñòíûìèðàñïðåäåëåíèÿìè. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè âñå kHs (ϑ? )k, s = 0, . . . , M − 1ðàçëè÷íû, è i 6= j , òî kHj (ϑ? )k ðàâíîâåðîÿòíî ìîæåò áûòü êàê áîëüøå, òàê è ìåíüøå kHi (ϑ? )k, à âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî êàêîå-òî êîíêðåòíîå27−1kHj (ϑ? )k áóäåò çàíèìàòü k -þ ïîçèöèþ â óïîðÿäî÷èâàíèè {kHi (ϑ? )k}Mi=0áóäåò îäèíàêîâîé äëÿ âñåõ çíà÷åíèé j , âêëþ÷àÿ j = 0.
Ïîñêîëüêó j ìîæåò ïðèíèìàòü M ðàçíûõ çíà÷åíèé, ýòà âåðîÿòíîñòü â òî÷íîñòè ðàâíà1/M .Áóäåì íàçûâàòü ðàíãîì è îáîçíà÷àòü ÷åðåç R(ϑ) íîìåð ïîçèöèèM −1kH0 (ϑ)k â óïîðÿäî÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè kHi (ϑ)k i=0 . ýòîì îïðåäåëåíèè åñòü íåîïðåäåëåííîñòü â ñèòóàöèè, êîãäà kH0 (ϑ? )kðàâíà îäíîé èëè íåñêîëüêèì kHj (ϑ? )k, j 6= 0.  ýòîì ñëó÷àå áóäåìñ÷èòàòü, ÷òî kH0 (ϑ? )k çàíèìàåò ðàâíîâåðîÿòíî ëþáóþ èç ïîçèöèé ñðåäèòàêèõ æå çíà÷åíèé kHj (ϑ? )k.Î ï ð å ä å ë å í è å 3.ñòîëáöîâGiM −1i=0Ïóñòü èìååòñÿ êîíå÷íûé íàáîð âåêòîðîâ. Îïðåäåëèì â íåì ðàíã R âåêòîðà G0 ñëåäóþùèìîáðàçîì:R0 := {iR1 := {i ||Gi || < ||G0 ||}, ||Gi || = ||G0 ||}.Âûáåðåì ñëó÷àéíî ðàâíîâåðîÿòíûì îáðàçîì ñ âåðîÿòíîñòüþ 1/(R1 + 1)îäíî èç ÷èñåë èç ìíîæåñòâà {0, 1, .
. . , R1 } è îáîçíà÷èì åãî R2 . Ðàíãîìâåêòîðà G0 íàçîâåì âåëè÷èíó:R := R0 + R2 .Èäåÿ òàêîãî ðàíæèðîâàíèÿ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà ϑ ëåæèò â îñíîâåàëãîðèòìà, îïðåäåëÿþùåãî äîâåðèòåëüíîå ìíîæåñòâî èíòåðâàëû äëÿ èñòèííîãî çíà÷åíèÿ îöåíèâàåìîãî ïàðàìåòðà ϑ? .Ïðåäëîæåííûé ñïîñîá îïðåäåëåíèÿ ðàíãà R(ϑ) îòëè÷àåòñÿ îò èçëàãàåìîãî â [25] â ñòîðîíó óïðîùåíèÿ. Ïðèâåäåì åãî çäåñü äëÿ ñðàâíåíèÿ,ñôîðìóëèðîâàâ âíà÷àëå îïðåäåëåíèå γ -ïîðÿäêà γ , êîòîðîå èñïîëüçóåòñÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðàíãà.28Î ï ð å ä å ë å í è å 3'.Ïóñòü èìåþòñÿ ÷èñëà 0, .
. . , M − 1, è γ îäíàèç ïåðåñòàíîâîê ýòèõ ÷èñåë,1 âûáðàííàÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì èç ìíîæå-ñòâà âñåõ ïåðåñòàíîâîê ñ âåðîÿòíîñòüþ 1/M ! Òîãäà áèíàðíîå îòíîøåíèå M −1γ -ïîðÿäîê, îáîçíà÷àåìîå ÷åðåç γ , íà êîíå÷íîì íàáîðå âåêòîðîâ Gk 0çàäàåòñÿ ôîðìóëîé:!Gj γ Gi ⇐⇒||Gj || > ||Gi ||!∨||Gj || = ||Gi || ∧ γ(j) > γ(i) .Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî γ áèíàðíîå îòíîøåíèå ñòðîãîãî ïîðÿäêàè ïîçèöèÿ G0 â óïîðÿäî÷åííîì ñïèñêå âû÷èñëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
