Диссертация (1150597), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Ïîäñòàíîâêà ôóíêöèè (3.2)â êðèòåðèé (3.1) ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó óðàâíåíèþ äëÿ âðåìåíè ðàçðó-51øåíèÿ t? :(3.3)α+1 α+1t?t?−1h(t? )− h(t? − τ )= s,ττãäå s = (α + 1)(σc /(k τ˙ ))α áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð, çíà÷åíèå êîòîðîãîçàâèñèò îò ñêîðîñòè íàãðóæàþùåãî âîçäåéñòâèÿ. Âðåìÿ ðàçðóøåíèÿ t?íå ìîæåò áûòü îòðèöàòåëüíûì, ïîýòîìó h(t? ) = 1, ñëåäîâàòåëüíî íóæíîðàññìîòðåòü äâà ñëó÷àÿ, êîãäà t? > τ èëè t? ≤ τ . Èç âûðàæåíèÿ (3.3)ñëåäóåò, ÷òî s = 1 ïðè t? = τ , ïîýòîìó îêîí÷àòåëüíîå óðàâíåíèå äëÿîïðåäåëåíèÿ ìîìåíòà ðàçðóøåíèÿ t? ïðèíèìàåò âèä:((3.4)(t? /τ )α+1 = s,s < 1,(t? /τ )α+1 − (t? /τ − 1)α+1 = s, s ≥ 1.Òàêèì îáðàçîì, ïîäõîä íà îñíîâå èíêóáàöèîííîãî âðåìåíè ïîçâîëÿåò ïðîãíîçèðîâàòü ñêîðîñòíûå çàâèñèìîñòè äèíàìè÷åñêîãî ïîðîãà ðàçðóøåíèÿ σ? ()˙ = k t˙ ? .
 áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ïðè ðàñ÷åòàõ äèíàìè÷åñêîé ïðî÷íîñòè õðóïêèõ ìàòåðèàëîâ, òàêèõ êàê ãîðíûå ïîðîäû, ïàðàìåòð α = 1. Äàëåå êîðíè óðàâíåíèÿ (3.4) ìîãóò áûòü âûðàæåíû â ÿâíîìâèäå â çàâèñèìîñòè îò ôîðìû è êðèòè÷åñêîãî íàïðÿæåíèÿ ðàçðóøåíèÿâ ñëåäóþùåì âèäå:((3.5)σ? ()˙ = ϕ(τ, )˙ =˙ ˙ ≤σc + τ2 k ,√2σc τ k ,˙ ˙ >2σckτ ,2σckτ .Ïðèìåíåíèå êðèòåðèÿ èíêóáàöèîííîãî âðåìåíè ïðîäåìîíñòðèðîâàíîíà ïðèìåðå ýêñïåðèìåíòîâ ïî óäàðíîìó ðàçðóøåíèþ ãðàíèòà è òóôà.Òåîðåòè÷åñêàÿ êðèâàÿ â ñðàâíåíèè ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè òî÷êàìè [75]ïîêàçàíà íà Ðèñ.
3.1 Âåëè÷èíà τ = 79µs (ñïëîøíàÿ ëèíèÿ) ðàññ÷èòûâàåòñÿ ñîãëàñíî ÌÍÊ, è êàê áûëî óêàçàíî âûøå, ýòîò ðåçóëüòàò íå äàåòíèêàêîé èíôîðìàöèè î ïîãðåøíîñòè âû÷èñëåííîãî çíà÷åíèÿ.Äðóãîé ìåòîä ìåòîä ìèíèìàêñà, îöåíèâàþùèé ãðàíèöû èíòåðâàëà ïî êðàéíèì ýêñïåðèìåíòàëüíûì òî÷êàì äàåò î÷åíü øèðîêèé èí521e81.81.6SPS-90%SPS-99.8%LMS τ =8.7µsExp: σc =40.8MPaStrength, Pa1.4Exp: σc =42.5MPa1.21.00.80.60.4-31010-210-101010Strain rate, 1/s1102103Ðèñ.
3.1: Äèíàìè÷åñêîå ðàçðóøåíèå ãðàíèòà [75]. Ñèíèå òî÷êè ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå. Ëèíèè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé òåîðåòè÷åñêèå êðèâûå,ïîñòðîåííûå ïî êðèòåðèþ èíêóáàöèîííîãî âðåìåíè ðàçðóøåíèÿ: êðàñíàÿëèíèÿ ïîñòðîåíà ñ ïîìîùüþ ÌÍÊ; ÷åðíûå ëèíèè ïîñòðîåíû ñ ïîìîùüþìåòîäà min&max robust.òåðâàë äëÿ çíà÷åíèÿ èíêóáàöèîííîãî âðåìåíè τ ∈ [50; 115]µs, è òàêæåíå äàåò íèêàêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ î òîì, áóäóò ëè íîâûå ýêñïåðèìåíòàëüíûå òî÷êè ïîïàäàòü â íàéäåííûé èíòåðâàë. Ñëåäîâàòåëüíî, íåîáõîäèìîèñïîëüçîâàòü äðóãîé ìåòîä îáðàáîòêè äàííûõ, êîòîðûé äàñò íå òîëüêî áîëåå óçêèé èíòåðâàë äëÿ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé τ , íî è ïðåäîñòàâèòèíôîðìàöèþ î ñòåïåíè äîñòîâåðíîñòè ýòîãî èíòåðâàëà.3.3Ïîñòàíîâêà çàäà÷è îöåíèâàíèÿïàðàìåòðà èíêóáàöèîííîãî âðåìåíè ïðèíàáëþäåíèÿõ ñ ïîìåõàìè ðàññìàòðèâàåìûõ äèíàìè÷åñêèõ ýêñïåðèìåíòàõ â êà÷åñòâå óïðàâëÿþùåãî ïàðàìåòðà ìîæíî âûáðàòü ñêîðîñòü äåôîðìàöèè ˙, êîòîðîìóñîîòâåòñòâóåò íàáëþäåíèå σ? íàïðÿæåíèå â ìîìåíò ðàçðóøåíèÿ.
Òîãäàýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùåé ìîäåëè T íàáëþ-53äåíèé ñ ïîìåõàìè:(3.6)σ?t = ϕ(τ, ˙t ) + vt ,t = 1, 2, . . . , T,ãäå vt íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå ïîìåõè (ïîãðåøíîñòü) ñ ñèììåòðè÷íûìðàñïðåäåëåíèåì. Åñëè ñêîðîñòíàÿ çàâèñèìîñòü ïðî÷íîñòè ïîä÷èíÿåòñÿïðèíöèïàì ñòðóêòóðíî-âðåìåííîãî ïîäõîäà, òî ôóíêöèÿ ϕ áóäåò ðàâíà:(3.7)ϕ(τ, ˙t ) = k t˙ ? (τ ),ãäå t? âðåìÿ ðàçðóøåíèÿ, ïðåäñêàçàííîå êðèòåðèåì èíêóáàöèîííîãîâðåìåíè ïîñðåäñòâîì ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (3.4).Óðàâíåíèå (3.7) ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü íàïðÿæåíèå â ìîìåíò ðàçðóøåíèÿ ïðè ðàçëè÷íûõ τ . Òîãäà ñ ïîìîùüþ ÌÍÊ ìîæíî îïðåäåëèòü îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå èíêóáàöèîííîãî âðåìåíè, äëÿ êîòîðîãî ñëåäóþùàÿñóììà ïðèíèìàåò ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå:TX(3.8)(ϕ(τ, ˙t ) − σ?t )2 → min .τt=1Îäíàêî áåç ñóùåñòâåííûõ îãðàíè÷åíèé äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ïîìåõ vt íå ïîëó÷èòü äîñòàòî÷íî õîðîøèé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ íåèçâåñòíîãîτ ïðè ìàëîì êîëè÷åñòâå èñïûòàíèé T .Îñíîâíàÿ çàäà÷à: ïîñòðîèòü äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû äëÿ íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà τ ñ çàäàííîé äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ äëÿ êîíå÷íîãî, è ñêîðåå âñåãî, ìàëîãî êîëè÷åñòâà ýêñïåðèìåíòàëüíûõ òî÷åê.
Ýòè äî-âåðèòåëüíûå èíòåðâàëû äîëæíû îïðåäåëÿòüñÿ äëÿ íàáëþäàåìûõ çíà÷åíèé {σ?t }t=1 â çàâèñèìîñòè îò çàäàâàåìûõ äåéñòâóþùèõ ôàêòîðîâ {˙t }t=1 ,TTêîòîðûå òàêæå ìîãóò áûòü âûáðàíû. Ïîñòðîåííûå èíòåðâàëû èìåþò êâàçèñâîáîäíûå ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîñêîëüêó äåëàåòñÿ òîëüêî äâà âïîëíå îáîñíîâàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿ î ðàñïðåäåëåíèè ñëó÷àéíûõ ïîìåõ: îíè ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè, è èõ ðàñïðåäåëåíèå îáëà54äàåò ñâîéñòâîì ñèììåòðèè. Íàëè÷èå ñòîëü ñëàáûõ îãðàíè÷åíèé î÷åíüâàæíî, ïîñêîëüêó íà ïðàêòèêå çíàíèÿ î âåðîÿòíîñòíîì ðàñïðåäåëåíèèïîìåõ îãðàíè÷åíû.3.4Âû÷èñëåíèå äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâñ ïîìîùüþ îáîáùåííîãî ìåòîäà SPSÄëÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà íàáëþäåíèé ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùóþïðîöåäóðó, êîòîðàÿ àíàëîãè÷íà îáîáùåííîé SPS-ïðîöåäóðå èç Ãëàâû 2.Ñîãëàñíî ÌÍÊ ìèíèìóì ôóíêöèîíàëà (3.8) áóäåò äîñòèãàòüñÿ äëÿ îïòèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ èíêóáàöèîííîãî âðåìåíè, ÿâëÿþùåãî ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ:(3.9)H0 (τ ) =TX(σ?t − ϕ(τ, ˙t ))t=1dϕ(τ, ˙t )= 0,dτãäådϕ(τ, )˙=dτ(3.10)(1˙2 k ,√√1σc k ,˙2τ˙ ≤˙ >2σckτ ,2σckτ .Ïðè ìèíèìàëüíûõ ïðåäâàðèòåëüíûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ çíàíèÿõ î ïîìåõàõìàêñèìàëüíî èñïîëüçóåòñÿ èíôîðìàöèÿ î äàííûõ.
Îñíîâíûì ïðåäïîëîæåíèåì ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîå îòíîñèòåëüíî íóëÿ âåðîÿòíîñòíîå ðàñïðåäåëåíèå ïîìåõ.Âûáåðåì M > 0 è ñãåíåðèðóåì M −1×T ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí βti = ±1ñ âåðîÿòíîñòüþ 1/2. Îïðåäåëèì ñ èõ ïîìîùüþ M −1 çíàêî-âîçìóùåííûõñóìì ñëåäóþùåãî âèäà:(3.11)Hi (τ ) =TXβit (σ?t − ϕ(τ, ˙t ))t=1dϕ(τ, ˙t ), i = 1, 2, .
. . , M − 1.dτÏóñòü τ ? ÿâëÿåòñÿ íîìèíàëüíûì çíà÷åíèåì èíêóáàöèîííîãî âðåìå55íè τ , ò.å èñòèííûì çíà÷åíèåì ïàðàìåòðà, êîòîðîå ñóùåñòâóåò â ïðèðîäå,åñëè áû íå áûëî ñëó÷àéíûõ ïîìåõ. Òîãäà H0 (τ ? ) è Hi (τ ? ) èìåþò îäèíàêîâîå ðàñïðåäåëåíèå, â ñèëó ñäåëàííîãî ïðåäïîëîæåíèÿ î íåçàâèñèìîñòèè ñèììåòðèè ñëó÷àéíûõ âîçìóùåíèé vt , òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå ñîãëàñíî (3.6) vt = σ?t − ϕ(τ ? , ˙t ). Ñëåäîâàòåëüíî, íåò îñíîâàíèé, ïî êîòîðûìêîíêðåòíîå |Hi (τ ? )| äîëæíî áûòü áîëüøå èëè ìåíüøå äðóãîãî |Hi0 (τ ? )|,è âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî êîíêðåòíûé |Hi (τ ? )| åñòü m-ûé íàèáîëüøèé èçM −1|Hi (τ ? )| i=0 áóäåò îäèíàêîâîé äëÿ âñåõi, â òîì ÷èñëå i = 0 (ñëó÷àé, êîãäà íåò ìíîæèòåëÿ βti ), è ýòà âåðîÿòíîñòüðàâíà 1/M .óïîðÿäî÷åííîé ñîâîêóïíîñòè×àñòü 1. Èíèöèàëèçàöèÿ:Øàã 1.Âûáðàòü ðàöèîíàëüíóþ äîâåðèòåëüíóþ âåðîÿòíîñòü p = q/M ,ãäå q , M íàòóðàëüíûå ÷èñëà: M > q > 0.Øàã 2.Ñãåíåðèðîâàòü (M − 1)T îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ íåçàâèñè-ìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí βi,t :Prob{βi,t = 1} = Prob{βi,t = −1} = 1/2 äëÿ t = 1, 2, .
. . , T èi = 1, 2, . . . , M − 1.b := {τ ∈ RSPS_indicator(τ ) = 1}.Øàã 3. Îïðåäåëèòü èíòåðâàë TÏðîöåäóðà:SPS_indicator(τ )1) Äëÿ çàäàííîãî τ âû÷èñëèòü ðàçíèöó ìåæäó ïðåäñêàçàííûì è íàáëþäàåìûì â ýêñïåðèìåíòå çíà÷åíèåì δt (τ ) = σ?t − ϕ(τ, ˙t ), t = 1, 2, . . . , T .2) Âû÷èñëèòü:(3.12)(3.13)H0 (τ ) =Hi (τ ) =TXt=1TXt=1δt (τ )dϕ(τ, ˙t ),dτβti δt (τ )dϕ(τ, ˙t ),dτi = 1, 2, . . . , M − 1.3) Óïîðÿäî÷èòü íàáîð ñêàëÿðíûõ âåëè÷èí |Hi (τ )| îò íàèìåíüøåãî äîíàèáîëüøåãî.56Äëÿ òîãî ÷òîáû îïðåäåëèòü áîëüøåå çíà÷åíèå äëÿ |Hj (ϑ)| è |Hi (ϑ)|ïðè èõ ðàâåíñòâå, èñïîëüçóåòñÿ âûøåóïîìÿíóòîå áèíàðíîå îòíîøåíèåγ -ïîðÿäîê γ (ñì. Îïðåäåëåíèå 3' íà ñ. 29).4) Âû÷èñëèòü ðàíã R(τ ) äëÿ |H0 (τ )| â óïîðÿäî÷åííîé ñîâîêóïíîñòèM −1|Hi (τ )| i=0 , ãäå R(τ ) = 1, åñëè |H0 (τ )| íàèìåíüøåå; R(τ ) = 2, åñëè|H0 (τ )| ÿâëÿåòñÿ âòîðûì íàèìåíüøèì è ò.ä.5) Åñëè R(τ ) ≤ M −q , òî ïðèñâîèòü ïðîöåäóðåSPS_indicator(τ ) çíà÷åíèå1, èíà÷å ïðèñâîèòü çíà÷åíèå 0.Çàìåòèì, ÷òî çíà÷åíèå èíêóáàöèîííîãî âðåìåíè τ̂ , ïîëó÷åííîå ñîãëàñíî ÌÍÊ, ïî îïðåäåëåíèþ ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ H0 (τ̂ ) = 0,ïîýòîìó ýòà îöåíêà áóäåò âêëþ÷åíà â äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë, ïîëó÷åííûé ñîãëàñíî SPS-ïðîöåäóðå, ò.
å. τ̂ ∈ Tb .Îñíîâíàÿ Òåîðåìà 2.1 äëÿ îáùåãî ìíîãîìåðíîãî ñëó÷àÿ ïîçâîëÿåòñôîðìóëèðîâàòü êàê ñëåäñòâèå ñëåäóþùóþ òåîðåìó.Ò å î ð å ì à3.1.Åñëè ïîìåõè vt ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè ñëó÷àé-íûìè âåëè÷èíàìè, îáëàäàþùèìè ñâîéñòâîì ñèììåòðèè, à ìîäåëüíàÿôóíêöèÿ ϕ(·, ·) ïîñòðîåíà ñîãëàñíî ïðèíöèïàì ñòðóêòóðíî-âðåìåííîãîïîäõîäà, òî äëÿ èñòèííîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà τ ?Prob{τ ? ∈ Tb } = 1 − q/M,ãäå M , q , Tb èç Øàãîâ 1 3 îïèñàííîãî âûøå ìåòîäà SPS, è ýòî ìíîæåñòâî áóäåò îãðàíè÷åííûì.Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîé òåîðåìû íåîáõîäèìî ïîêàçàòü, ÷òî ìîäåëüíàÿ ôóíêöèÿ, îïèñûâàþùàÿ ñêîðîñòíóþ çàâèñèìîñòüïðî÷íîñòè, ϕ(·, ·) óäîâëåòâîðÿåò Ïðåäïîëîæåíèÿì 24. Êàê âèäíî èç ñëåäóþùåãî âûðàæåíèÿ:dϕ(τ, )˙=dτ(1˙2 k ,√√1σc k ,˙2τ57˙ ≤˙ >2σckτ ,2σckτ .ïðîèçâîäíàÿ ϕ(,˙ τ ) ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé âî âñåõ òî÷êàõ ˙ > 0. Óñëîâèÿ ïîëîæèòåëüíîñòè ïàðàìåòðîâ ˙ > 0, τ > 0, k > 0, σc > 0 ñëåäóþò èçôèçè÷åñêîãî ñìûñëà çàäà÷è, ïîñêîëüêó çíà÷åíèÿ ñêîðîñòè íàãðóæåíèÿè ïàðàìåòðîâ, îïèñûâàþùèõ ìåõàíè÷åñêèõ ñâîéñòâ ìàòåðèàëà íå ìîãóòáûòü îòðèöàòåëüíûìè èëè ðàâíûìè íóëþ.
Áîëåå òîãî, íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî:dϕ(τ, )˙−−−→ 0τ →∞dτèdϕ(τ, )˙k ˙−−→τ →0 2dτÒàêèì îáðàçîì, ϕ0τ (˙t , τ ) ïîëîæèòåëüíàÿ ìîíîòîííî óáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ, è ñëåäîâàòåëüíî íàéäóòñÿ Mj > 0 è µj > 0, òàêèå ÷òî:µj ≤ ϕ0τ (˙t , τ )ϕ0τ (˙t , τ 0 ) ≤ Mj .Âûïîëíåííàÿ îöåíêà ïîçâîëÿåò ïîêàçàòü, ÷òî Ïðåäïîëîæåíèå 2 âûïîëíÿåòñÿ, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå ìàòðèöà RT (τ ) ñòàíîâèòñÿ ïîëîæèòåëüíûì÷èñëîì:T1Xϕ0τ (˙t , τ )ϕ0τ (˙t , τ 0 ) > 0RT (τ ) =T t=1Òàêæå ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî â îäíîìåðíîì ñëó÷àå RT (τ ) = R̄T (τ ) è â ñèëóîãðàíè÷åííîñòè ïðîèçâîäíîé ∃M > 0 : R̄T (τ ) ≤ M .¯ j èç Ïðåäïîëîæåíèÿ 3 áóäåò âûãëÿäåòü ñëåäóþùèì îáðàÃðàäèåíò ∇çîì:¯ j = ϕ0τ (˙t , τ ) ϕτ (˙t , τ ? ) − ϕτ (˙t , τ ) =∇ϕ0τ (˙t , τ )ϕ0τ (˙t , τ 0 )(τ ? − τ )Ñäåëàííûå âûøå îöåíêè ïîçâîëÿþò ïîêàçàòü, ÷òî:¯ j | ≤ Mj |τ ? − τ |.|∇Ñëåäîâàòåëüíî, Ïðåäïîëîæåíèå 3 òîæå âûïîëíåíî. Ñòîèò îòìåòèòü, ÷òîçíà÷åíèå ïàðàìåòðà α = 1 ñîâïàäàåò äëÿ óñëîâèÿ Ãåëüäåðà è äëÿ ðàñ581e74.0Strength, Pa3.5SPS-80%SPS-95%LMSExp data3.02.52.01.51.010-2-101010Strain rate, 1/s101Ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
