Диссертация (1150597), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Ìîæíîïîêàçàòü, ÷òî ïðè ||G0 || = ||Gs ||, s ∈ S ∈ {1, . . . , M − 1} è |S| > 0,ðàñïðåäåëåíèå ïîçèöèè G0 ìåæäó Gs , s ∈ S ðàâíîâåðîÿòíî.  [25] ïðåäëàãàåòñÿ óïîðÿäî÷èòü H0 , . . . , HM −1 èç (2.7)(2.8) ñ ïîìîùüþ γ -ïîðÿäêà γ . Íîìåð ïîçèöèè H0 â ýòîì óïîðÿäî÷åííîì ñïèñêå íàçûâàåòñÿ ðàíãîìR(ϑ).Áèíàðíîå îòíîøåíèå ïîðÿäêà γ ââîäèòñÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû îïðåäåëèòü áîëüøåå çíà÷åíèå äëÿ kHj (ϑ)k è kHi (ϑ)k ïðè èõ ðàâåíñòâå.2.3Ìåòîä çíàêî-âîçìóùåííûõ ñóììÌåòîä SPS ñîñòîèò èç äâóõ ÷àñòåé.
 ïåðâîé ÷àñòè, íàçûâàåìîé èíèöèëèçàöèåé, ïîëüçîâàòåëü âûáèðàåò íåîáõîäèìûé óðîâåíü äîñòîâåðíîñòè p, ñîãëàñíî êîòîðîìó çàäàåò â ìåòîäå SPS çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ q èM . Âî âòîðîé ÷àñòè ôîðìèðóþòñÿ äîâåðèòåëüíûå ìíîæåñòâà ñ ïîìîùüþôóíêöèè SPS_indicator(ϑ), êîòîðàÿ èñïîëüçóåò ââåäåííûå ðàíåå ïîíÿòèåðàíãà R(θ).×àñòü 1. Èíèöèàëèçàöèÿ:Øàã 1.Âûáðàòü ðàöèîíàëüíóþ äîâåðèòåëüíóþ âåðîÿòíîñòü p = q/M ,ãäå q , M íàòóðàëüíûå ÷èñëà: M > q > 0.1γ áèåêöèÿ ìíîæåñòâà (0, .
. . , M − 1) íà ñåáÿ.29Øàã 2.Ñãåíåðèðîâàòü (M − 1)T îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ íåçàâèñè-ìûõ áåðíóëëèåâñêèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí βi,t = ±1:Prob{βi,t = 1} = Prob{βi,t = −1} = 1/2 äëÿ t = 1, 2, . . . , T èi = 1, 2, . . . , M − 1.b := {ϑ ∈ Rd SPS_indicator(ϑ) = 1}.Øàã 3. Óñòàíîâèòü ΘT×àñòü 2. Ïðîöåäóðà:SPS_indicator(ϑ)1) Äëÿ çàäàííîãî ϑ âû÷èñëèòü ðàçíèöó ìåæäó ïðåäñêàçàííûì è íàáëþäàåìûì â ýêñïåðèìåíòå çíà÷åíèåì δt (ϑ) = yt − f (ut , ϑ), t = 1, 2, . . . , T .2) Âû÷èñëèòü:T1X∇ϑ f (ut , ϑ)∇ϑ f (ut , ϑ0 ) .R (ϑ) =T t=1(2.11)TTÏðîèçâåñòè ôàêòîðèçàöèþ:TR (ϑ)R (ϑ) = R̄ (ϑ)R̄ (ϑ).TTTTÂû÷èñëèòü:(2.12)−1/2H0 (ϑ) = R̄ (ϑ)TXT∇ϑ f (ut , ϑ)δt (ϑ),t=1(2.13)−1/2Hi (ϑ) = R̄ (ϑ)TXTβi,t ∇ϑ f (ut , ϑ)δt (ϑ), i = 1, 2, .
. . , M − 1.t=13) Âû÷èñëèòü ðàíã R(ϑ) äëÿ kH0 (ϑ)k.4) Åñëè R(ϑ) ≤ M −q , òî ïðèñâîèòü ïðîöåäóðåSPS_indicator(ϑ) çíà÷åíèå1, èíà÷å ïðèñâîèòü çíà÷åíèå 0.b òðåáóåìîå äîâåðèòåëüíîå ìíîæåñòâî.Äàëåå áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî ΘT302.4Ñâîéñòâà äîâåðèòåëüíîãî ìíîæåñòâàÂûøåèçëîæåííûå ðàññóæäåíèÿ ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû ïðè ôîðìóëèðîâêå è äîêàçàòåëüñòâå ñëåäóþùåé òåîðåìû.Ò å î ð å ì à 2.1. Åñëèâûïîëíåíû Ïðåäïîëîæåíèÿ 14,òîb T } = 1 − q/M,Prob{ϑ? ∈ Θb T èç Øàãîâ 13 îïèñàííîãî âûøå ìåòîäà SPS, è ìíîæåñòâîãäå M , q , Θb T îãðàíè÷åíî.ΘÄîêàçàòåëüñòâî. Ýòà òåîðåìà äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî ñîîòâåòñòâóþùåé òåîðåìå äëÿ ëèíåéíîé ðåãðåññèîííîé ìîäåëè èç [25].Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà áóäóò íåîáõîäèìû ñëåäóþùèå âñïîìîãàòåëüíûåËåììû 13.Ë å ì ì à 1.Ïóñòü {vt }t=1 íåçàâèñèìûå ñèììåòðè÷íî ðàñïðåäåTëåííûå îòíîñèòåëüíî íóëÿ ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; âåêòîðíàÿ ñëó÷àéíàÿâåëè÷èíà β = (β1 .
. . β ) èìååò êîìïîíåíòàìè ±1 ñ âåðîÿòíîñòüþTT1/2, íåçàâèñèìûå ñ íàáîðîì {vt }t=1 è äðóã ñ äðóãîì; c1 , . . . , c íàáîðPPñêàëÿðíûõ êîíñòàíò. Òîãäà ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Tt=1 ct vt è Tt=1 βt ct vtèìåþò îäèíàêîâîå ðàñïðåäåëåíèå. Êðîìå òîãî, åñëè âåêòîðíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà γ íåçàâèñèìà ñ β è vt è ðàñïðåäåëåíà òàêæå, êàê β , òîPTPTPTñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíàγcvíåçàâèñèìàñcvèttttti=tt=1t=1 βt ct vt èðàñïðåäåëåíà òàêæå, êàê è îíè.TTÄîêàçàòåëüñòâî.
Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè a è b ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ ±1 ñâåðîÿòíîñòüþ 1/2, òî è ab òàêæå áóäóò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ ±1 ñ âåðîÿòíîñòüþ 1/2. Íåñëîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â ïðåäïîëîæåíèÿõ Ëåììû 1íàáîð ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí v1 , . . . , v â ñèëó ñèììåòðè÷íîñòè èõ ðàñïðåäåTëåíèÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèé íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõâåëè÷èí α1 w1 , . . . , α w , ãäå α1 , .
. . , α ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ ±1 ñ âåðîTTTÿòíîñòüþ 1/2, à íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû wt èìåþò òàêîå æå31ðàñïðåäåëåíèå, êàê è |vt |, t = 1, . . . , T . Ïîýòîìó, åñëè β1 , . . . , β ïðèíèTìàþò çíà÷åíèÿ ±1 ñ âåðîÿòíîñòüþ 1/2, íåçàâèñèìûå äðóã ñ äðóãîì è ñα1 , . . . , α , òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà βi αi wi èìååò òàêîå æå ðàñïðåäåëåíèå,êàê vt , è îíà íåçàâèñèìà ñî ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé βj αj wj , åñëè it = j .È ñîãëàñíî óñëîâèþ Ëåììû 1 vi , vj òîæå íåçàâèñèìû. Ñëåäîâàòåëüíî,PTPTPTcvèìååòòîæåðàñïðåäåëåíèå,÷òîèβcαw=ttttttt=1t=1t=1 βt ct vt ,÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.TË å ì ì à 2.Åñëè Z1 , . . . , Zk âåùåñòâåííûå íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûåâåëè÷èíû, èìåþùèå îäèíàêîâîå ðàñïðåäåëåíèå, òîãäà îíè ìîãóò áûòüðàâíîìåðíî óïîðÿäî÷åíû ñîãëàñíî γ -ïîðÿäêó γ .Äîêàçàòåëüñòâî. Âñåãî ìîæåò áûòü k! ðàçëè÷íûõ ñïîñîáîâ óïîðÿäî÷èòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû {Zi }ki=1 .
Ïîêàæåì, ÷òî ëþáûå ðàññòàíîâêèZik γ . . . γ Zi1 ñîãëàñíî γ -ïîðÿäêó γ áóäóò ðàâíîâåðîÿòíû.  çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà ϑ γ -ïîðÿäîê îáåñïå÷èâàåò åäèíñòâåííóþ ðàññòàíîâêó äëÿ Z1 (ϑ), . . . , Zk (ϑ). Äîêàæåì îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòüèìååòñÿ äâå ðàññòàíîâêè Zik γ . . . γ Zi1 è Zjk γ . . . γ Zj1 ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè âåðîÿòíîñòÿìè pi è pj .
Ââåäåì íîâûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû:Zi0k 1 = Zj1 , . . . , Zi0k = Zjk . Òîãäà ðàññòàíîâêà Zi0k γ . . . γ Zi01 áóäåò èìåòüòàêóþ æå âåðîÿòíîñòü ðåàëèçàöèè pj , ÷òî è Zjk γ . . . γ Zj1 , ïîñêîëüêó â ñèëó ðàâåíñòâà èíäåêñîâ γ(ik ) = γ(jk ) è ñîîòâåòñòâóþùèå âåëè÷èíûZi0k = Zjk ) ðàâíû. Áîëåå òîãî, {Zi0 }ki=1 èìåþò òàêîå æå âåðîÿòíîñòíîå ðàñïðåäåëåíèå, ÷òî è {Zj }kj=1 . Ñëåäîâàòåëüíî, ðàññòàíîâêà Zi0k γ . . . γ Zi01èìååò òàêóþ æå âåðîÿòíîñòü ðåàëèçàöèè pi , ÷òî è Zik γ . .
. γ Zi1 .Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì pi = pj .Ë å ì ì à 3.Ïóñòü X è Y äâà íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåêòîðàèç Rd è Rk ñîîòâåòñòâåííî; g : Rd × Rk → R èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ;A ⊆ R èçìåðèìîå ìíîæåñòâî. Òîãäà (∀x ∈ Rd )P g(x, Y ) ∈A =⇒ P g(X, Y ) ∈ A = p.32Äîêàçàòåëüñòâî. Ñëåäóÿ [25] ââåäåì ôóíêöèþ IA ñëåäóþùèì îáðàçîì:(IA (x, y) :=êîòîðàÿÿâëÿåòñÿ1,0,èíäèêàòîðíîég(x, y) ∈ A,g(x, y) ∈/ A,ôóíêöèåéäëÿñîáûòèÿg(X, Y ) ∈ A.
Òåïåðü îïðåäåëèì ôóíêöèþ iA (x) := E IA (x, Y ) , ãäåx ∈ Rd ÿâëÿåòñÿ êîíñòàíòîé, ñëåäîâàòåëüíî, iA (x) - ýòî ÷èñëî (íå ñëó÷àéíîå). Äëÿ âñåõ x ∈ Rd èìååì: iA (x) = P g(X, Y ) ∈ A = p. Òîãäà,ïðèìåíÿÿ ñâîéñòâà óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, ïîëó÷èì: P g(X, Y ) ∈ A = E IA (X, Y ) = E E IA (x, Y ) | X = = E iA (X) = E p ,÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó Òåîðåìû 1.Ðàíåå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ èñòèííûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà ϑ? çíàêîâîçìóùåííûå ñóììû ïðèíèìàþò âèä (2.9)(2.10). Ñîãëàñíî Ëåììå 1 âåëè÷èíû kH0 (ϑ? )k è kHi (ϑ? )k èìåþò îäèíàêîâîå ðàñïðåäåëåíèå.
Ñëåäîâàòåëüíî, íåêîòîðîå kHj (ϑ? )k ðàâíîâåðîÿòíî ìîæåò çàíèìàòü ëþáóþ ïî−1çèöèþ â óïîðÿäî÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {kHi (ϑ? )k}Mi=0 , âêëþ÷àÿj = 0. Ïîñêîëüêó j ìîæåò ïðèíèìàòü M ðàçíûõ çíà÷åíèé, ýòà âåðîÿòíîñòü â òî÷íîñòè ðàâíà 1/M .Ñëåäîâàòåëüíî, kH0 (ϑ? )k ìîæåò çàíèìàòü â óïîðÿäî÷èâàíèè ëþáûåçàäàííûå M − q ïîçèöèé, â òîì ÷èñëå è ïåðâûå M − q ïîçèöèé ñ âåðîÿòíîñòüþ p = M − q/M = 1 − q/M .Ïóñòü òåïåðü çíà÷åíèÿ ϑ îòëè÷íû îò èñòèííûõ ϑ? . Òîãäà èññëåäóåìûåñóììû áóäóò âûãëÿäåòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:−1/2Hi (ϑ) = R̄ (ϑ)T1 X∇ϑ f (ut , ϑ) f (ut , ϑ? ) − f (ut , ϑ) −Tt∈D033−1/2−2R̄ (ϑ)T1 X∇ϑ f ut , ϑ)(f (ut , ϑ? ) − f (ut , ϑ) +Tt∈D0 \Di+R̄ (ϑ)−1/2T1 Xβi,t ∇ϑ f (ut , ϑ)vt ,Ti = 1, . .
. , M − 1.t∈D0 ÷àñòíîì ñëó÷àå äëÿ i = 0:H0 (ϑ) = R̄ (ϑ)−1/2T1 X∇ϑ f (ut , ϑ) f (ut , ϑ? ) − f (ut , ϑ) +Tt∈D0+R̄ (ϑ)−1/2T1 X∇ϑ f (ut , ϑ)vt .Tt∈D0Äëÿ óäîáñòâà ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âåêòîðíûõ ñëàãàåìûõ â ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâàõ:A := R̄ (ϑ)−1/2T1 X∇ϑ f (ut , ϑ) f (ut , ϑ? ) − f (ut , ϑ) ,Tt∈D0(2.14)(−):= R̄ (ϑ)−1/2BiT1 X∇ϑ f (ut , ϑ) f (ut , ϑ? ) − f (ut , ϑ) ,Tt∈D0 \Di(2.15)(+)Bi:= R̄ (ϑ)−1/2T1X∇ϑ f (ut , ϑ) f (ut , ϑ? ) − f (ut , ϑ) ,Tt∈DiCi := R̄ (ϑ)−1/2T1 Xβi,t ∇ϑ f (ut , ϑ)vt .Tt∈D0 íîâûõ îáîçíà÷åíèÿõ âûðàæåíèÿõ H0 (ϑ) è Hi (ϑ) áóäóò âûãëÿäåòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:H0 (ϑ) = A + C0 ,(−)Hi (ϑ) = A − 2Bi(+)òàê êàê A = Bi(−)+ Bi .34+ Ci ,Ñðàâíèì êâàäðàòû íîðì H0 (ϑ) è Hi (ϑ).
Äëÿ íîðìû H0 (ϑ) èìååì:kH0 (ϑ)k2 = kAk2 + 2AT C0 + kC0 k2 =(2.16)2= kAk +(+)T2Bi C0+(−)T2Bi C02+ kC0 k,Äëÿ íîðìû Hi (ϑ) âûâîäèì:(−)kHi (ϑ)k2 = kAk2 − 4AT Bi +(−)T+4Bi(−)(−)T+ 2AT Ci − 4BiBi(+)T= kAk2 − 4(Bi(+)T(2.17)(−)T+2(Bi+ Bi2(+)T (−)4Bi Bi= kAk −(−)T+ Bi(−))Bi(−)T+ 4Bi(−)T)Ci − 4Bi+Ci + kCi k2 =(+)T2Bi Ci(−)Bi +Ci + kCi k2 =−(−)T2Bi Ci2+ kCi k.Ïîêàæåì, ÷òî ïðè óäàëåíèè îò âåêòîðà ϑ îò âåêòîðà èñòèííûõ ïàðàìåòðîâ ϑ? kH0 (ϑ)k2 áóäåò ïðåâîñõîäèòü âñå kHi (ϑ)k2 .Ïåðâûå ñëàãàåìûå â ôîðìóëàõ (2.16) è (2.17) ñîâïàäàþò.Âûïîëíåíèå Ïðåäïîëîæåíèÿ 4 ïîçâîëÿåò îöåíèòü âòîðîå ñëàãàåìîå âïîñëåäíåé ôîðìóëå (2.17). Ñîãëàñíî îáîçíà÷åíèÿì (2.14) è (2.15) ýòî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ãðàäèåíòîâ èññëåäóåìîé ôóíêöèè èìååòâèä:(+)T (−)Bi Bih= R̄− 12Ti T1X?∇ϑ f (ut , ϑ) f (ut , ϑ ) − f (ut , ϑ) ×Tt∈Di×R̄− 12T1 X∇ϑ f (ut , ϑ) f (ut , ϑ? ) − f (ut , ϑ) =Tt∈D0 \Di1 X X ¯ T −1 ¯= 2∇j R̄ ∇k .TTj∈Di k∈D0 \Di35Ïðè äîñòàòî÷íî äàëåêèõ ϑ îò ϑ? â ñèëó Ïðåäïîëîæåíèÿ 4 èìååì:−1 ¯?β¯T∇j R̄ ∇k ≥ µkϑ − ϑk .TÑëåäîâàòåëüíî, âåðíà ñëåäóþùàÿ îöåíêà:(+)T (−)4Bi Bi(2.18)|Di | |Di |µkϑ? − ϑkβ > 0.≥4 1−TT ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ î ñèììåòðè÷íîñòè ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíûõïîìåõ vt ñ ïîìîùüþ Ëåìì 13 íå ñëîæíî ïîëó÷èòü, ÷òî ïàðû ñëó÷àéíûõ(+)Tâåëè÷èí 2Bi(+)T(−)T(−)TC0 è 2Bi Ci , 2Bi C0 è 2Bi Ci , kC0 k2 è kCi k2èìåþò îäèíàêîâîå ðàñïðåäåëåíèå.
Ñëåäîâàòåëüíî, âûðàæåíèÿ ñãðóïïèðîâàííûå â ñêîáêàõ â (2.16) è â (2.17) èìåþò îäèíàêîâûå ðàñïðåäåëåíèÿ.Íî äëÿ äîêàçàòåëüñòâà Òåîðåìû 1 âàæíî, ÷òî â ñèëó Ïðåäïîëîæåíèÿ3 îíè ðàâíîìåðíî îöåíèâàåòñÿ ñâåðõó íåêîòîðîé êîíñòàíòîé, óìíîæåííîé íà kϑ? − ϑkα . Ýòà îöåíêà ïðè óäàëåíèè ϑ îò ϑ? îáÿçàòåëüíî ñòàíåòìåíüøå îöåíêè â (2.18), òàê êàê β > α. Îòñþäà èç-çà ðàâåíñòâà ïåðâûõ ñëàãàåìûõ â (2.16) è (2.17) çàêëþ÷àåì äîìèíèðîâàíèå kH0 (ϑ)k2 íàäâñåìè kHi (ϑ)k2 ïðè óäàëåíèè ϑ îò ϑ? .Ïîñëå ôèêñàöèè ðåàëèçàöèé {|vt |}, êîòîðûå îáîçíà÷èì ÷åðåç {wi },çàäàäèì âåùåñòâåííûå ïåðåìåííûå {Zi } ñëåäóþùèì îáðàçîì:Zi := kH(βi,1 w1 , .
. . , βi,n wn )k.ßñíî, ÷òî åñëè òàêàÿ æå ôóíêöèÿ ïðèìåíÿåòñÿ ê êàæäîìó ýëåìåíòó âûáîðêè íåçàâèñèìûõ è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, òî â ðåçóëüòàòå áóäóò òîæå íåçàâèñèìûå è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Ñëåäîâàòåëüíî, {Zi } íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Ïîýòîìó ìîæíî ïðèìåíèòüËåììó 2 äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîêàçàòü, ÷òî {Zi } äåéñòâèòåëüíî ðàâíîìåðíîóïîðÿäî÷åíû ñîãëàñíî ââåäåííîìó ðàíåå áèíàðíîìó îòíîøåíèþ ïîðÿäêà γ .36Ê ýòîìó ìîìåíòó òåîðåìà äîêàçàíà â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî àáñîëþòíûå çíà÷åíèÿ ïîìåõ ïîñòîÿííû, à èìåííî, ñâîéñòâî îäíîðîäíîãî óïîðÿäî÷åíèÿ áûëî äîñòèãíóòî ñ ïîìîùüþ ôèêñàöèè ðåàëèçàöèè {|vt |}. Îäíàêî,ïîëó÷åííûå âåðîÿòíîñòè íåçàâèñèìû ñ ÷àñòíîé ðåàëèçàöèåé ïîìåõ {|vt |},ñëåäîâàòåëüíî, ìîæåò áûòü ïðèìåíåíà Ëåììà 3 äëÿ îñëàáëåíèÿ ôèêñàöèè ðåàëèçàöèè (ò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
