Диссертация (1150474), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Для описания напряженно-деформированного состояния используются уравнения(3.3). Предполагается, что деформация не зависит от угловой координаты. Связь между длинойдуги и угловой координатой выражается таким образом:00 00s  R  , где 0    2 .57В деформированном состоянии длина дуги и радиус связаны соотношением s  R , и,0соответственно, кратность изменения радиуса   R R , тогда точки деформированногоцилиндра лежат на дуге окружности радиуса R . С учетом этого уравнения движения будутиметь вид:11111 2 xT10202qR 1 2 zT10202qR 1 z00 0  h x,0R 1 x00 0  h z,0R Из этих двух уравнений следует уравнение для относительного изменения радиусацилиндрической оболочки:000q  T R  R  h или:02 hq Параметр0nR  n   n   R  h .00 не зависит от s и является функцией времени, соответственно, T  T  t  .

Есливвести величины0QтополучимбезразмерноеqR0h,  t402R ,дифференциальное уравнение,описывающеединамическоеповедение цилиндрической оболочки:12 1 n n   Q     4n(3.20)С начальными условиями  0  1,   0  0.При решении дифференциального уравнения (3.20) будем рассматривать такой вариантнагружения цилиндрической оболочки, как мгновенный наброс давления: Q  q  const .В этом случае дифференциальное уравнение (3.20) может быть решено аналитически.После умножения уравнения (3.20) на и последующего интегрирования получаем уравнениедля скорости относительного изменения радиуса цилиндра:581 12 2   Q   2  1  2   n    n  2 2 2nОткуда получаем квадратуруdC ,12 n2nQ    1  2      2 2nt  21которая имеет особенность в точке  1 .

В окрестности этой точки знаменательподынтегрального выражения с точностью до величин второго порядка малости ведет себя какQ    1 , соответственно, интеграл будет сходиться.Для неогуковского материала это дифференциальное уравнение принимает следующий вид:2 1 1  2  1 1  1  Q   2   0.4 2Из условия равенства нулю производной  находим два корня 1  1, 2  1 1  Q и областьотносительного изменения радиуса цилиндра 1    1 1  Q . Если ввести новую величинуa  1 1  Q , то можно записать, что1 1 11 1  2  1  2  a  22 4a 4 a 2 222 1  a 2  2  1  a2   2    . 2   2   (3.21)Решение этого уравнения будем искать в виде:2 1  a21  a2sin   t   c  .22После преобразований получим  2  12 , откуда   t .

Вернемся к выражению (3.21)a2 a1  a2 1  a2tsin   c 22a Константу с найдем, воспользовавшись начальным условием: c   . Таким образом, после2преобразований получаем уравнение для2 2 :2QQcos t 1  Q .2 1  Q  2 1  Q Из этого равенства видно, что для неогуковского материала значение одной только нагрузкипозволяет определить амплитуду и частоту относительного изменения радиуса цилиндра.Колебания возможны при Q  1, при значениях Q  1 будет неограниченно возрастающей59функцией во времени. Для неогуковского потенциала точка Q  1 соответствует точкемаксимума статической зависимости «нагрузка - деформация».§ 3.6 Круглая плоская мембрана при больших деформацияхВ параграфе в рамках нелинейной теории тонких оболочек решается задача о растяжениив плоскости круглой мембраны из изотропного упругого несжимаемого материала.

Решениепредставлено в квадратурах. Для случая потенциала Черныха получено аналитическое решение.Показано, что решение может иметь особенность при конечных поперечных размерахдеформированной мембраны.Пусть круглая мембрана внешнего радиуса r2 и с радиусом внутреннего отверстия r1растягивается в плоскости равномерной нагрузкой, приложенной по ее внешнему контуру. Дляслучая осесимметричной деформации уравнения равновесия имеют вид [10, 34, 39, 77]0rdT10 T1  T2  0 ,(3.22)drа уравнение, связывающее кратности удлинения0rdr101 и 2 — 2  1  0 ,dr1 dr00, 2  r r , 3  h h  1 12 .0drНа внутреннем контуре мембраны принимаются следующие граничные условия0при r  r1 : r  r1 или2  1,а на внешенем контуре0при r  r2 : r  r или2  r r2  1.(3.23)60Эти граничные условия предполагают, что точки внутреннего контура не смещаются. Радиусвнешнего контура увеличивается до значения r  r .

При этом нагрузка, растягивающая0мембрану, подсчитывается по формуле P  T1 ( r  r2 ).0Для случая мембраны постоянной толщины ( h  const ) из уравнения (3.22) следует, чтоT1 d 1 T1 T2  T11 d 2 2 1  2(3.24)Поскольку усилия T1 и T2 являются функциями только кратностей удлинений, то из этого0уравнения находится зависимость1  1  2  . А зависимость между 2 и r находится изуравнения (3.23):ln r  ln C0 2d 22  r1  1  2   2,где C0 — постоянная интегрирования.Для сплошной мембраны уравнениям (3.22)-(3.23) удовлетворяет однородное решение1  2    const , s  r , T1  T2  P ,где P — нагрузка, действующая на внешнем контуре.Для случая потенциала Черныха соответствующие выражения для усилий, приведены впараграфе 1.2 ((1.4)), и уравнение (3.24) принимает видd 1  1    1    1   1 1 .d 222  1    1    2 Из этого уравнения следуют квадратуры при112при 1 3  const  C ,(3.26)  12 2  3112 2  const  C ,(3.27)1    11 f  x   1     x   1    C ,(3.28)3при(3.25)1  1x  1   1    2 , f  x   x 1 1  x ,   x  1111  x 1f  x   ln.241 x 161ПостояннаяинтегрированияC,содержащаясяв(3.26)-(3.28),должнабытьположительной величиной.

Эта величина и константа C0 находятся из удовлетворенияграничным условиям. Функциязначениях параметра1  1  2  как решение уравнения (3.25) при различных определяется из (3.26)-(3.28) явно.Решения (3.27)-(3.28) допускают решение, на котором1 может принимать бесконечныезначения в некоторой точке промежутка  r1 , r2  . При этом2 в этой точке будет приниматьконечные значения. Конечные значения будет принимать усилие T1 , усилие T2 — бесконечнобольшие, а кратность деформационного изменения толщины мембраны3 обращаться в ноль.То есть при конечных поперечных размерах растянутой мембраны в ней может возникнутьособенность в некоторой точке.Для решения (3.41) на внутреннем контуре должно выполняться равенство 1  31  C ,1поскольку в этой области2  1. Так как 1 положительная величина , то константа C должнаудовлетворять неравенствам 1  C  4 .

Значение C  4 соответствует недеформированноймембране, а C  1— случаю, когда на внутреннем контуре1   . Для решения (3.42) при2  1, поскольку 0    1 и x  1   1     1, функции f  x  и   x  принимают1положительные значения в рассматриваемом диапазоне изменения параметра . Значенияконстанты C в этом случае будут положительными и конечными при любых значенияхна внутреннем контуре, в том числе и при1  11   .Полученное решение с особенностью в рамках теории тонких оболочек следуетрассматривать лишь как одно из возможных направлений деформаций.

И уравнения теориитонких оболочек в таких вариантах физической нелинейности нельзя использовать дляописания напряженно-деформированного состояния тонких мембран. В этих случаяхнеобходимо прибегнуть к теориям, учитывающим более точно неоднородность напряженногосостояния по толщине, чем теория тонких оболочек.62ГЛАВА 4. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯНадувные конструкции в настоящее время используются повсеместно — воздушные шары,купола, спутники; такие конструкции используются в строительстве. Несущая способностьоболочки в строительстве обеспечивается внутренним давлением воздуха. Чаще всего онииспользуются как складские помещения, укрытия для строящихся объектов, гаражи, ремонтныемастерские, надувные антенны, бассейны; надувные спутники [15, 31, 37, 65].

В работе [46]представлены варианты использования мягких оболочек в качестве силовых и изменяемыхэлементов. Они применяются при грузовых и ремонтных работах на флоте. Такая трактовкаамортизации представляет интерес [76]. Надувные конструкции, как правило, работают вусловиях больших деформаций и перемещений срединной поверхности. Моментныенапряжения малы по сравнению с тангенциальными, поэтому при их расчете используетсябезмоментная теория тонких оболочек.§ 4.1 Основные соотношенияПри осесимметричной деформации оболочка вращения (рисунок 4.1) преобразуется опять0же в оболочку вращения. В качестве материальных координат примем длину дуги s   10меридиана и угол    2 недеформированной оболочки.

В силу осесимметричной деформациисправедливы следующие соотношения для координат срединной поверхности:00x  r cos  ,00y  r sin  ,0zzв недеформированной конфигурации и00000x  r  s  cos  , y  r  s  sin  , z  z  в деформированной конфигурации.63Рисунок 4.1Для координат точек срединной поверхности до и после деформации справедливысоотношения0dr00dz0 cos  ,0dsdr00  sin dsdz 1 cos  ,0ds 1 sin  .ds0В этих соотношениях  - угол между осью вращения и нормалью к срединнойповерхности в недеформированной конфигурации, а  - в деформированной.Кратности удлинений в меридиональном и окружном направлениях определяетсяследующими соотношениями:222 dr   dz   ds r12   0    0    0  , 2  0 .  rds ds dsДля случая несжимаемого материала должно выполняться условие несжимаемости12 3  1.В этом соотношении 3 - кратность утонения оболочки.В соответствии со статической гипотезой Кирхгофа и выражениями (1.2) напряжения вмеридиональном и окружном направлениях вычисляются по формулам: 1  1 3,  2  2 3.1323640Толщина деформированной оболочки подсчитывается по формуле h  h 3 .

С учетомэтого, выражения для усилий T1 , T2 , действующих в срединной поверхности в меридиональноми окружном направлениях, имеют вид:h    0   1 , 2 T1  h 2 3 1   1 3,  h 11  13 100h    0   1 , 2 T2  h 13 2   2 3.  h 22  23 200С учётом этого уравнения равновесия для случая нормального давления принимаютследующий вид:d  0 1 dr dz r T1 0   T2  qr 0  0,0d r  1 d r drd  0 1 dz dr r T1 0   qr 0  0,0d r  1 d r drdrdz 1 cos  , 1 sin  .00drdrВ этих соотношениях(4.1)- угол между осью вращения и нормалью к срединнойповерхности в деформированной конфигурации.Для случая степенного потенциала (1.4) связь между напряжениями и деформациямибудет иметь следующий вид:02h nT1  1  3n  ,n102h nT2  2  3n  .n2§ 4.2 Растяжение круглой мембраны нормальным давлениемДля случая сплошной круглой мембраны единичного радиуса, закреплённой по внешнемуконтуру, система уравнений (4.1) решается при следующих граничных условиях:65r  0   0,dzdr 0 , r 1  1, z 1  0.r 0Для случая сплошной мембраны 2 не определено в полюсе, но, как следует из (4.1) в полюсесправедливо соотношение:11T11  T2  0 ,то есть усилия T1 , T2 в этой точке одинаковы, и, соответственно, 1  2 , поскольку материализотропный.

Характеристики

Список файлов диссертации