Диссертация (1150474), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

При этом 2 0r, где r  Rs .r0Система уравнений (4.1) для случая сплошной мембраны приводится к виду:1T1 sin   q22 r 02r 0T   T cos 12(4.2)d 2r 1 cos   2dr 0dz 1 sin  .dr 000В окрестности точки r  0 должны выполняться равенства:  0,1  2 , T1  T2 ,dz 0.dr 0Здесь кратности удлинения и усилия равны.Продифференцируем уравнения (4.2) по r 0 , получим:T1 sin   T1  cos  1q  22  22 r 0 22T1  r 0T1  T2 cos   T2  sin ,22  r 02  1 cos   1  sin отсюда, при r 0  0T1  1q2222T1  T222  1z  1 .1 q22 0Из первого равенства получаем, что в окрестности полюса  r  * r 02 T1Из второго равенства: dT dTdTdT2  1 1  1 2   2 1  2 2 .d 2d 2 d 1 d 166Для изотропного материала справедливо равенствоdT1 dT2.

Поскольку 22  1 , то вd 2 d 1полюсе будет выполняться равенство:2откуда 2  21 и с учетомокрестности полюсаdT1  dT2 1 2 ,d 1d 2третьего равенства, в полюсе 2  0 и 1  0 . Поэтому в1  0  a1r 02 и 2  0  a2r 02 . Таким образом, 1 , 2 в окрестностиполюса убывают одновременно, а прогиб в этой точке достигает максимума.Решение нелинейных уравнений (4.2) строилось с применением численных методов.Некоторые из результатов решений представлены на рисунках 4.2, 4.3. На рис. 4.2 зависимость«нагрузка - деформация» представлена для степенного потенциала при n=1.0, 2.0, 2.5, 3.0, 4.0.3n=4.0n=2.52.5n=3qR/h2n=2.01.5n=1.010.5000.511.5z(0)/RРисунок 4.222.53На рис.

4.3 показаны некоторые расчетные формы для мембраны при значениях давленияq  0.05; 0.50;1.00;1.50;1.60;1.70 .6710.91.70.81.60.71.5z0.61.00.50.50.40.30.20.050.1000.10.20.30.40.5r0.60.70.80.91Рисунок 4.3На рисунке 4.4 показаны изменения напряжений и деформаций вдоль радиуса приq  1,6.

Кривым 1 соответствует меридиональное направление, а кривым 2 – окружное.T1, T22T110T200.20.40.6r0.811, 2211.51200.20.4r0.60.81Рисунок 4.4Эксперимент по растяжению круглой мембраны нормальным давлениемДля проведения экспериментов по растяжению мембран и оболочек использоваласьспециальная методика [39].

Растяжение мембран производилось по следующей схеме (рисунок4.5, 4.6).68Рисунок 4.5Рисунок 4.6Через клапан (рис. 4.5) подавалось давление с помощью насоса, давление внутриоболочки создавалось нагнетанием небольших порций воздуха, для измерения давленияиспользовались циферблатный или водяной манометры. В жёстком листе из оргстекла илиметалла вырезалось круглое отверстие. На жёсткую платформу, в которую монтировались двеметаллические трубки для подключения манометра и входного клапана, клалась листоваярезина.

Сверху устанавливался металлический лист с вырезанным круглым отверстием. На69образец резины наносился круглый штамп, аналогичный штампу в экспериментах с полосой.Платформа и лист с отверстием жёстко соединялись друг с другом. Для уменьшения эффекта«выползания» материала из «захватов» между листом резины и листом с отверстиемустанавливался лист с отверстием из мелкой наждачной бумаги. Собранная конструкцияустанавливалась на фоне стенки с масштабно-координатной сеткой. На рисунке 4.6 приведенасхема сборки. При растяжении мембран осуществлялась фотосъёмка для определения пофотографиям формы мембран.Ось вращения оболочки, оставаясь параллельной стенке-фону, находилась на расстоянииl0 от неё.

На расстоянии l f от этой стенки устанавливался фотоаппарат (рис. 4.7).Рисунок 4.7В процессе нагружения велась съёмка цифровой камерой, после компьютерной обработкицифровых изображений строились формы мембраны при известном давлении и сопоставлялисьс расчетными результатами. В идеальном случае для мембраны (и для оболочки вращениявообще) при таком способе определения перемещений точек срединной поверхности истинноерасстояние li от оси вращения до срединной поверхности определяется по измеренномурасстоянию l по формулеli  ll f  l0l 2  l f 2.Относительная погрешность определения li , вычисляется по формуле 1  l0 l f li llil1  l0 l f1  1   l l f 2 1   l l 2f2.(4.3)Фотосъёмка велась на расстоянии от 650 мм до 900 мм от стенки, а образец (осьвращения) устанавливался на расстоянии около 110 мм от стенки. Величины l fи l0определялись с точностью 5 мм.

В рассматриваемом диапазоне изменения входящих в (4.3)70величин значение второго слагаемого в этом выражении не превышает 0,02. Поэтому с этойточностью относительную погрешность можно определять по формулеli l1   l l flil2.Это теоретическая погрешность измерения лишь поперечных размеров растянутогообразца. Погрешность определения размера lсоставляла 2 мм. И при l =10 ммотносительная погрешность определения этой величины составляет 20% и, соответственно,относительные деформации при малых нагрузках определяются с точностью в 40%.

Прибольших деформациях эта погрешность уменьшалась до 5%.Растяжению нормальным давлением подвергались круглые мембраны диаметрами 75 ммили 100 мм, изготовленные из той же листовой резины (толщина листов 1,2; 1,5 и 2 мм), что и вэкспериментах по одноосному растяжению полос.В качестве иллюстрирующего примера в таблице 1 приведём данные четырёхэкспериментов для различных марок резин (давление и прогиб в центре). В первомэксперименте диаметр мембраны 75 мм, а толщина мембраны 2 мм, во втором экспериментедиаметр мембраны 75 мм, а толщина - 1,5 мм, в третьем диаметр мембраны 100 мм, а толщина 1,2 мм, в четвёртом - диаметр мембраны 75 мм, а толщина - 2 мм.Символом «звёздочка» в таблице 1 отмечено начало этапа принудительного спускадавления.Проиллюстрируем первый из приведённых примеров (рис.

4.8)На рисунке 4.8 на каждом фотоснимке отмечено значение давления. Заметим, чтодавление, которое измерялось, имеет точку максимума около 0.4 атм., при переходе через этуточку, чем больше воздуха подавалось, тем меньше становилось давление.Рисунок. 4.8.71Таблица 1Эксперимент 1Эксперимент 2Эксперимент 3Эксперимент 4Давление ПрогибДавление ПрогибДавление ПрогибДавление Прогиб0.118 0.00 0.00 0.000.2424 0.1513 0.121 0.12220.3829 0.2114 0.2332 0.21290.541 0.2217 0.3244 0.31380.5350 0.4825 0.3865 0.38500.5556 0.6233 0.476 0.39630.5662 0.744 0.4290 0.41740.5574 0.7452 0.42598 0.42860.5688 0.7869 0.44108 0.42970.58102 0.8178 0.45119 0.421120.6111 0.8487 0.46124 0.431280.62122 0.8697 0.45135 0.431330.66131 0.9108 0.42*134 0.451440.55*131 0.7107 0.4134 0.461520.48128 0.58*97 0.36128 0.44*1520.4128 0.596 0.32119 0.41510.3125 0.4883 0.397 0.341490.24120 0.4866 0.385 0.31480.2113 0.440.18107 0.30.2967 0.2414329 0.2856 0.181310.1699 0.1421 0.2444 0.151180.1487 0.016 0.017 0.141040.12860.12900.1650.1750.075600.09680.075550.075620.05520.0480.025480.046045042Характерным во всех экспериментах было то, что зависимость «давление - максимальныйпрогиб» имела точку максимума.

Эта точка максимума достигалась практически сразу послевыхода поверхности мембраны за границы опорного контура. В таблице 2 приведены значениямаксимального давления и значения прогиба, при которых оно достигается у мембран разныхмарок, различных диаметров и толщин.72Таблица 2ПриДавление,Максимальный диаметратмпрогиб, ммсопоставлениитолщина0,9108751.50,661317520,241741001.50,451351001.20,461521002теоретическихиэкспериментальныхрезультатоврешениенелинейных уравнений (4.2) строилось с применением численных методов, использовалсяметод сеток для решения краевых задач [22, 29, 63, 64, 72, 75] и метод разбиения промежуткаинтегрирования.Численнаяреализацияосуществляласьвсредепрограммированияматематического пакета MATLAB. Модуль сдвига при сопоставлении результатов определялсяв результате обработки данных экспериментов по одноосному растяжению.

Некоторые изрезультатов моделирования представлены на рисунках 4.9 и 4.10 для случая мембраныединичного радиуса.На рисунке 4.9 показана характерная зависимость «безразмерное давлениеq h0-z 0». Расчётной зависимости соответствует сплошная кривая,rэкспериментальные данные отмечены символом « о ». На рисунке 4.10 показаны расчетныебезразмерный прогибзависимости Z (R) для значений давления Q=1.80, 1.84, 1.20, 0.17. Экспериментальные значенияна рисунке отмечены символом «звездочка».Безразмерное давление (qR/h)2Эксперимент1.5Расчет10.5000.511.522.5Безразмерный прогиб в центре (z(0)/R)Рисунок 4.933.5731.5Q=1.801zQ=1.84Q=1.200.5Q=0.17000.20.40.60.811.2rРисунок 4.10§ 4.3 Растяжение нормальным давлением плоской кольцевой мембраныРассматривается задача о растяжении нормальным давлением кольцевой мембраны,закреплённой по внешнему и по внутреннему контурам.

Характеристики

Список файлов диссертации