Диссертация (1150474), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

На рисунке 2.13 a) приведеныформы при разных степенях нагружения. На рисунке 2.13 б) показана схема нагружения. Вкачестве образцов использовались такие же кольца, как и при сжатии сосредоточеннымисилами. В качестве примера приведены данные по сжатию кольца радиуса 100 мм.38a)б)Рисунок 2.13На рисунках 2.14, 2.15 показаны зависимости зоны контакта и поперечного размера от осадки вбезразмерном виде. Как видно из этих рисунков, указанные зависимости близки к линейным.Сплошной линией обозначены расчетные зависимости, символом «звездочка» отмеченыэкспериментальные данные.3.5Зона контакта32.521.510.5000.20.40.6ОсадкаРисунок 2.140.8139Поперечный размер1.81.61.41.2100.20.40.60.81ОсадкаРисунок 2.15Аналогичные эксперименты по сжатию плоскостями были поставлены для длиннойцилиндрической трубы длинной 150 мм, диаметром 50мм, с толщиной стенки 1мм. На рисунке2.16 показана труба до и после деформации.Рисунок 2.16Полученные зависимостидля случая трубы в безразмерном виде аналогичнызависимостям, полученным для случая сжатия колец.40ГЛАВА 3.

БЕЗМОМЕНТНЫЕ МЕМБРАНЫ И ОБОЛОЧКИ§ 3.1. Основные соотношения0Пусть r и r — радиус-векторы срединной поверхности оболочки до и после деформациисоответственно [19, 34, 43, 47, 48, 77]. Тогда в криволинейныхкоординатах  1 и  2координатные векторы r1 и r2 и компоненты метрического тензора срединной поверхностипосле деформации подсчитываются по формулам ( i, j  1, 2 )r,  ij  ri  rj , i 11   1 22 ,  22   111 ,  12   21   1 21 ,ri (3.1)  11 22  12 21.0Соответствующие выражения до деформации получаем добавлением символа   . Главные инварианты имеют вид:I  A  32 , II  A32  B, III  B32 ,где0 Aaa  12  22 , B  a 0  12 22a(3.2)— главные инварианты срединной поверхности, а 1 , 2 , 3 — главные кратностиудлинения.dra, t ,кν  t Вектор нормали к срединной поверхности после деформации — n , rорт1  r2касательнойdstкривой t и орт тангенциальной нормали (нормали к кривой, лежащей в касательной плоскости)ν подсчитываются по формуламn  r1  r2a, t dr, ν  t  n,dstпри этомr1   1 ν  t1t , r2   2 ν  t2 t.41Векторное уравнение движения оболочки, нагруженной поверхностной нагрузкой q ,имеет вид [39, 77]0 0  2r  0 1  0 2aTaTaqh 2.2 1 t  ЗдесьTi  T i1r1  T i 2r2 —векторыусилий,(3.3)действующие00 1  const и  2  const , h - толщина недеформированной оболочки, а всечениях- плотность еёматериала, t — время.

Для рассматриваемого ниже случая нормального давления q a  qr1  r2 .Уравнения движения необходимо дополнить граничными и начальными условиями. Вкачестве граничных условий, как правило, используются кинематические0r   r00(3.4)uили силовые (статические) граничные условия0T000   T    T r r  T0 .(3.5)Здесь  u - часть граничного контура, на котором заданы перемещения, а00 -граничного контура, на котором заданы усилия, T - главный вектор усилий в расчёте наединицудлинысрединнойлиниинедеформированногонормальногосечения,r0  r0  st  , T0  T0  st  - заданные векторные функции.Связь между усилиямиT 11 , T 22 и T 12и компонентами метрического тензора задаётся с2помощью упругого потенциала     A, B, 3  и имеет вид ( i, j  1, 2 )T ij  T ij  aij   2 h0.aijЧастные производные здесь вычисляются с учётом того, что должны выполнятьсяравенства:для несжимаемого материаладля сжимаемого материала123  1, 0.342Из этих же соотношений определяется кратность удлинения 3 как функция кратностейудлинения 1 , 2 , и, соответственно, упругий потенциал следует рассматривать как функциюдвух аргументов:     A, B  или     1 , 2  .Из дифференцирования соотношений (3.2) по aij следует, чтоA 0 ij Ba , Baij ,aijaij112, 2 .222A 2  1  2  A2  1  22 111, 2,22B21  1  2  B 22  12  22 С учётом этого связь между усилиями и деформациями можно записать таким образом( i, j  1,2 ):0  0 ij  T ij  2 h  a Baij.AB Этими соотношениями удобно пользоваться, если упругий потенциал задаётся функциейинвариантовA и B .

Если же упругий потенциал задан функцией главных кратностейудлинения, то можно воспользоваться этими же соотношениями, учитывая, что 1 ,12A 2  12  22   12  1 1  2 1.22  1A12 2  1  2  § 3.2 Балка-полоскаПустьрассматривается0цилиндрическая00координатам (рисунок 3.1) x1 , x2 , x3 .мембрана,отнесённаякматериальным43Рисунок 3.10Будем считать, что напряженно-деформированное состояние не зависит от x 2 , то естьрассматривается одномерная деформация мембраны.

В качестве независимой координаты0принимается длина дуги меридиана недеформированной поверхности s . Тогда для координатнедеформированной срединной поверхности справедливы соотношения00x1  cos  ,00x3   sin  ,где   d  0d s,00а  — угол между нормалью к срединной поверхности и осью x 3 в исходном положенииравновесия.Для координат деформированной срединной поверхности справедливы соотношения:x1  1 cos  ,x3  1 sin  ,где 1  ds d s — кратность удлинения дуги поперечного сечения срединной поверхности,  0угол между нормалью к срединной поверхности и осью x3 .С учётом полученных зависимостей из (3.1)-(3.2) находятся000a11  a22  1, a12  0,a11  1 ,2a22  2.2Для такой одномерной обобщенной плоской деформации цилиндрической мембраныуравнения равновесия (3.3) принимают вид [77]:Tx  1qx  0, Tz  1qz  0 ,где (рисунок 3.1)Tx  T1 cos  , Tz  T1 sin  ,qx  qn sin   qs cos  , qz  qn sin   qs cos 4400- проекции усилий, действующих в срединной поверхности, и внешней нагрузки на оси x1 и x3 .Связь между усилиями и деформациями в ортогональных координатах определяется спомощью соотношений0T1  h0 , T2  h,12в которых упругий потенциал рассматривается как функция двух кратностей удлинения 1 и2а кратность деформационного изменения толщины считается известной из условиянесжимаемости для несжимаемого материала или из условия обращения в нуль производнойдля случая сжимаемого материала.3§ 3.3 Сжатие балки-полоски и цилиндрической оболочки,находящихся под давлениемРассмотрим цилиндрическую мембрану, нагруженную нормальным давлением иподвергающуюся равномерному продольному растяжению.

Рассматривается одномернаядеформация. Цилиндрическую мембрану можно считать бесконечно длинной в направленииy.Для равномерного давленияqs  0, qn  q  const.Tx  1qn cos   0,Tz  1qn sin   0Эти уравнения приводятся к виду:T1 (1 )  T  const , 1  const  1. T1  1qТаким образом, рассматривается система уравнений:45x   cos  ,z    sin  .0(3.6 а)2 h nTs ( )    n n T   q1.Рассмотрим действие сосредоточенной силы на растянутую равномерным давлениембалку шириной l .

Граничные условия для системы (3.6 а) имеют вид00lls  0 : x  0, z  z0 , s  : z  0, x  .2200(3.6 б)Интегрируя четвёртое уравнение в системе (3.6 а), получим0s0  0  2* 0 , *  T 1q l 2 ,lздесь T ,  , 0 , * являются постоянными интегрирования и находятся из удовлетворенияграничным условиям (3.6 б). Как следует отсюда, деформированная поверхность мембраныпредставляет собой дугу окружности.Из удовлетворения граничным условиям следует выражение, связывающее  , 0 , * :0l 202 * lsin 0  * (3.7)Удовлетворение граничным условиям дает два уравнения для нахождения x и z :0sxsin 0  2* 0  ,02 * ll  cos    2z*0 02 * l 0s cos 0  *  0lЕсли задаться конкретным значением  0 , то из условия (3.7) находится * . С учётом того, что0*  T 1q l 2 ,условие (3.7) становится уравнением относительно  .

Тогда находится T    и Tz  T sin  .2.Рассмотрим бесконечно длинную цилиндрическую оболочку, нагруженную нормальнымдавлением под действием сосредоточенной силы. Граничные условия для системы (3.6 а) будутиметь вид:00s  0 : x  0, z  z0 , s R2: z  0,  2.46Здесь также из (3.6 а)00ssxsin 0  2* 0 , z cos 0  2* 0  cos 0  *   ,002 * ll2 * l l 0однако, вместо условия (3.7) для нахождения * при s 2R2должно выполняться условие 0  * . Таким образом, задавшись конкретным значением  0 , получим уравнениеотносительно  :  20  T   0.lq0В точке x  0 должно выполняться неравенство  2. Таким образом, становится известнымзначение Tz  T sin  .3.Рассмотрим задачу о сжатии плоскостями растянутой равномерным давлением балки-полоски шириной l . Задача о сжатии балки-полоски двумя параллельными плоскостямирешается на двух зонах.Зона1.Дляописаниянапряжённо-деформированногосостояниябалки-полоскииспользовалась система уравнений (3.6 а).

В зоне контакта решение задачи имеет вид:00x   s, 0  s  s* ,0x   s* , s  s* ,z  z0 ,   00Зона 2. l.02 s  s* . Граничные условия для системы (3.6 а) принимают вид:00*0*0s  s ,    : x   s , z  z0 ,   0,*0l 0 ls  ,   : x  0, z  0,   ,2222Интегрируя четвёртое уравнение в системе (3.6 а), получим: 0 0*  s s   2*  0  .lВместе с тем0*xs  2  0 0 *  0*    2  0 0 *   2  0 ***sinss,zcossscosl2s  00 0  0  0 2 * l2 * l  l l l47Также из удовлетворения граничным условиям получаем условие относительно  :0 0 0*  0*0l2ls sin  0 *   s   , здесь *  T 1q l 2 .0222 * l l 0*Линейная площадь контакта подсчитывается по формуле s (3.8)P, где P — суммарная нагрузка,q0а q — постоянное внутреннее давление.

Тогда при заданном значении s * определяется внешняянагрузка P .4. Рассмотрим задачу о сжатии плоскостями растянутой равномерным давлением бесконечнодлинной цилиндрической оболочки.Зона 1 — зона контакта. Для описания напряжённо-деформированного состоянияцилиндрической оболочки использовалась система уравнений (3.6 а).

В зоне контакта   0 ,0тогда x   R  . Решение задачи на этой зоне имеет вид:00x   R, 0    *,0x   R * ,    * ,z  z0 ,   0Зона 2 — вне контакта. .02    * Граничные условия для системы (3.6 а) принимаютвид:000s  s* ,    * : x    * R, z  z0 ,   0,s20R,  2: x  0, z  0,   .2Интегрируя четвёртое уравнение в системе (3.6 а), получим:2* R  0 0 *     .0l Вместе с тем 2 R  0 0 *  x  R sin  0*       ,0 2 * l l 0*z0 *  2 R  0 0 *   2 R **coscos   .0 0  0  22 * l  l lТакже из удовлетворения граничным условиям получаем условие, аналогичное условию(3.8):482002* R   0 * 1,здесь,Tql2*02l 2(3.9)0Если задаться конкретным значением  * , то из условия (3.9) находится * .

Характеристики

Список файлов диссертации